Пределы. Сборник Матан

60. Верно ли утверждение 1/ x4 = o(β) при x → ∞ , если:

а) β(x) =1/ x2 ; б) β(x) =1/ (x +1)4 ; в) β(x) =1/ x5 ; г) β(x) =1/ (x3 sin x); д) β(x) =1/ ((x −1)arctg (1/x)) .

Пользуясь свойствами символа «о-малое», записать для функций α(x) равенство вида (61-63):

61. α(x) = o(xk ) при x →0 , если:

а) α(x)=o(−5x+x2−x3+o(−5x+x2−x3 )) ;

б) α(x) = o(−5 o(x3 ) + o( x3 )); в) α(x) = x2o( o(x3 ));

г) α(x) = o(xo(x2 ) +o(x4 )) . д) α(x) = o(sin3 x +o(1−cos x)) .

62. α(x) = o(1/ xk ) при x → ∞ , если:

а) α(x) = o(1/ x3 ) −(o(1/ x))3 ,	б) α(x) = o(1/ x2 −1/ x),
в) α(x) = o(1/ x2 −o(1/ x2 )),	г) α(x) = o(1/ x5 −o(1/ x4 )).

д) α(x) = o(ln (1+1/ x)+sin (1/ x)+o(6 / x2 )) .

63. α(x)=o((x−1)k ) при x →1, если:

а) α(x)=(x −1)o((x −1)2 +o(x −1)) ,

б) α(x)=o(3x2−6x+3+o((x−1)3 )) , в) α(x) = o(ln x +(x −1)3 ) ,

г) α(x) = o((x −1)2 (x + 2)+o((x +3)(x −1)3 )) .

д) α(x) = o(x2 + x −2 + o(x3 − x2 − x +1)).

21

64. Пусть x →0 . Выделить главный член вида Cxn и определить порядок малости относительно переменной x следующих функций:

а)	f (x) = 5x −6x5 +7x8 ,	б)	f (x) = 3sin	2 x2 −5x2 ,
в)	f (x) = 1 − x4 −cos x2 ,	г)	f (x) = 1 −	2x − 3 1−3x ,
д) f (x) = 4 + x − 4 − x ,		е) f (x) = 4 − x2 + x2 −2 ,
ж)	f (x) = tg x −sin x ,	з)	f (x) = 2sin x − tg2x .

65. Пусть x → +∞ . Выделить главный член вида C (1/ x)n и оп-

ределить порядок малости относительно бесконечно малой 1/ x следующих функций:

а) f (x) =	x +1		, б) f (x) = 1 + x − x ,	в) f (x) =		1		sin3		1	,
	x4 +	1				x				x
г) f (x) = x +		2 −2 x +1 + x , д) f (x) =			x3
							.
					1 +5x + 2x5
66. Пусть x →1		. Выделить главный член вида C (x −1)n							и оп-
ределить порядок малости относительно бесконечно малой									x −1
следующих функций:
а) f (x) = x3 −3x + 2 , б) f (x) = 3 1 − x ,
в) f (x) = ln x ,			г) f (x) = ex −e , д) f (x) = xx −1 .

67. Пусть x →0 . Выделить главный член вида C (1/ x)n и определить порядок роста относительно переменной 1/ x следующих

функций
а)	f (x) =		x2			б) f (x) = ctg2 x3 ,
				,
			arctg (x5 )
в)	f (x) =		1−cos x cos 2x		,	г) f (x) =	1 + x2 − 4 1+ 2x2	.
			x5				sin4 x

22

68. Пусть x → ∞ . Выделить главный член вида Cxn и определить порядок роста относительно бесконечно большой x следующих функций:

а) f (x) = 23 x2 − x +3 x , б) f (x) =			2x5			,
			x3 −3x +1
в) f (x) = 2 + 4 3 + 4x , г) f (x) =			x5	,
			+ x + 2x2
1

д) f (x) = x4 + x +1 .

69. Пусть x →1. Выделить главный член вида C (1/(x −1))n и

определить порядок роста относительно бесконечно большой 1/(x −1) следующих функций:

а) f (x) =		x2		,	б) f (x) =		1+ x	,	в) f (x) =	x	,
		x2 −1								3 1− x2
						1 − x
г) f (x) =	1				, д) f (x) =		ln x		.
	sin (πx)					(x −1)2

2.4.ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА

КВЫЧИСЛЕНИЮ ПРЕДЕЛОВ

70.Вычислить предел, используя асимптотические разложения:

sin x − x +

x3

ax + a−x −2

1)

lim

6

; 2)

lim

, a > 0 ;

x→0

x5

x→0

x2

3)

lim

3

x

3

+3x

2

+

4x −

3

x

3

−3x

2

+ 4

;

x→∞

3 1 + 4 − 4 1 +

3

−2x2 +

4 x4

4)

lim

x

x

;

5)

lim

cos 2x −e

3

;

x→∞

1

− 5 1 −

5

x→0

tgx4

x

23

	−2x	2	−	4	x	4
				3
6) lim	cos 2x −e						;
	tgx4
x→0

	8) lim	x310 x cos x+sin3x	;
		1 − 1+ x3
	x→0

				x arcsin ( x )			73 x
						e		−1
7)	lim								;
				tg3 x ln (1 +3x)
	x→+0
9)	lim		x3 cos x −sin x		;
				x5
	x→0

10)

lim

cos x − 3 cos x

;

11)

lim

2sin

x2 +

x3 +ln(1 + x)

;

sin2 x

x→0

2

x→+0

x +

x x

+

x2

sin(x cos x) + x ln 1

3

− x

12)

lim

.

