Учебное пособие Основы ВИ

если другая граничная точка может скользить по прямой x = π4 . 6. Найти условие трансверсальности для функционала

x

V[ y] = ò1

A(x, y)earctg y′

dx, A(x, y) ¹ 0.

1+ y¢2

x0

ОТВЕТЫ

4

y′ −ψ ′

10

. 5. y = 0. 6.

1.

. 2.

20 . 3. 2 2 -1. 4.

= 1, т.е. экстремали

10

1

¢ ¢

5

+ yψ

y = y(x)

должны пересекать кривую y =ψ (x) , по которой скользит граничная

точка, под углом

π

(подробнее см. [1, 2]).

4

Условный экстремум

1. Постановка задачи. В вариационной задаче на условный экстремум требуется найти экстремум функционала

x
V[ y1, y2 ,K, yn ] = ò1	F(x, y1, y2 ,K, yn , y1¢, y2¢,K, yn¢ )dx,	(50)
x0
yk (x0 ) = yk 0 ,	yk (x1 ) = yk1 (k = 1,2,K,n),
при наличии условий связи
ϕi (x, y1,K, yn ) = 0 (i = 1,2,K,m < n),		(51)
которые считаются независимыми.
2. Необходимые условия условного экстремума.
Функции y1, y2 ,K, yn , реализующие экстремум функционала		(50) при

наличии условий (51), удовлетворяют при соответствующем выборе

	множителей	λi (x) = 0 (i = 1,2,K,m)		уравнениям		Эйлера, составленным для
	функционала	x1
			æ	m	ö
		L =				(52)
			ç F + åλiϕi ÷dx.
		xò	è	i=1	ø
		0
			m
	Обозначим для краткости F + åλiϕi				= F(x, y1,K, yn ). Тогда функции λi (x)
			i=1			d
	и yi (x) определяются из уравнений Эйлера F¢yk -						F¢yk′ = 0 (k =1, 2,K, n) и
	ϕi (x, y1,K, yn ) = 0 (i = 1, 2,K, m) .					dx
	Уравнения ϕi	= 0 можно считать уравнениями Эйлера для функционала (52),

если аргументами функционала считать не только функции y1, y2 ,K, yn , но и

41

функции λ1(x), λ2 (x),K, λm (x) .

3. Изопериметрическая задача. Пусть даны две функции F(x, y, y′) и

G(x, y, y′) , которые имеют непрерывные частные производные первого и второго порядков при x0 ≤ x ≤ x1 и при произвольных значениях переменных

y, y′.
Среди всех кривых y = y(x) C1[x		, x ], вдоль которых функционал
x	0	1
K[ y] = ò1	G(x, y, y′)dx		(53)
x0

принимает заданное значение l (изопериметрическое условие), определить ту,

для которой функционал

x1

V[ y] = ò F(x, y, y′)dx (54)

x0

принимает экстремальное значение.

Теорема Эйлера. Если кривая y = y(x) доставляет экстремум функционалу (54) при условиях

x

K[ y] = ò1

G(x, y, y′)dx = l,

y0 = y(x0 ),

y1 = y(x1 ),

(55)

y = y(x)

x0

и если

не является экстремалью функционала (53), то существует

константа λ такая, что кривая y = y(x)

есть экстремаль функционала

x1

′

′

(56)

L = ò[F(x, y, y )

+ λG(x, y, y )]dx.

Замечание.

x0

Если

y = y(x) есть экстремаль функционала

(53), то

G

y

−

d

G

y′

= 0 и уравнение Эйлера для функционала (56) обращается в обычное

dx

d

уравнение Эйлера F −

F

= 0 для функционала (54).

dx

y

y′

Изопериметрическими задачами называют также такие вариационные

задачи, в которых требуется определить экстремум функционала

x

V[ y1, y2 ,K, yn ] = ò1

F(x, y1, y2 ,K, yn , y1′, y2′,K, yn′ )dx

(57)

x0

при наличии так называемых изопериметрических условий

x

ò1

Gi (x, y1, y2 ,K, yn , y1′, y2′,K, yn′ )dx = li

(i = 1,2,K,m),

(58)

x0

где li – постоянные.

