Высшая_математика_Том2

Вычисляем интеграл

π	π			sin ϕ sin θ
I = dϕ	dθ							r ·r2 sin θ dr =
0	0				0
π			π					4			0												π		π
=	dϕ			sin θ													! dθ = 4							dϕ		sin4 ϕ ·sin5 θ dθ =
									r4		sin ϕ sin θ									1
0		0																				0			0
				π														π
		1				1			cos			2		ϕ		2
	=						−										dϕ		−(1 −cos θ)2								d cos θ =
		4					2
				0					π									0
				= −4								4 −					2	ϕ	+	1		+		8	ϕ dϕ×
								0
							1					1				cos 2								cos 4

π

×1 −2 cos2 θ + cos4 θ d cos θ =

0

= −4

4 −

4

+

8 +

32

π

0 ×

1

ϕ

sin 2ϕ

ϕ

sin 4ϕ

2

3

5

θ

π

π

×

θ

−

3

5

0 =

40 .

cos

cos

θ +

4.7.3. Приложения тройных интегралов

Вычисление объемов. Основанием для такого применения тройного интеграла служит формула

dxdydz = v,

V

где v — объем V .

ПРИМЕР 4.7.4. Вычислить объем тела V , ограниченного поверхностями

z = 6 −x2 −y2 , z = x2 + y2.

Тело

V ограничено снизу конусом x =

x2 + y2

, а сверху — параболоидом

y2

p

z = 6

−

x2

−

. Вычислять объем здесь

удобнее с использованием цилиндри-

p

ческих координат

x = r cos ϕ,

y = r sin ϕ,

z = z, |J| = r,

v =

dxdydz =

r drdϕdz.

V

Ω

171

p

Из 6 −x2 −y2 = x2 + y2 следует, что 6 −r2 = r, или r2 + r −6 = 0. Отсюда находим r = 2 — уравнение окружности (x2 + y2 = 4) — границы области G — проекции V на плоскость xOy. Переходим к повторному интегралу в цилиндрических координатах и вычисляем объем

2π	2	6−r2	2π	2
v = dϕ dr		r dz = dϕ (6r −r3 −r2) dr =
0	0	r	0	0
					r4	r3	2	32
				= 2π 3r2 −			0 =		π.
					4 −	3		3

Применение тройного интеграла в механике. Вывод следующих формул вполне аналогичен выводу соответствующих формул для плоских материальных пластинок. Поэтому вывод формул мы опускаем.

Если ρ(x, y, z) — объемная плотность вещества, распределенного в области V , то масса V вычисляется по формуле

m = ρ(x, y, z) dv.

V

Координаты центра тяжести вычисляются по формулам:

	xC =	1				xρ(x, y, z) dv;
		m
						V
	yC =	1				yρ(x, y, z) dv;
		m
						V
	zC =		1			zρ(x, y, z) dv.
			m
						V

Моменты инерции области V относительно координатных осей Ox, Oy, Oz и начала координат O определяются соответственно формулами:

Ix =	(y2 + z2)ρ(x, y, z) dv;
	V
Iy =	(x2 + z2)ρ(x, y, z) dv;
	V
Iz =	(x2 + y2)ρ(x, y, z) dv;
	V
IO =	(x2 + y2 + z2)ρ(x, y, z) dv.
V

172

Статические моменты относительно координатных плоскостей xOy, xOz, yOz тела V вычисляются по формулам

Mxy =	zρ(x, y, z) dv;
	V
Mxz =	yρ(x, y, z) dv;
	V
Myz =	xρ(x, y, z) dv.

V

Таким образом, формулы для вычисления координат центра тяжести

можно записать в следующем виде
xC =	Myz	, yC	=	Mxz	, zC =	Mxy	,
				m
	m					m

где m — масса тела V .

ПРИМЕР 4.7.5.

1) Вычислить массу тела V , ограниченного поверхностями 2x + z = 4, x + z = 2, y2 = 2x (y > 0), если плотность ρ(x, y, z) = y.

Вычисляем

m =	y dxdydz =	4−2xy dz dxdy =		y(2	−	x) dxdy,
V	G	2−x		G

где G — проекция V на плоскость xOy. Вычисляем двойной интеграл

2

2

m =

y(2 −x) dxdy =

f dy

y(2 −x) dx =

G

0

y2 /2

2

2x − 2

y2

2

2 −y2 + 8 dy =

= y

/2 ! dy = y

x2

2

y4

0

0

y4

y6

2

4

= y2

0 =

− 4 +

48

3 .

ниченного поверхностями z = 4x, x2 + y2 = 2x, z = 0.

2) Найти момент инерции относительно оси

Oz

однородного

тела, огра-

Однородность означает, что плотность ρ(x, y, z) = ρ0 — постоянная величина.

173

Для вычисления интеграла Iz =

(x2 + y2)ρ0 dxdydz используем цилин-

V

дрические координаты x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z, |J| = r. Тогда

π/2

2 cos ϕ

2√

r cos ϕ

Iz = dϕ

r dr

r2 ρ0 dz =

−π/2

0

0

π/2

2 cos ϕ

= 2ρ0

dϕ

r2/7√

dr =

cos ϕ

−π/2

0

= 9 ρ0

π/2

r9/2

0

! dϕ =

√cos ϕ

4

2 cos ϕ

π/2

−

π/2

π/2

213/2

√213

cos5 ϕ dϕ =

(1 −sin2 ϕ)2 d sin ϕ =

=

ρ0

ρ0

9

9

−π/2

√

−π/2

π/2

√

213

2

sin5

221

=

ρ0 sin ϕ −

sin3 ϕ

+

ϕ

=

ρ0 .

9

3

5

π/2

135

−

Литература

[1]Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М.: Наука, 1974. — 320 с.

[2]Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее применения. — М.: Наука, 1971. — 407 с.

[3]Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. — М: Наука, 1971. — 232 с.

[4]Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. — М.: Наука, 1978. —

296 с.

[5]Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. — М.: Наука, 1971. — Ч. 1. — 600 с.

[6]Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. — М.: Высшая школа, 1973. — Т.1. — 616 с.

[7]Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. — М.: Высшая школа, 1973. — Т.2. — 472 с.

[8]Лаптев Г.Ф. Элементы векторного исчисления. — М.: Наука, 1976. —

336 с.

[9]Мышкис А.Д. Математика. Специальные курсы. — М.: Наука, 1971. —

632 с.

[10]Никольский С.М. Курс математического анализа. — М.: Наука, 1973. — Т.1. — 432 с.

[11]Никольский С.М. Курс математического анализа. — М.: Наука, 1973. — Т.2. — 392 с.

[12]Очан Ю.С. Методы математической физики. — М.: Высшая школа, 1965. — 384 с.

175

[13]Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1980. — 352 с.

[14]Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и инегрального исчисления. — М.: Наука, 1966. — Т.I. — 607 с.

[15]Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и инегрального исчисления. — М.: Наука, 1966. — T.II. — 800 с.

[16]Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и инегрального исчисления. — М.: Наука, 1966. — T.III. — 656 с.

[17]Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. — М.: Наука, 1965. — 424 с.