1 + x5 −1

x→0

71. Вычислить предел, используя формулу Тейлора:

1)

lim

3

1−x2 − xctg x

;

2)

lim

sin 2x −2tgx

;

xsin x

ln (1 + x3 )

x→0

x→0

3)

lim

arctg (2−x)+sin (x−2)2

;

4) lim

arctg x−arcsin x

;

x2−4

tg x−sin x

x→2

x→0

5)

lim

x

1 +sin x +ln (1 − x)

;

x→0

tg x −sin x

6)

lim (sin 2x −2 tg x)2 +(1−cos 2x)3

;

x→0

tg7 6x +sin6 x

7)

lim

ex2 cos x−chx−e−x2 chx+cos x

;

x6

x→0

8)

lim

earctg x +ln(1 − x) −1

;

9)

lim

1 + 2x −etg x +6x3 + x2

;

2 − 4 + x3

x2

x→0

x→0

ln(1

+ x) −arctg x +

2

24

sin x

x

1

1

ln

+ch

−1

1+sin x −

2 tg x +

8 x2 −1

10) lim

x

3

;

11) lim

.

2

e

x

− 1+2x −x

2

x→0

1+x

x→0

sh x −ln x +

2.5.ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ

72.Найти следующие пределы, используя правило Лопиталя

arcsin x −arctg x

1

1

x

1)

lim

;

2)

lim

xlnln

;

3)

lim

arcctg x

;

ln(1+ x3)

x

π

x→0

x→0+

x→−∞

4)

π

1/ x

5)

sin x 1/(1−cos x)

,

lim

−arctg x

;

lim

2

x

x→+∞

x→0

6)

lim

(

xx −1 ln x ;

7)

lim

(

π−2arctg

x

)

x ,

x→+0

)

x→+∞

8)

lim (1+ x)

ln x

9)

1

1

;

lim

−

.

x

x→+0

x→0

sin x

73.Исследовать возможность применения правила Лопиталя к следующим примерам:

x +sin x

x2 sin

1

x −sin x

1)

lim

;

2) lim

;

3) lim

;

x

x

sin x

x→∞

1

x→0

x→∞ x +sin x

x2 cos

+3sin x

e−2x (cos x +2sin x)+e−x2sin2 x

x

4)

lim

; 5)

lim

;

x→0

x

x→+∞

e−x (cos x +sin x)

6)

lim

1+ x +sin xcos x

;

7)

lim

e−4x (sin x −4cos x)

;

(x +sin xcos x)esin x

x→∞

x→+∞ e−3x (sin x −3cos x)

3x

+ sin 2x + sin 4x

8)

lim

8

4

32

.

3x

sin 2x

sin 4x

x→∞

+

+

+

sin x

8

4

32

2 e

25

	ОТВЕТЫ
1. 1)	6 . 2) 200 . 3) 12 . 4) 5 .
2. 1) x6 =3 . 2) x3 =1/ 6 . 3) x3 =5/ 64 . 4) x3 =9 /8 .
3. 1)	x4 = −9 . 2) x2 = 4.5 . 3) x5 = log32 5 −log3 5 . 4) x3 =1.43 / 3 .

5) x4 = x5 = 24625 . 9. а) 1 , 5 , 6 . б) 2 , 3 .

15. 1) 1/ 3 . 2) 1 . 3) 35 . 4) 0 . 5) 0 . 6) 1 . 7) 27 . 8) 1 . 9) −1/ 6 16. 1) 0 . 2) 0 . 3) 3 . 4) 1 . 5) −1 . 6) −1 . 7) 23 . 8) 12 . 9) 0 .

10) 12 .

17. 1) 1 . 2) 1 . 3) 1 . 4) −12 . 5) 1 . 6) 1 . 7) 1 . 8) 1 . 9) 3 . 10) 12 . 11) 3 . 12) 1/ 3 . 13) 0 . 14) 0 . 15) 5 . 16) 0 .

17) 0 . 18) 0 . 19) 0 . 20) 0 .

18. 1) e . 2) e . 3) e−1 . 4) e2 . 5) 1 . 6) 1 . 7) e−1 . 8) 1 . 9) e .

10) +∞ .

19. 1) 1 . 2) 1 12 . 3) 1

2 .

20. 1) 1/ 3 . 2) 3 . 3) 1/ 3 .

21. 1) 0 . 2) 1 .

