metodichka_2_semestr

(x1)

уравнения (приступая к решению задачи, мы не знаем значение корня).

y	Y x
C	Y (x)

A

B

0	x0	x1	x2 a	x
		Рис.3
Зададимся некоторым	x0 . Значение		x1 (x0 ) . Так как	ОА на рис. 3 равно

(x0) , то найти x1 можно следующим образом:

–проведем через точку А горизонтальную линию до пересечения с прямой

y x в точке B . Значение x2 (x1 ) можно найти, проведя через точку B

ертикальную линию до пересечения с кривой y (x) . При этом мы получаем отрезок ОС , равный , и, проводя через точку С горизонтальную линию

до пересечения с прямой y x , получаем	x2 . Процесс продолжается в том же
порядке и дальше, при этом последовательные значения x		сходятся к x а .
Рассмотрим теперь кривую y (x)	на рис 4,	производная которой

отрицательна, но меньше единицы по абсолютной величине 0 ( x) 1 .

2

y				Y x
	Y ( x)
0	x0	x 2	a x3	x1	x
			Рис. 4
Приближения опять сходятся к решению				x а . В	этом случае	каждое
последующее приближение находится с противоположной стороны от						x а .
Для функции с положительной производной все последовательные
приближения находились с одной стороны от истинного значения. Наконец,
рассмотрим случаи, когда производная функции 1 ( x) 1 . В обоих случаях
метод расходится (рис 5,6). Каждое последующее значение x отстоит дальше от
истинного значения корня, чем предшествующее. Таким образом, метод
итераций по формуле (3) сходится при условии, что производная (x) 1 по
абсолютной величине.

2

y	Y (x)		Y x
( x )	1
0	a x0 x1	x 2	x
	Рис. 5

Неравенства должны выполняться при всех значениях xn , вычисляемых в ходе решения задачи.

Что происходит, если (x) 1? Точного ответа на этот вопрос не существует,

процесс иногда сходится, а иногда расходится.

y	Y ( x)
				Y x
				( x ) 1
0	x2 x0 a	x1	x3	x
			Рис. 6

2

					Алгоритм метода простых итераций
1.	Задается начальное приближение корня x и точность вычисления .
2.	Вычисляется уточненное значение корня y по формуле y (x) .
3.	Определяется достигнутая на данном шаге точность вычисления корня
E1			y x		.
4.	В качестве начального приближения для следующего шага принимается
уточненное значение, полученное на данном шаге: x y .
5.	Выполняется проверка на достижение заданной точности. Если точность не
достигнута, то процесс итерации повторяют, т.е. если E1 , то идти на пункт 2.
6.	При достижении заданной точности значение корня уравнения выводится на
печать.
					Метод Ньютона

Метод Ньютона является одним из наиболее эффективных методов нахождения корней нелинейных уравнений. Он состоит в построении итерационной последовательности

xn 1 xn	F (xn ) F		),	(4)
		(xn

сходящейся к корню уравнения F(x) 0 .

Рассмотрим геометрическое толкование метода Ньютона (рис. 7).

Нахождение следующего приближения сводится к тому, что проводится касательная к кривой Y f (x) . В этом случае отыскивается точка пересечения кривой y F (x) с осью x . Исходя из некоторого начального приближения xn ,

находим соответствующее ему значение F (xn ) , проводим касательную к кривой y F (x) и ищем точку пересечения этой касательной с осью OX . Легко видеть, что эта точка и будет значением xn 1 из формулы (4), так как там

2

требуется провести через точку с координатами xn , F (xn ) прямую с угловым

коэффициентом F (xn ) и затем найти ее пересечение с осью OX .

y

Y F (x)

0	xn	xn 1	xn 2 a	x

Рис. 7

Метод Ньютона особенно эффективен, если известно хорошее начальное приближение корня и в окрестностях корня график функции имеет большую крутизну. Алгоритм метода Ньютона совпадаете алгоритмом метода простых итераций с той разницей, что уточненное значение корня в пункте 2 вычисляется

по формуле y x F (x )F (x ) .

Сравнение методов

Так как метод Ньютона сходится гораздо быстрее, чем метод последовательных приближений, возникает вопрос, почему все же используются оба метода. Применяя метод Ньютона при каждой очередной итерации,

требуется вычислять не только функцию, но и ее производную. Эти вычисления могут оказаться трудными, длительными или даже вообще невозможными.

Например, функция F(x) может быть задана не формулой, а таблицей значений.

Производная может даже не существовать в некоторых точках. В таких случаях часто применяется метод последовательных приближений. Другими словами,

выбор метода зависит от конкретного вида функции (x) и F(x) .

Необходимо отметить то, что ошибка округления не накапливается при

2

использовании итерационных методов решения уравнений. Общая ошибка округления равна ошибке, возникающей в последней итерации, и не зависит от арифметических операций, выполнявшихся ранее. Это общее свойство всех итерационных методов – оно является одним из важнейших преимуществ итерационных методов перед всеми другими.