Для получения основного необходимого условия в изопериметрической задаче о нахождении экстремума функционала (57) при наличии связей (58)

надо составить вспомогательный функционал

42

x1	æ	m	ö
F[ y1, y2 ,K, yn ] =				(59)
	ç F + åλiGi ÷dx,
xò	è	i=1	ø
0

где λi – постоянные, и написать для него уравнения Эйлера. Произвольные

постоянные C1,C2 ,KC2n в общем решении	системы	уравнений Эйлера	и
постоянные λ1,λ2 ,Kλm определяются из граничных условий
yk (x0 ) = yk 0 , yk (x1 ) = yk1	(k = 1,2,K,n)
и из изопериметрических условий (58).
ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ
Пример 1. Найти кратчайшее расстояние между		точками A(1,−1,0)	и

B(2,1,−1), лежащими на поверхности 15x − 7 y + z − 22 = 0 .

▲ Это вариационная задача на условный экстремум с уравнением связи вида ϕ(x, y, z) = 0, в которой нужно определить геодезическую линию [1, 2, 3, 6,

7] на поверхности. Геодезической линией называется линия наименьшей длины, лежащая на данной поверхности и соединяющая две данные точки.

Известно, что расстояние между двумя точками A(x0 , y0 , z0 ) и B(x1, y1, z1 )

	x
на поверхности ϕ(x, y, z) = 0 определяется по формуле l[ y, z] = ò1
		1+ y¢2 + z¢2 dx ,
	x0
где y = y(x),	z = z(x).
Нужно	найти минимум l при условии ϕ(x, y, z) = 0. В	нашем случае
x0 = 1, x1 = 2, ϕ(x, y, z) = 15x − 7 y + z − 22 .
Составим вспомогательный функционал

2

L = ò[1+ y¢2 + z¢2 + λ(x)(15x - 7 y + z - 22)]dx

1

и выпишем уравнения Эйлера для него:
λ(x) ×(-7) -	d	æ		y	¢		ö		= 0,
		ç						÷
		ç		2		2	÷
	dx è			1+ y¢		+ z¢	ø

λ(x) ×1-	d	æ		z	¢		ö		= 0.
		ç						÷
		ç			2	2	÷
	dx è		1+ y¢			+ z¢	ø

Решим систему уравнений (60), (61) используя условие связи

15x − 7 y + z − 22 = 0.

(60)

(61)

(62)

Искомые функции y = y(x) и z = z(x) удовлетворяют следующим граничным условиям:

y(1) = −1, z(1) = 0, y(2) = 1, z(2) = −1.

(63)

43

Умножая

уравнение (61)

на 7 и складывая с (60), получим

d

æ

y

¢

+ 7z

¢

ö

= 0, откуда

ç

÷

ç

2

2

÷

dx è

1+ y¢

+ z¢

ø

		y′ + 7z′		= C1.	(64)
	1+ y¢2 + z¢2
Из (62) имеем
		z′ = 7 y′ −15.			(65)

Подставляя это значение z′ в (64) и решая полученное дифференциальное урав-

нение, найдем y(x) = C1x + C2 . Граничные условия (63) дают	C1 = 2, C2 = −3,
так что
y(x) = 2x − 3.	(66)
Из (65) с учетом (66) находим
z(x) = 1− x	(67)

(граничные условия для функции (67), очевидно выполняются). Из (60) или (61)

2

получаем λ(x) ≡ 0. Искомое расстояние l = ò1+ (2)2 + (-1)2 dx = 6 .

1

Этот же результат сразу получается из очевидных геометрических соображений. ▲

Пример 2 (задача Дидоны). Среди замкнутых кривых длины 2l найти ту, которая ограничивает наибольшую площадь [1, 2, 3, 6, 7].

C′		▲	Заметим,	что
		рассматриваемая кривая должна
B		быть выпуклой. В самом деле, в
A	D	E L противном случае существовала
		бы прямая L (рис. 1) такая, что
C		если зеркально отразить в		ней
		кусок границы BCD , то получим
		область большей площади, чем
S		первоначальная, при той же
Рис. 1		длине границы.
		Далее установим, что всякая

прямая, которая делит пополам замкнутую кривую, ограничивающую наибольшую площадь, будет делить пополам и саму эту площадь. Пусть прямая L1 не обладает этим свойством. Отразив тогда зеркально около L1 ту часть

фигуры, которая имеет большую площадь, мы получили бы кривую той же длины, но ограничивающую большую площадь.