22. 1) 0 ,

x

= lim x

= 0 . 2) +∞ ,

x

= lim x = +∞ .

lim

lim

n→∞ n

n→∞ n

n→∞ n

n→∞ n

3) 1 , −1 ,

lim

x

=1 ;

lim x

= −1 .

n→∞ n

n→∞ n

4)

0 , +∞ ,

lim

x

= +∞;

lim x

= 0 .

n→∞ n

n→∞

n

5)

0 , ±1/

2 ,

±1,

lim

x

=1 ;

lim x

= −1 .

n→∞ n

n→∞

n

6)

0 , ±∞ ,

lim

x

= +∞;

lim x

= −∞.

n→∞ n

n→∞

n

7)

±1/ 2 ,

lim

x =1/ 2 ;

lim x

= −1/ 2 .

n→∞ n

n→∞ n

8)

±1/ 2 ; ±1;

lim

x =1 ;

lim x

= −1 .

n→∞ n

n→∞

n

9)

±2 ;

lim

x

= 2 ; lim x = −2 .

n→∞ n

n→∞

n

26

10) 0 ; +∞ ;

lim

x

=+∞; lim x

= 0 .

n→∞ n

n→∞ n

23. 1)

x

=1 ; lim x

= 0 ; sup{x

}

=1.5 ; inf {x } = −1.

lim

n→∞ n

n→∞

n

n

n

2)

x

=sup{x

} =3 ;

lim x

=inf {x

} = −3 .

lim

n→∞ n

n

n→∞ n

n

3)

x

=sup{x

} = +∞;

lim x

=inf {x

} = −∞ .

lim

n→∞ n

n

n→∞

n

n

4)

x

=1 ; sup{x

} =1.5 ; lim x

=inf {x } = −∞ .

lim

n→∞ n

n

n→∞

n

n

5)

x

= 2 ; sup{x

} =9 / 4 ; lim x =inf {x } = −4 .

lim

n→∞ n

n

n→∞

n

n

6)

x

= 2 ; lim x

= −2 ; sup{x

} =5 ; inf {x } = −7 / 2.

lim

n→∞ n

n→∞

n

n

n

7)

x

=sup{x

} = 2 ;

lim x

=inf {x

} = 0 .

lim

n→∞ n

n

n→∞ n

n

8)

x

=sup{x

} =1 ;

lim x

=inf {x

} = −1/ 2 .

lim

n→∞ n

n

n→∞ n

n

9)

x

=sup{x

} = +∞;

lim x

=inf {x

} = −∞ .

lim

n→∞ n

n

n→∞

n

n

10) sup{x

} = −1;

lim x

=

x

=inf {x

} = −∞.

lim

n

n→∞ n

n→∞ n

n

11)

x

=sup{x

} = +∞;

lim x

=inf {x

} = −0 .

lim

n→∞ n

n

n→∞

n

n

12)

x

=sup{x

} = +∞;

lim x

=inf {x

} = −∞ .

lim

n→∞ n

n

n→∞

n

n

13)

lim x

=

x

= 0 ; sup{x

} =1.25 ; inf {x } = −5 .

lim

n→∞

n

n→∞ n

n

n

24. 1) +∞ ; −∞ . 2) e +1;

−(e +1/ 2 ) . 3) 1 ;

0 . 27. 1) 0 . 2) 0 .

3) 0 . 4) 0 .

28. 1) 1 . 2) 1 . 3) 0 . 4) 5 . 5) 1 . 29. 1) k−1 a . 2) 4 . 3) 3 . 4) 2 .

30. 1) а) – в) 13 . 2) а) – в) −1 . 31. 1 . 32. а) –. в) 1/ 2 .

33. 1) 3 . 2) −1/ 2 . 3) −2 .

34. 1) 0 . 2) 1/ (k +1). 3) +∞ . 4) 1/ 2 . 5) 2k / (k +1) . 6) 2 . 41. 1) π2 . 2) −π2 . 3) 1 . 4) 0 . 5) 0 . 6) 1 .

27

42. 1) а) 1 , б) 0 . 2) а) не существует, б) π. 3) а) 0 , б) 0 . 4) а) 0 , б) +∞ .

43. 1) а) 3 / 2 , б) 1/ 4 . 2) а) 1 , б) −1 . 3) а) π2 , б) −π2 . 4) а) 0 , б) 1/ 3 .

44. 1) 9 . 2) −3 . 3) 1/ 2 .

45. 1) 0 . 2) ∞ . 3) 1/ 2 . 4) 0 . 5) 1/ 4 . 6) −1/ 2 . 7) 0 . 8) (3/ 2)30 .

46. 1) (3/ 2)10 . 2) 1. 3) 1/ 4 . 4) 1. 5) 1.

47. 1) 7 . 2) 5 . 3) 5 . 4) 1/ 2 . 5) 0 . 6) 1 .

48. 1) а) (a +b) / 2 . б) +∞ . 2) а) 5/ 2 . б) −5/ 2 .

49. 1) 4 / 3 . 2) 5 . 3) 1/144 . 4) 5/ 3 .

50. 1) 5 . 2) 2 . 3) 1/ 3 . 4) 2 / 3 . 5) e−1 . 6) e−1 . 7) n−1 . 8) 5/ 3 .

9) 2 / 3 .

51. 1) (−1)m−n

m

. 2) α/ β. 3) −1 . 4) 2 . 5) 2 / π. 6) 1/ 2 . 7) 1/ 2 .

n

−lg e . 14) 7 / 36 .

