Оптика Лабораторный практикум

где νx = xλf , ν y = yλf – пространственные частоты, а f – фокус-

ное расстояние линзы.

Следовательно, с точностью до постоянного множителя распределение амплитуды светового поля в фокальной плоскости линзы представляет собой фурье-образ распределения комплексной амплитуды света во входной плоскости линзы.

Указанное свойство линзы широко используется в современных оптических устройствах обработки информации, с помощью которых решаются задачи обработки сигналов и изображений, распознавания образов, анализа зрительной системы человека и др. Соответствующий раздел оптики называется фурье-оптикой.

Для того чтобы во входной плоскости линзы создать заданное распределение света, выражаемое функцией Е%′(x′, y′) , перед линзой помещают пластинку. На нее параллельно оптической оси системы направляется параллельный пучок монохроматического света длиной волны λ и постоянной по сечению пучка амплитуды. Коэффициент пропускания света для этой пластинки должен зависеть от координат х' и у' так, чтобы амплитуда проходящего через пластинку света описы-

валась заданной функцией Е%′(x′, y′) . Такую пластинку называют транспарантом. Фурье-образ функции, записанной на транспаранте, появляется на экране практически мгновенно — за время прохождения света от транспаранта до экрана, что недостижимо для электронных цифровых процессоров.

Распределение света в фокальной плоскости линзы обычно регистрируется с помощью фотоприемников, напряжение на выходе которых пропорционально не амплитуде света, а его интенсивности. Интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды, а следовательно, распределение интенсивности в фокальной плоскости линзы

пропорционально квадрату фурье-образа функции Е%′(x′, y′) , т. е.

	∞ ∞		%	−i 2π(xx′ + yy′)						2
I (x, y) ~	∫	∫	Е′(x′, y′) exp			λf		dx′dy′		.	(8)
	−∞	−∞
				51

Описание эксперимента

В настоящей работе предлагается на частном примере убедиться, что распределение интенсивности света в фокальной плоскости линзы представляет собой квадрат фурье-образа распределения амплитуды во

y'

входной плоскости линзы.

Поместим во входной плоскости линзы уз-

кую щель,

ширина которой равна b , а длина а,

a

как показано на рис. 2. На щель направим пло-

скую световую волну с волновым вектором, па-

раллельным оптической оси.

Амплитуду волны

x′

обозначим

A0 .Тогда в плоскости расположения

%

b

щели для точек внутри щели

Е′(x′, y′) = A0

, а для

точек вне щели

%

Распределение ам-

Е′(x′, y′) = 0.

Рис. 2

плитуды света

в фокальной

плоскости

линзы

будет иметь вид:

b 2

a 2

−i 2π(xx′ + yy′)

′ ′

=

A(x, y) ~

∫

∫ A0 exp

λf

dx dy

−b 2

−a 2

= A0ab

sin(πbx / λf ) sin(πay / λf )

.

(9)

πbx / λf

πay / λf

Поскольку интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды, для распределения интенсивности в фокальной плоскости имеем:

	I (x, y) = I0	sin2 (πbx / λf ) sin2 (πay / λf )				,	(10)
		(πbx / λf )2 (πay / λf )			2
где I0 –	интенсивность света в точке с координатами х = 0, у = 0.
Два	сомножителя в выражении (10) имеют вид						функции
(sinα/α)2 . График этой функции показан на рис.					3.
	52

(sin α / α)2

1

– 3π		– π	π	3π	α
	–2	π		2π

Рис. 3

Минимум этой функции наблюдается при

α = mπ , m = ±1, ±2, ...

(11)

Из выражений (10) и (11) следует, что ширина центрального максимума вдоль оси х, т.е. расстояние между –1 и +1 минимумами, равно

x = 2λ f /b,

а вдоль оси у –

y= 2λ f /b.

Внашей установке длина щели a во много раз больше ширины

щели b . Поэтому y << x . Это означает, что свет в фокальной плоскости линзы сосредоточен в виде узкой полоски, вытянутой вдоль оси х

при у = 0. Зависимость интенсивности света от координаты х					в этой
полоске определяется формулой
	I (x, y)	=	sin2 (πbx / λf )		(12)
			(πbx / λf )2
	I0

и преобразование Фурье можно считать одномерным.

Для того чтобы убедиться экспериментально, что распределение интенсивности света в фокальной плоскости линзы соответствует формуле (12) и тем самым подтвердить, что это распределение про-

порционально квадрату фурье-образа функции Ψ% (x′, y′) , можно определить координаты для некоторых минимумов и максимумов функции

53

I (x) и величину I (x) / I0 для некоторых максимумов и сравнить эти данные с рассчитанными теоретически в соответствии с формулой (12).