Выбирая за ось Ox любую из прямых, делящих		кривую пополам,
приходим к следующей постановке задачи.
Найти линию y = y(x),	y(−a) = y(a) = 0 , которая при заданной длине
l > 2a ограничивает вместе	с отрезком −a ≤ x ≤ a оси	Ox наибольшую

площадь. Следовательно, задача сводится к поиску экстремума функционала

44

a

V[ y] = ò y dx,

y(−a) = y(a) = 0,

(68)

при условии, что

−a

a

ò

1+ y′2

dx = l

(l > 2a).

(69)

−a

Рассмотрим вспомогательный функционал

a

L = ò ( y + λ

1+ y′2

)dx.

(70)

−a

от x ,

Подынтегральная функция в функционале (70) не зависит явно

поэтому уравнение

Эйлера

для

него

имеет вид F - y′× Fy′ = C1

или

y + λ

−

λ y′2

= C , откуда y − C =

−λ

.

1+ y′2

1+ y′2

1

1

1+ y′2

Полагая y¢ = tgt , получаем

y − C1 = −λ cost,

(71)

dy

= tgt,

dx =

dy

= λ sin tdt = λ costdt,

dx

tgt

tgt

x − C2

= λ sin t.

(72)

Исключая t из параметрических уравнений экстремалей (71) и (72), находим

( y − C )2 + (x − C

2

)2 = λ2 – семейство окружностей. Постоянные C , C

, λ опре-

1

1

2

a

деляются из условий y(−a) = y(a) = 0,

ò

1+ y′2

dx = l . ▲

−a

π

π

Пример 3. Найти минимум интеграла V[ y] = ò y′2dx при условии ò y2dx = 1,

y(0) = y(π ) = 0.

0

0

π

▲ Составим вспомогательный функционал L = ò( y′2 + λ y2 )dx и выпишем

для него уравнение Эйлера

0

d

′

) = 0

или y

′′

− λ y

= 0.

(73)

2λ y − dx (2 y

Характеристическое уравнение r2 − λ = 0 или r

= ±

. Ясно, что λ

должно

λ

1,2

быть меньше нуля, так как если допустить, что λ > 0, то общее решение уравне-

ния (73) будет иметь вид y = C e	λ	x + C	e−	λ	x	и граничные условия	y(0) = 0,
1	2
y(π ) = 0 будут удовлетворяться только при C1 = 0, C2 = 0 , т.е. при							y(x) ≡ 0.

π

Но в таком случае не будет выполняться условие ò y2dx = 1.

0

Аналогично в случае λ = 0 решением уравнения Эйлера (73),

45

удовлетворяющим заданным граничным условиям, будет функция y(0) ≡ 0. Поэтому считаем λ < 0, так что r1,2 = ±i−λ , и общим решением уравнения (73)

будет y = C1 sin

−λ

x + C2 cos

−λ

x . Условие

y(0) = 0

дает

C2 = 0 ,

а условие

y(π ) = 0 дает

–

λ = k2

(k = 1, 2,K) .

Итак, y(x) = C1 sin kx ,

где

C1

пока не

π

определено.

Воспользовавшись

условием

связи

ò y2dx = 1,

получим

π

0

2

2

òC12 sin2 kxdx = 1,

откуда

C1

= ±

.

Значит,

y(x) = ±

sin kx .

Но

среди

π

π

0

экстремалей y(x) = ±

2

sin kx , проходящих через точки (0,0) и (π ,0) , условию

π

Якоби удовлетворяют

только две,

а

именно

y(x) = ±

2

sin x .

На

этих

π

π

π

2

2

2

экстремалях V[ y] = ò y′ dx = ò

cos

x dx = 1. ▲

π

0

0

ЗАДАЧИ

1. Найти кратчайшее расстояние между точками

A(1,0,−1) и

B(0,−1,1) ,

лежащими на поверхности x + y + z = 0 .

Найти экстремали в изопериметрических задачах:

1

1

2. V[ y] = ò y′2dx,

y(0) = 1,

y(1) = 6 при условии ò ydx = 3.

0

0

1

1

3. V[ y] = ò(x2 + y′2 )dx,

y(0) = 1,

y(1) = 0 при условии ò y2dx = 2.

0

0

1

1

1

1

4. V[ y] = ò y′2dx,

y(0) = 1,

y(1) =

при условии ò( y − y′2 )dx =

.