8) 4 . 9) cos a . 10) 1 . 11) 1/ a . 12) 1/ 5 . 13)

15) 3 / 2 .

x2

52. 1)

α

− β . 2) ax ln2 a . 3)

α aα−β . 4) −sin a . 5) −3 . 6) 1/ 4 .

m

n

β

7)

4 / 3 . 8) −2 . 9) ln a . 10) 1.

53. 1) 1/ 2 . 2) 2 3 . 3) 0 . 4) e−3 . 5) 1 . 6) e2a . 7) e−1 .

8)

1 . 9) 1 . 10) 0 . 11) e . 12) 1 . 13) 1 .

b1−b2

14) 0 , если a

< a ; +∞, если a

> a ; e

a1

, если a

= a .

1

2

1

2

1

2

1

1

54. 1) e−(a+b) . 2) ab . 3) (aabbcc )a+b+c . 4)

.

ab

55. 1)

а), г) да. б), в), д) нет. 2) а), в), г), д) да. б) нет.

3) а), в), г), д) да. б) нет. 4) а), г), д) да. б), в) нет.

5)а) да. б–д) нет. 6) а), в–д) нет. б) да. 56. 1) а) нет. б–д) да. 2) а–д) нет. 3) а–д) да.

4)а), в) нет. б), г), д) да. 5) а) да. б–д) нет.

6)а), в), г) нет. б), д) да.

28

57. 1) а), г) нет. б), в), д) да. 2) а–д) да. 3) а), г) нет. б), в), д) да.

4)а–г) нет. д) нельзя ответить однозначно.

5)а), г) да. б), в), д) нет. 6) а), б), г), д) нет. в) да.

58. а) да, б) нет, в) нет, г) да, д) да, е) нет. 59. а) нет, б) нет, в) да. г) нет, д) да, е) нет.

60. а) да, б) нет, в) нет, г) да, д) да.

61. а) k =1 , б) k =3 , в) k =5 , г) k =3 , д) k = 2 .

62. а) k =3 , б) k =1 , в) k = 2 , г) k = 4 , д) k =1 .

63. а) k = 2 , б) k = 2 , в) k =1 , г) k = 2 , д) k =1 .

64. а) 5x , б) −5x2 , в) −																							1		x4				, г)				1			x2 , д)												1			x , е)				3	x2	, ж)						1	x3			,
																							2																							2								4								2
з) −3x3 .																															2
				1			3					1				1 1/ 2															1 4														1 1								3/ 2				1		1			2
65. а)						, б)																	, в)									,					г) −																	, д)								.
																																																									4
	x											2 x																	x																4 x														x
66. а) 3(x −1)2 , б)																	1				(x −1)1/ 3 , в) (x −1), г) e(x −1),
																	3 2
д) (x −1).
				1			3				1					6								3 1							3								1 1
67. а)						, б)									, в)															,				г)												.
	x										x													2 x															4 x
68. а) 2x2 / 3 , б)												2x2 , в)											6 212 x , г)															1			x3				, д) x2 .
																																					2
69. а)	1						1				, б)					5								1							, в)					1 1 1/ 3																		г) −			1					1
																			2																																		,														,
		2 x −1																		x −1														3				2 x								−1											π x −1
д)				1					.
	x −1

70. 1)	1/120 . 2) ln2 a . 3) 2 . 4) 7 /12 . 5) −8/ 3 . 6) 0 . 7) 7 / 3 .
8) −2 . 9) −1/ 45 . 10) −1/12 . 11) 2 . 12) 7 / 45 .
71. 1)	0 .	2)	−2 . 3) −1/ 4 . 4) −1 . 5) −11/12 . 6) 12 . 7) −4 / 45 .
8)	2 .	9)	9 . 10) 0 . 11) 9 /16 .

72. 1) 1/ 2 . 2) 0 . 3) e1π . 4) 1 . 5) e−13 . 6) 0 . 7) 2 . 8) 1. 9) 0 .

73. 1–4) Правило Лопиталя неприменимо. Предел равен: 1) 1 . 2) 0 . 3) 1 . 4) 3 .

5–8) Формально примененное правило Лопиталя дает неверный результат, равный 0. Предел не существует.

29

3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

3.1. ЧАСТЬ 1

Вычислить предел последовательности {xn} , если xn равно

(1–31):

1.

(n +1)4

−(n −1)4

2.

(2n +1)4

−(n −1)4

;

(n +1)4 +(n −1)4

(2n +1)4

+(n −1)4

3.

n

2

+1

+ n

4. 3 n3 + 2n2 −n

5.

n

2

;

;

3 1 +

−1

;

3 n3 + n + n

2

n

6. 4n n ;

7. n2 n ;

8. n 3n −2 ;

9. n n3 +3n ;

10. n

2n2 −5n +3

;

11. n 3n + 2n ;

12. n

n2 + 4n

;

n +5n

n5 +1

log2 (n +3)

13.

10

1

14.

15.

log5 (n2 +1)

n

−

;

;

;

n

1.2n

n −1.3

n

16.

n −lg n

;

17.

4n + n2 2n −1

;

18.

10n + n!