Исследовав функцию I (x)			на экстремум, можно заключить, что
минимумы будут наблюдаться в точках с координатами
x = m	λf		m = ±1, ± 2,...	(13)
		,

b

Центральный максимум наблюдается при х = 0. Максимумы более высоких порядков расположены не точно посредине между минимумами. Ниже приведены выражения для координат максимумов ±1,±2 и ±3 порядков:

x±1 = ±1,430λf / b ≈ ±1,5λf / b,

x±1 = ±1,430λf / b ≈ ±1,5λf / b, (14) x±1 = ±1,430λf / b ≈ ±1,5λf / b.

Значения функции I (x) в центральном и трех последующих максимумах соотносятся как

I0 : I1 : I2 : I3 = 1:0,047:0,017:0,0083.	(15)

Расстояние между соседними максимумами (или минимумами) в фокальной плоскости линзы невелико. Поэтому для удобства измерений с помощью другой линзы в некоторой плоскости создается действительное увеличенное изображение картины распределения света в фокальной плоскости. В этой плоскости располагается фотоприемник. Если в плоскости фотоприемника ось X направить параллельно оси х, а начало отсчета совместить с положением центрального максимума, то изображение точки, имеющей в фокальной плоскости координату х,

будет иметь	в	плоскости фотоприемника координату X, причем
X = k x , где k	–	коэффициент увеличения.

Измерив координаты максимумов и минимумов в плоскости фотоприемника, можно вычислить соответствующие координаты в фо-

кальной плоскости линзы по формуле
x = X / k .	(16)
54

Описание экспериментальной установки

Оптическая схема установки показана на рис. 4.

Источником монохроматического света является лазер Лр. Пучок лучей, выходящий из лазера, будем для простоты считать параллель-

ным. Система линз Л1 и Л2 преобра-

зует этот пучок в также параллель-

ный пучок, но большего поперечного

М

сечения. Это необходимо для того,

Лр

Л4

чтобы длина освещенной части щели

Щ, стоящей перед линзой Л3, была во

Л3

много раз больше ее ширины. Линза

Л1

Щ

Л2

Л4 создает в плоскости фотоприемни-

ка ФП увеличенное изображение рас-

пределения света в фокальной плоско-

ФП

	сти линзы Л3. Фотоприемник смон-	Рис. 4
	тирован на отсчетном устройстве,
	с помощью которого он может перемещаться вдоль оси X. Перемещение
	может быть измерено с точностью до 0,1 мм.

Для того чтобы на результаты измерений не влиял свет, падающий на фотоприемник от посторонних источников, луч лазера модулируется по интенсивности с помощью модулятора М. Модулятор представляет собой крыльчатку, насаженную на ось миниатюрного электромотора. При вращении крыльчатка пересекает лазерный луч, в результате чего на фотоприемник попадает свет в виде периодической последовательности импульсов. С выхода фотоприемника электрические импульсы подаются на вход осциллографа и наблюдаются на его экране. С помощью осциллографа можно измерить амплитуду напряжения в импульсах, подаваемых на его вход. Напряжение на выходе фотоприемного устройства Uф( Х ) пропорционально интенсивности падающе-

го на него света. Максимумы и минимумы на зависимости Uф( Х )

должны наблюдаться в тех же точках, как и для I ( X ) . Соотношения между напряжениями в отдельных максимумах должны быть такими же, как и между соответствующими значениями интенсивности света.

55

Задания

1. Измерить с помощью осциллографа напряжение на выходе фотоприемника Uф для ряда значений координаты X, измеренной с по-

мощью отсчетного устройства фотоприемника. За начало отсчета координаты X принять точку, в которой напряжение на выходе фотоприемника имеет максимальное значение (центральный максимум). Число измерений должно быть достаточным для того, чтобы зависимость Uф

от X включала в себя центральный максимум и максимумы ±1 и ±2 порядков, а также минимумы ±1, ±2 и ±3 порядков. Полученные данные занести в таблицу.

2.Построить график зависимости Uф от X.

3.По графику определить координаты X минимумов ±1, ±2 и ±3 порядков и координаты максимумов ±1 и ±2 порядков.

4.По формуле (16) определить координаты х соответствующих минимумов и максимумов.

5.По формулам (13) и (14) рассчитать теоретически ожидаемые координаты х тех же максимумов и минимумов, что и в п. 4. Полученные значения сравнить с экспериментальными.

6.Из графика найти отношения напряжений Uф( Х) /Uф (0) для

максимумов ±1 и ±2 порядков и сравнить с предсказываемыми теоретически по формуле (16).

7. Сделать выводы из полученных результатов.

Контрольные вопросы

1.Напишите формулу для двумерного преобразования Фурье.

2.Что такое пространственная частота?

3.Как выглядит зависимость интенсивности света от координаты

хв фокальной плоскости линзы, если во входной плоскости расположена узкая щель?

4.Получите формулу для определения координат минимумов

функции I (x) .