0

4

0

12

1

5. V[ y, z] = ò( y′2 + z′2 − 4xz′ − 4z)dx,

y(0) = 0,

z(0) = 0,

y(1) = 1,

z(1) = 1 при

0

1

условии ò( y′2 − xy′ − z′2 )dx = 2.

0

ОТВЕТЫ
1.			. 2.		y = 3x2 + 2x +1. 3.				y = ±2sinπ nx, n Z . 4. y =			1	(2x − x2 ) .
		6
				7x − 5x2								4
5.	y =					, z = x,	y		= 3x2 − 2x, z		= x (подробнее см. [1, 2]).
								2		2
	1				2	1
									46

Литература

1.Краснов М.Л. / Вариационное исчисление: задачи и упражнения: учебное пособие для втузов / М.Л. Краснов, Г.И. Макаренко, А.И. Киселев. – М.:

Наука, 1973. – 190 с.

2.Краснов М.Л. / Вариационное исчисление. Задачи и примеры с подроб- ными решениями: учебное пособие для втузов / М.Л. Краснов, А.И. Кисе- лев, Г.И. Макаренко. – М.: Едиториал УРСС, 2002. – 166 с.

3.Васильева А.Б. / Дифференциальные и интегральные уравнения, вариаци- онное исчисление в примерах и задачах / А.Б. Васильева, Г.Н. Медведев, Н.А. Тихонов, Т.А. Уразгильдина. – М.: Физматлит, 2003. – 432 с.

4.Цлаф, Л.Я. / Вариационное исчисление и интегральные уравнения: спра- вочное руководство / Л.Я. Цлаф. – 3-е изд., стереотипное. – СПб.: Лань, 2005. – 192 с.

5.Пантелеев, А.В. / Методы оптимизации в примерах и задачах: Учебное пособие / А.В. Пантелеев, Т.А. Летова. – 2-е изд., исправленное. – М.: Высшая школа, 2005. – 544 с.

6.Эльсгольц Л.Э. / Вариационное исчисление: учебник для физических и физико-математических факультетов университетов / Л.С. Эльсгольц. –

М.: URSS, 2008. – 205 с.

7.Эльсгольц Л.Э. / Дифференциальные уравнения и вариационное исчисле- ние: Учебник для физ. спец. ун-тов / Л.Э. Эльсгольц. – М.: Наука, 1969. – 424 с.

8.Андреева, Е.А. / Вариационное исчисление и методы оптимизации: учеб- ное пособие для университетов / Е.А. Андреева, В.М. Цирулева. – М.: Высшая школа, 2006. – 583 с.

47

ОГЛАВЛЕНИЕ
ФУНКЦИОНАЛ. БЛИЗОСТЬ КРИВЫХ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИОНАЛА ........................	3
Примеры с решениями.............................................................................................................	5
Задачи ........................................................................................................................................	7
Ответы .......................................................................................................................................	8
ВАРИАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛА. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА. НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ
ЭКСТРЕМУМА .................................................................................................................	8
Примеры с решениями.............................................................................................................	9
Задачи ......................................................................................................................................	12
Ответы .....................................................................................................................................	12
ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА ..........	13
Примеры с решениями...........................................................................................................	15
Задачи ......................................................................................................................................	19
Ответы .....................................................................................................................................	21
ОБОБЩЕНИЯ ПРОСТЕЙШЕЙ ЗАДАЧИ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ.........................	21
Примеры с решениями...........................................................................................................	23
Задачи ......................................................................................................................................	24
Ответы .....................................................................................................................................	26
ПОЛЕ ЭКСТРЕМАЛЕЙ....................................................................................................	26
Примеры с решениями...........................................................................................................	28
Задачи ......................................................................................................................................	31
Ответы .....................................................................................................................................	32
ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИОНАЛА ............................................	33
Примеры с решениями...........................................................................................................	34
Задачи ......................................................................................................................................	36
Ответы .....................................................................................................................................	37
ЗАДАЧА С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ........................................................................	38
Примеры с решениями...........................................................................................................	39
Задачи ......................................................................................................................................	40
Ответы .....................................................................................................................................	41
УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ..............................................................................................	41
Примеры с решениями...........................................................................................................	43
Задачи ......................................................................................................................................	46
Ответы .....................................................................................................................................	46
ЛИТЕРАТУРА ................................................................................................................	47

48