;

log2 (4n +

1)

n4 +(n!)2

2n

+(n +1)!

19.

(n + 2)!+(n +1)!

;

20.

(n + 2)!+(n +1)!

;

(n + 2)!−(n +1)!

(n +3)!

21.

1

+

2

+ +

n −1

; 22.

1

+

1

+ +

1

;

n2

4

7

7

10

(3n

+1) (3n +

4)

n2

n2

1

+

1

+

1

+... +

1

23.

1

1

1

24.

2

4

2n

1 3

+

3 5

+...

+

(2n −1) (2n +1)

;

1 +

1

+

1

+... +

1

;

3

9

3n

25.

1 + 2 +3 +... + n

; 26.

1 + 2 +3 +... + n

−

n

27.

2n −1

;

n2

n + 2

2

2n +1

30

1

28. 2n −1 ;

1

2n +1

1 n

1 n

1

x+1

29.

+

30.

−

31.

+

x

1

;

1

;

lim 1

.

x

2n

n

x→∞

Вычислить предел функции (32–79):

32. а) lim

2x7 +5x6 +7x3

б)

2x7

+5x6 +7x3

;

lim

;

3x7

+ 4x3

3x7 + 4x3

x→0

x→∞

33.

lim

(x +5)5 +(x +6)5 +(x +7)5

;

x5 +55

x→∞

34.

(x +1)2 (3 −7x)2

35.

(2x3 +7x −1)6

lim

;

lim

;

(2x −1)4

x→∞

x→∞ (2x6 −13x2 + x)3

36.

lim

x3 +3x2 + 2x

;

37.

lim

8x3 −1

;

x2 − x −6

6x2

x→−2

x→

1

−5x +1

2

38.

1

−

3

;

39.

1

−

1

;

lim

lim

− x

x→1 1

1 − x3

x→2

x(x −2)2

x2 −3x + 2

40.

x4

−2x +1

41.

x2 −4x +

6

+

x −4

lim

;

lim

;

−2x +1

+

x→1 x8

x→1

x2 −5x +

4 3x2 −9x

6

42. lim

x

;

43. lim

6 − x −1

;

3 1

+ x −1

3

− 4 + x

x→0

x→5

44.

2 x2 + x +1 −2 − x

; 45.

7 + 2x − x2 − 1+ x + x2

lim

lim

;

x2

2x − x2

x→0

x→2

46.

lim

4x4 +13x2 −7 −2x2

;

47. lim

4

−

21 − x

;

3

x −13 + 2

x→∞

x→5

48. lim

3 25 + x − 3 29 − x

;

49.

lim

x2 +5x + x

;

x→2

x −

2x

x→−∞

50. а)

lim

x2

+ 2x − x

, б)

lim

x2

+ 2x − x

;

x→+∞

x→−∞

31

51. lim	1 −cos3 x	;	52. lim	tg x	; 53. lim	tg x −sin x	;
						x3
x→0 x sin (2x)			x→0 3 (1 −cos x)2		x→0

54.

57.

	lim		1	−	1		;
	x→0	sin x			tgx

lg x −1

lim − ; 58.

x→10 x 10

55. lim	1 −sin x						;
					2
x→π		π
2		2		− x
		10 + x
lim x log		2						;
				5	+ x
x→∞

56.

59.

lim		π
			2	− x tg x ;
x→	π
	2

lim ln cos(5x) ; x→0 ln cos(4x)

60.

2 ln cos

π

61.

10x −1

62.

(x(31/ x −1));

lim

x

x

;

lim

;

lim

−1

x→∞

x→0 2x

x→∞

sin(an )

63.

e7x −e2x

64.

π

65.

lim

;

lim x

−arctg x ;

lim

;

tg x

x→0

x→+∞

2

a→0 (sin a)m

66.

lim

x

(π−arcctg x);

67.

lim

2x −arcsin x

;

2x +arctg x

x→−∞

x→0

3x −4

x+1

x2

+1

x

2

x

2 + 4

x

2

68.

3

69.

; 70.

lim

;

lim

lim

;

2

2

−1

−4

x→∞ 3x + 2

x→∞ x

x→∞ x

71.

а) lim

x +1 x

б)

x +1 x

,

lim

;

−1

x→+∞ 2x

−1

x→−∞ 2x

72.

1 x /(2x+1)

73.

1 + x − x)1/ x ;

lim

;

lim (

x→∞

x2

1/ sin2 x

x→0

74. lim (1 +3x

2

;

75.

lim

(1 +ctg x)

tg x

;

)

x→0

x→π/ 2

76. lim (cos x)−1/ x2 ;

77.

lim

(sin x)tg 2x ;

x→0

x→π/ 2

78. lim (cos6x)ctg2x ;

79. lim (ln(e + x))ctg x .

x→0

x→0

32

Вычислить предел; используя асимптотические разложения

(80–114):

80.

1

−

1

81.

1

1

lim

;

lim

−

;

x→0

x

ex −1

x→1 ln x

x

−1

82.

lim

cos x −e−x2 / 2

;

83.

lim

1

−

1

;

x4

x→0

x→0 x

sin x

84.