5. Почему в оптической системе прибора используется модулятор интенсивности света?

Литература

1.Матвеев А.Н. Оптика. – М.: Высш. шк., 1985 (§ 33, 35).

2.Стюард И. Введение в фурье-оптику. – М.: Мир, 1985.

56

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

Таблица некоторых используемых в работе физических величин

	Величина	Обозначение	Значение
	Скорость света	с	3×108	м/c
	в вакууме
	Длина волны излучения	l	0,6328	мкм
	гелий-неонового лазера
	Длины	l1	0,4358	мкм
		l2
	некоторых волн спектра		0,5461	мкм
		l3
	излучения паров ртути		0,5770	мкм
		l4
			0,5791	мкм
	Постоянная Больцмана	k	1,38×10– 23	Дж/К
	Постоянная	σ	5,67×10–8 Вт/(м2 ×К4)
	Стефана– Больцмана
		h	6,6×10–34	Дж×c
	Постоянная Планка
		H = h 2p	1,05×10–34	Дж×c
	Показатель преломления воздуха
		nв	1,000292
	(l = 0,589 мкм, 0 °С, Р = 105 Па)

57

Приложение 2

К работе № 30

Сложение n гармонических колебаний одинаковой амплитуды а

с последовательным сдвигом по фазе на δ

Определим вид функции, описывающей гармоническое колебание, являющееся суммой n колебаний:

a cos ωt + a cos (ωt + δ) + a cos (ωt + 2δ) + ... + a cos (ωt + (n −1)δ) .

Для удобства расчетов перейдем к экспоненциальной форме записи гармонических колебаний:

aeiωt + aei(ωt +δ) + aei(ωt +2δ) + ... + aei(ωt +(n−1)δ) .

Соответствующая сумма n слагаемых имеет вид

Sn = aeiωt (1 + eiδ + ei2δ + ... + +ei(n−1)δ ) .

Выражение, стоящее в скобках, является геометрической прогрессией. Поэтому

	1 − einδ		einδ / 2 (einδ / 2 − einδ / 2 )
Sn = aeiωt		= a			eiωt .
	1 − eiδ		eiδ / 2
				(eiδ / 2 − eiδ / 2 )

Если воспользоваться известным в математике выражением

sin ϕ =		eiϕ	− e−iϕ				,
			2i
то получим							n−1
Sn = a	sin(nδ / 2) i				ωt +			δ
							2
				e				.
	sin(δ / 2)

58

Перейдем теперь от комплексной формы записи к исходной, действительной форме. Тогда результирующее гармоническое колебание будет иметь вид:

	sin(nδ / 2)			n −1
a		cos	ωt +			δ .
	sin(δ / 2)
				2

Амплитуда такого колебания

sin(nδ / 2)

A = a . sin(δ / 2)

Приложение 3

К работе № 32

Расчет частоты света, дифрагированного на ультразвуке

Ультразвуковая дифракционная решетка не является неподвижной. Она перемещается со скоростью звука V . В этом случае вторичные источники света в плоскости решетки подвижны и поэтому должен проявляться эффект Доплера, заключающийся в том, что частота наблюдаемого света νд отличается от частоты излучаемого света ν0 . Этот эффект описывается формулой

1 − β2
νд = ν0 1 + β cos α ,	(1)

где α – угол между линией наблюдения и направлением движения источника, измеренным в системе координат, связанной с наблюдателем, β = V / c .

Так как V << c , то

νд ≈	ν0	≈ ν0 (1 − β cos α) .	(2)
	1 + β cos α

Угол α можно выразить через угол дифракции θ :

α = θ + π / 2 .	(3)
59

Тогда cos α = − sin θ . Следовательно,

νд ≈ ν0 (1 + β cos θ) .

(4)

Из условия дифракционных максимумов при дифракции света на ультразвуке

Λ sin θm = mλ0 ,

m = 0;

±1; ±2 … ,

следует, что sin θm = mλ0 / Λ,

где λ0 –

длина волны падающего све-

та. Если учесть, что λ0 = c / ν0 ,

Λ = V / ν , то

sin θm = m

c

ν

= m

1

ν

.

(5)

V ν0

β ν0

Подставив выражение (5) в выражение (4), получим

1 ν

νд ≈ ν0 1 + βm

= ν0 + mν .

(6)

β ν0

О П Т И К А

Лабораторный практикум

Часть 1

Учебное пособие

Редактор Т. П. Петроченко

Технический редактор Н. В. Гаврилова

Корректор И. Е. Семенова

Компьютерная верстка С. Н. Кондратенко

Подписано в печать 21.06.2007. Формат 60 × 84 1/16. Бумага офсетная. Тираж 500 экз. Уч.-изд. л. 3,5. Печ. л. 3,75. Изд. № 443. Заказ № .

Цена договорная.

Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета

630092, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20

60