Ошибки округления не накапливаются потому, что каждое новое приближение, включая и предпоследнее, можно рассматривать как исходное приближение. Ошибка округления при вычислении последнего приближения зависит только от арифметических операций, с помощью которых это последнее приближение получается из предпоследнего.

Задание

Составить и просчитать программу локализации первого положительного корня нелинейного уравнения F(x) 0 и уточнения его методами:

а) половинного деления;

б) простых итераций;

в) Ньютона с точностью 0.0001 . Определить число необходимых итераций.

Для решения нелинейного уравнения составить головную программу, при составлении программы на Фортране алгоритмы методов локализации,

половинного деления, простых итераций и Ньютона оформить в виде подпрограмм-процедур, а нелинейное уравнение F(x) , функции (x) , F (x)

оформить в виде подпрограмм-функций.

Варианты заданий даны в Таблице 1.

Задачи к защите лабораторной работы

1. Локализовать все корни уравнения x3 6x2 12x 5 0 .

2

2. Для уравнения x4 6x3 9x2 16 0 найти корни.

3. Найти все корни уравнения sin(x) 1 / x 0 на отрезке 0, .

4. Для каждого целого числа n от 1 до 50 найти с точностью 1 / n2 наибольший корень уравнения x3 / n2 3x2 1 0 (этот корень меньше 3n2 ).

5. Для уравнения вида F(x, y) 0 (например, y3 x3 2xy 0 ) при изменении x

от x0 до xk шагом h вычислить значения y .

6. Для функции y xebx x2 на отрезке 0,4 найти:

а) наибольшее значение;

б) наименьшее значение.

7. Для функции F(x) на отрезке a,b найти:

а) все локальные минимумы;

б) все локальные максимумы;

г) максимальное значение;

д) минимальное значение.

Таблица 1

№		Функция F(x)		№	Функция F(x)
1	x 4		2.5	16	x tg(x)
		x
2	cos(2/ x) 2sin(1/ x) 1 / x			17	xln(x) 0.5
3	cos(x) ex/2 x 1			18	arctg(x 1) 2x
4	sin(x)2 cos(x)2 10x			19	2ex 5x

2

5	tg(x / 2) ctg(x / 2) x			20	2e x			3x 1
6	x sin(x) 0.25			21	tg(0.58x 0.1) x
7			cos(0.387x)	22	x cos(x)
		x
8	x2 4sin(x)			23	ctg(1.05x) x
9	3x cos(x) 1			24	x e			3x2
10	2x ln(x) 7			25	x	2	e		x2
11	sin(x /3) 0.5x			26	x ln(x) 3
12	2arctg(x) 3x 2			27	x tg(2x) 1
13	x 3e 3x			28	x e 3x 1
14	x2 x 1			29	x 3cos(x)
15	ctg(x) x / 4			30	x 2e x

2

Лабораторная работа №2

Численное интегрирование

Необходимость вычисления интегралов возникает почти во всех областях прикладной математики. Если не удается найти никакой аналитической формулы, или же она получается очень сложной, то применяют различные методы численного интегрирования, которые основаны на том, что интеграл представляется в виде предела суммы площадей и позволяет вычислить эту сумму с достаточной точностью.

Постановка задачи

Требуется вычислить определенный интеграл

		b
		I f (x)dx	(1)
		a
при условии, что a		и b конечны и f (x)	является непрерывной функцией x на
всем интервале a		и b . Общий подход к решению задачи будет следующим:
определенный интеграл I представляет собой площадь, ограниченную кривой
f (x) , осью x	и прямыми x a и x b . Будем вычислять интеграл I , разбивая
нтервал от a	до b	на множество меньших интервалов, находя приблизительно

площадь каждой полоски, получающейся при таком разбиении, и суммируя площади этих полосок. При этом рассмотрим два способа разбиения исходного интервала на меньшие

1 Разбиение на интервалы (обычно равные) производится заранее. Таким способом, вычисляются интегралы по правилу трапеции и методу парабол

(Симпсона) и методом прямоугольников.

2. Местоположение и длина интервалов определяются путем анализа,

2

сначала ставится требование достичь наивысшей точности с заданным числом интервалов, а затем в соответствии с этим определяются их границы. Примером такого подхода является метод Гаусса.

Правило трапеций

Рассмотрим интеграл (1), который представляет собой заштрихованную площадь рис. 1. Разобьем интервал интегрирования на n равных частей, каждая длиной h (b a) / n . Рассмотрим теперь один из этих интервалов, где масштаб

по оси x сильно увеличен (рис.2). Площадь, лежащая под кривой y f (x)

между xi и xi 1 равна

		xi 1
		Ii	f (x)dx
		xi
y			Y F (x)

0	x a	x b

Рис. 1

x

2