1

1

85.

ln (1 + x)− x

lim

−ctg x

;

lim

;

x2

x→0 x

x

x→0

86.

lim

ex

−1 − x

;

87.

lim

cos x −1 + x2 / 2

;

x2

x4

x→0

x→0

88.

lim

tgx −sin x

;

89.

lim

1 + x + 3 1+ x −2

4 1− x

;

x2

x

x→0

x→0

90.

lim

33 1 + x −44 1 + x +1

;

91.

lim

tg x−x

;

2 −2 1 − x

−x

x→0

x→0 sin x

92. lim

e

x2

−

1 + 2x

2

93. lim

1

−

1

;

;

tg4 x

tgx

x→0

x→0

sin x

1

1

2

1

94.

lim

−

;

95.

lim

x−x

ln 1+

;

xtgx

x

x→0

x2

x→+∞

96.

lim

ln(1 +3x + x2 ) +ln(1−3x + x2 )

;

97.

lim

3 9 + x + x +7

;

x2

3 15 + 2x +1

x→0

x→−8

98.

lim

9x2 +1 − 3 x2 −1

;

99.

lim

3 x3 +

3x2 −

x2 −2x

;

x→∞ 4 x4 +1 − 5 x4 −1

x→+∞

100.

lim

3 x

(x + 4)

2

−

3 (x −

1)

2

;

101.

lim (cos x)

ctg2x

;

3

x→∞

x→0

3

1

2

x

ex− 3 1 +3x + 9x2

2

102.

lim

x

ln

1

+

− x

+

;

103.

lim

;

x

2

x3

x→+∞

x→0

33

1/ 3		2 / 3	−(x −1)	2 / 3		;
104. lim x	(x +1)
x→+∞

105. lim

ln (1 + x3 )−2sin x + 2x cos x2

;

x→0

arctg x3

esin(5x) −esin x

5

5 4

5 5 4

106. lim

x +x

−

x −x

;

107.

lim

;

ln(1 + 2x)

x→+∞

x→0

108. lim

5 2x2 +10x +1−7 x2 +10x +1

;

109. lim

ax − xa

;

x

x −a

x→0

x→a

110.

cos x −

4 e−x2

111. lim

ln cos(x2 )+ 6 1 +3x4 −1

lim

;

;

x→0

x4

x→0

x8

112.

lim

4

1 + x2 + x3 −1

;

113. lim

ex − 1 + 2x

;

ln cos x

ln cos x

x→0

x→0

x

1 +sin x −

ln (1 + x2 )

− x

114.

lim

2

.

tg3x

x→0

Используя формулу Тейлора; выписать необходимое количество слагаемых асимптотической формулы и вычислить предел

(115–120):

115.		arctg (2−x)+sin (x−2)2
	lim									;
					x2	−4
	x→2
		arctg x		1/ x2
117.	lim					;
			x
	x→0
119. lim			1		−	1			;
						x2
	x→0	xarctg x

116.

118.

120.

								1/ x2
lim	arcsin x										;
				x
x→0
lim		1	−				1				;
x→0	x					arcsin x
			2						x
lim					arctg x .
			π
x→+∞

34

ОТВЕТЫ

1. 0. 2.	15	. 3.	1	. 4.	2	. 5.	1	. 6. 1. 7. 1. 8. 1. 9. 1. 10. 1. 11. 3 .
	17				3		3
		2							1.
12. 4 / 5 . 13. 1. 14. 0 . 15. 0 . 16. 1/ 2 . 17. 0 . 18. 0 . 19. 0 . 20.
21. 1/ 2 .	22. 1/12 . 23. 1/ 2 .						24. 4 / 3 . 25. 1/ 2 . 26. −1/ 2 . 27.		1.
28. 0 . 29.		e . 30. e . 31. 1. 32. а) 7 / 4 , б) 2 / 3 . 33. 3 . 34. −5/ 2 .

35. 8 . 36. −2 / 5 . 37. 6 . 38. −1. 39. ∞ . 40. 1/ 3 . 41. 1. 42. 3 . 43. 3 .

44. 3/ 4 . 45. 7 / 4 . 46. 13/ 4 . 47. 3/ 2 . 48. 4 / 27 . 49. −5/ 2 . 50. а) 1, б) +∞ . 51. 3/ 4 . 52. ∞ . 53. 1/ 2 . 54. 0 . 55. 1/ 2 . 56. 1.

57. 1/ (10ln10). 58.	5 / ln 2 . 59. 25 /16 . 60.	−π2 / 2 . 61.	ln10 / ln 2 .
	0, n > m		−	2
		−1. 67. 1/ 3 .		3 .
62. ln 3 . 63. 5 . 64. 1. 65. 1, n = m 66.			68. e
	∞, n < m	e . 74. e3 . 75. e . 76.
69. e2 . 70. e8 . 71. а) 0 , б) ∞ . 72. 0 . 73. 1/
e .
77. 1/ e . 78. e−18 . 79. e1/ e . 80. 1/ 2 . 81. 1/ 2 . 82. −1/12 . 83.				0 .
84. 1/ 3 . 85. −1/ 2 .	86. 1/ 2 . 87. 1/ 24 . 88. 1/ 2 . 89. 4 / 3 . 90.			0 .

91. −2 . 92. 1. 93. 0 . 94. 1/ 3 . 95. 1/ 2 . 96. −7 . 97. 2 . 98. 3 . 99. 2 .

100.	10 / 3 . 101.	−	1	102.				−1/ 3 .	103.	3/ 2 . 104. 4 / 3 . 105. −4 / 3 .
		e	2 .
106.	2 / 5 . 107. 2 . 108.				4 / 7 . 109.				aa (ln a −1) . 110.		1/ 2 . 111.	0 .
112.	−1/ 2 . 113.	−2 .		114.				−1/ 8 .	115.	−1/ 4 . 116.	1	−1
											e6 . 117. e	3 .
					−	2
118.	0 . 119. 1/ 3 . 120.			e		π .

35

3.2. ЧАСТЬ 2

Вычислить предел последовательности {xn} , если xn равно

(1–20):

1.

(n +5)4 −(2n −2)4

;

2.

(n + 2)!+(n +1)!

;

(n

+5)4 +(2n

−

2)4

(n +3)!−(n +1)!

3. 3 n3 + n2 + n +1 − 3 n3 −n2 + n −1 ;

4. n

2n3 −5n2 +3

;

n2 + n7

5. n 5n +7n ;

6. n

n2 +7n

;

7.

n −lg n

;

n + 2n

log2 (4n +1)

8.

4n

+ n2 2n −1

9.

(−3)n2 −n

10.

2n / 2

+(n +1)!

;

;

;

n4 +(n!)2

n(3n

+ n!)

(n3)!

11.

5n −1

;

12.

a2

+ a3

+... + an

,

0 <

a

<1,0 <

b

<1 ;

5n

+1

b4 +b5

+... +bn

1 −2 +3 −4 +... −2n

n

1

13.

;

14.

∑

;

n2 +1

3

+3k

2

+

2k

k =1 k

15.

1

+

1

+

+

1

;

7

9

12 14

(5n + 2)

(5n + 4)

16.

1

+

1

+

1

+... +

1

;

		n2 +5				n2 +6						n2 +7					n2 + 2n
17.				1				+				1				+	1		+... +	1		;
		(n +1)2 +5															(n +3)2
										(n + 2)2 +5								+5		9n2	+5
18.			1					1					1
	1−				1	−					1	−			.
			2	2			2						n	2
							3

36

Пусть {an}

– арифметическая прогрессия с разностью d ≠ 0 .

Вычислить:

1

1

1

1

19.

lim

+

+

+

;

n→∞

n

a1 + a2

a2

+ a3

an +

an+1

20.

1

+

1

+... +

1

lim

.

a

a

a a

a

a

n→∞

1

2

2

3

n

n+1

Вычислить предел (21–52):

21.

а)

lim

4x9 +8x8 +5x7 +9x4

, б)

lim

4x9

+8x8 +5x7 +9x4

;

5x9 +6x6 +7x4

5x9 +6x6 +7x4

x→0

x→∞

22.

lim

2

+

1

;

23.

lim

x4

− x3 + x2 −3x + 2

;

− x2

x3 − x2 − x +1

x→2

2x

x2 −3x + 2

x→1

24. lim

xm −1

;

25.

lim

(x +1)10 +(x + 2)10 +... +(x +100)10

;

x10 +1010

x→1 xn −1

x→∞

26.

lim

x101

−101x +100

;

27.

lim

25x

6

+ 20x

3

−7 −5x

3

;

x

2

−2x +1

x→1

x→∞

28. lim

3 192 +8x − 3 240 −8x

;

29. lim

m x −1

;

x − 3x

−1

x→3

x→1 n x

30. а)

lim

1

+

2x + x

2

−

x

2

,

−4x +1

x→+∞

б)

lim

1

+

2x + x

2

−

x

2

;

−4x +1

x→−∞

31.

lim

tg (an )

;

32.

lim

1 −cos3 x

;

33.

lim

n

5 −1

;

2x)

1

a→0 (tg a)m

x→0 x arcsin (

n→∞ n 3 −

34.

(1 −cos x)2

35.

+

a

bx

;

lim

;

lim

1

x→0 tg3 x −sin3 x

x→∞

x

37

36.

37.

39.

а) lim			2x +1					x
									,
					−1
x→+∞			x
	x2 +1					x2
lim								;
		2
			−2
x→∞ x

	25 + x
lim x log5			;
x→∞	5 + x

б)

38.

2x +1 x
lim					;
x→−∞ x −1
x2				− x +1				x
lim									;
			2
				+ x +1
x→∞ x
40. lim						2			1		ln cos
			cosec
x→∞								x

5 x ;

ln

π

+ 4x

tg

4

ln cos (

3x)

41.

lim

;

42.

lim

;

x

5x)

x→0

x→0 ln cos(

43.

lim

1 −ctg (πx)

;

44. lim

7x

−1

;

x→1/ 4 ln (tg (πx))

x→0 5x

−

1

45.

lim

e

sin(8x)

−e

sin(5x)

;

46.

lim

e

x2

−1

;

ln(1

−3x)

1 +sin2 x −1

x→0

(

))

x→0

47.

lim

x

(

π−arcctg x

;

48.

lim

(1 +ctg x)sec x ;

x→−∞

x→π/ 2

49. lim (cos(6x)+ x2 )cosec(x2 );

50. lim

ex2 −cos x

;

x→0

1/(tg x+x2 )

x→0

sin2 x

51.

lim (ln(e + x + x

2

;

52.

lim

(sin x)

tg2x

.

))

x→0

x→π/ 2

Вычислить предел, используя асимптотические разложения

(53–76):

53. lim

3 5x −24 − x + 4

; 54.

5

32x5 +3 − 7 x3 +7

;

lim

x→5

3 16x −72

−12 + 2x

x→∞

3 x3 +7 − 5 x4

−1

55. lim

+ 2)

2

−

(x −1)

2

;

3 x 3 (x

3

x→∞

38

56.

lim

5

x

5

+ 2x

4

−

3

x

3

−

5x

2

;

x→+∞

ex − 5 1 + x +

25 x2

58. lim (cos x +sin2 x)1/arcsin

2

x ;

57. lim

2

;

x3

x→0

x→0

ax

− xa

2

5

59.

lim

5x − x

ln 1 +

;

60. lim

, a > 0 ;

x

x

−a

x→+∞

x→a

a

b

ab ≠ 0 ;

62. lim x2 (41/ x −41/(x+1) ) ;

61. lim

−

,

x→1 1 − xa

1 − xb

x→∞

3

3

63.

lim

x

ln 1

+

−

x

x→+∞

65.

lim

3

x

3

−2x

2

−

3

x→+∞

2 −

x

−(x3 +

67.

lim

x

2

x→+∞

2 +

9

xx −aa

3x

x

;

64.

lim

,

a > 0

;

2

x −a

x→a

x

3

+ 2x

2

;

66.

lim

(tg x)

cos x

;

x→π/ 2−0

1

x +1)ln 1

+

;

x

68. lim

e

x

e

x

+1

−

e

x

−1

;

69. lim

e2x − 4 1 +8x

;

ln cos x

x→+∞

x→0

70.

lim

ex +ln

(1 −sin x)−1

;

71.

lim

x

1 +sin x +ln (1 − x)

;

x→0

3

8

− x

4

−2

x→0

tg x −sin x

x

1 +sin x −

ln (1 + x2 )

− x

72.

lim

2

;

ln (1 + x

3

)

x→0

1/ x

1/ x

ln cos2 x+x2 6 1+x2−x 4

73.

lim

x (2e)

+e

−

2

;

74. lim

;

x

6

x→+∞

x→0

75.

lim

cos(sin x) −

1 − x2+ x4

; 76. * lim

(cos x)sin x −

1 − x3

.

x4

x6

x→0

x→0

39

Используя формулу Тейлора, выписать необходимое количество слагаемых асимптотической формулы и вычислить предел

(77–80):

77.

79.

		2			x
lim				arctg x ;
x→+∞ π
lim		xetg x −sin2 x − x				;
			x	+ x3	− tg x
x→0

78. lim			1	−	1		;
x→0	arctg x				arcsin x
80. lim			x2ex−ln (1+x2 )−arcsin x3					.
				xsin x − x2
x→0

ОТВЕТЫ

	1.	−15/17 . 2. 0 . 3.			2 / 3 . 4.			1. 5.	7 . 6.	7 / 2 . 7.	1/ 2 . 8.		0 . 9. 0 .
	10.	1. 11. 1. 12. .			a(1 −b)			. 13.	−1. 14. 1/ 4 .		15. 1/14 . 16. 2 .
					b4 (1 −a)
	17. 2 . 18. 1/ 2 . 19. 1/ d						. 20. (a d )−1 . 21. а) 9 / 7 , б) 4 / 5 .
	22.	−1/ 2 . 23.	2 .	24.		m / n .			1		27.	2 . 28. 8/ 27 .
							25. 100 . 26. 5050 .
								0, n > m
	29.	n / m . 30. а)		3 , б) −3 .					1, n = m 32.		3/ 4 . 33.		log3 5 .
								31.
								∞, n < m
	34. ∞ . 35. eab . 36. а) ∞ , б) 0 . 37. e3 . 38. e−2 . 39.												20 / ln 5 .
	40.	−12.5 . 41. 8		42.		9 / 25 .		1 44.	log5 7 . 45. −1. 46. 2 . 47. −1.
	48.	e . 49. e−17 . 50.			3/ 2 . 51.			e1/ e . 52. 1/		e . 53.	0.2 . 54. 2 . 55. 2 .
	56.	31/15 .	57.	∞ .		58.		e .	59.	12.5 .	60.	aa (ln a −1) .

61. (a −b)/ 2 . 62. ln 4 . 63. 9 . 64. aa (1 +ln a). 65. −4 / 3 . 66. 1.

67. −4 / 3 . 68. 1. 69. −16 . 70. 1/ 2 . 71. −11/12 . 72. −1/ 8 . 73. 2 +ln 2 . 74. 0 . 75. −1/ 6 . 76. −1/ 2 . 77. e−2 / π . 78. 0 . 79. 3/ 4 .

80. −6 .

40