Основы КомПМ РЭС - Слайды

Передаточные функции линейных устройссттвв ((22))

В частотной области интеграл свертки выражается в виде произведения преобразований Фурье

V ( jw) = H ( jw)Is ( jw) .

Если в качестве воздействия взять символический сигнал exp(jwt), то реакция v(t) = exp( jwt)∫0∞ h(τ) exp(− jwτ)dτ = exp( jwt)H ( jwt) ,

будет представлять передаточную характеристику h(t) в частотной области H(jw), называемую частотной характеристикой.

В представлении функции комплексной переменной H(jw) в виде

H ( jw) = H ( jw) exp( j arg(H ( jw)))

H ( jw) называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), а arg(H(jw) ) – фазочастотной характеристикой (ФЧХ).

Снурницин В.Р., НГТУ	Основы компьютерного проектирования и моделирования РЭС	Слайд 11

Передаточные функции нелинейных устроййссттвв ((11))

Понятие передаточных функций введено и для нелинейных радиотехнических устройств. Соединим последовательно (каскадно) два устройства: одно линейное

z(t) =∞∫ h(τ)x(t−τ)dτ ,

0

второе нелинейное (безынерционное)

y(t) =az(t) +bz(t)2 +cz(t)3 .

Тогда соотношение вход-выход данного соединения можно записать как

∞			∞∞				)h(τ				)x(t−τ		)x(t−τ				)dτ dτ					∞∞∞			)h(τ						)h(τ			3			)dτ
y(t) = ∫	ah(τ)x(t −τ)dτ + ∫ ∫bh(τ								2						2				2		+ ∫ ∫ ∫ch(τ								2				3	) ∏x(t−τ				i
0			0	0		1						1						1				0	0 0	1										=		i
																																		i 1
или в общей форме
	∞			∞∞				,τ				)x(t−τ		)x(t−τ				)dτ dτ				∞∞∞				,τ		,τ				3			)dτ		,
y(t) = ∫		h (τ)x(t −τ)dτ + ∫ ∫ h (τ								2						2				2		+ ∫ ∫ ∫ h (τ					2			3		) ∏x(t−τ				i
	0	1		0	0	2	1					1						1				0	0 0	3 1								=		i
																																i 1

где ядра h1(…), h2(…), h3(…) данного полинома являются функциями одной, двух и трех переменных. По техническому смыслу ядро h1(…) является импульсной характеристикой первого порядка, а ядра h2(…), h3(…) – импульсными характеристиками второго и третьего порядков и полиномы удобно представлять как сумму членов одного порядка

y(t) = y1 (t) + y2 (t) + y3 (t) +... .

Снурницин В.Р., НГТУ	Основы компьютерного проектирования и моделирования РЭС	Слайд 12

Передаточные функции нелинейных устроййссттвв ((22))

Импульсная характеристика первого порядка h1(t) определяется реакцией на импульс x(t) =λδ(t). Импульсная харатеристика второго порядка определяется реакцией на два импульса x(t) =λ1δ(t −0) +λ2δ(t −t2 ) из следующего уравнения

y2 (t;λ1,λ2 ) = λ12h2 (t,t) + 2λ1λ2h2 (t,t −t2 ) +λ22h2 (t −t2 ,t −t2 ) ,

в котором первый и последний члены дают вклады от каждого импульса по отдельности и формируются диагональными сужениями ядра h2(t,t). Все другие сужения ядра h2(t1,t2) представляютcя вторым членом уравнения. Аналогично, импульсные характеристики n-го порядка определяются реакциями на n импульсов.

Разложения нелинейных функционалов по интегральным степенным полиномам, аналогичное разложению Тейлора для функций, ввел В. Вольтерра. В технике эти разложения начали применять Н. Винер (США) и В.С. Пугачев (СССР). В технической литературе подобные разложения называются рядами Вольтерра-Винера и в настоящее время они являются частью предметного наполнения программ схемотехнического проектирования, где используются для анализа нелинейных радиотехнических устройств.

Снурницин В.Р., НГТУ	Основы компьютерного проектирования и моделирования РЭС	Слайд 13

Передаточные функции нелинейных устроййссттвв ((33))

Частотная характеристика первого порядка Н1(jw) определяется реакцией на символический сигнал x(t) =λexp( jwt). Частотная харатеристика второго порядка определяется реакцией на два символических сигнала x(t) =λ1 exp( jw1t) +λ2 exp( jw2t)) из следующего уравнения

y2 (t;λ1,λ2 ) = λ12 H2 ( jw1, jw1 ) + 2λ1λ2 H2 ( jw1, jw2 ) +λ22h2 ( jw2 , jw2 ),

в котором первый и последний члены дают вклады на каждой частоте по отдельности и формируются сужениями МПФ H2(jw1,jw2) на диагонали H2(jwi,jwi). Все другие сужения МПФ Н2(jw1,jw2) представляютcя вторым членом уравнения. Аналогично, частотные характеристики n-го порядка определяются реакциями на n экспоненциальных символических сигналов.

В представлениях функций комплексных переменных в виде

Hn ( jw1,...,jwn ) = Hn ( jw1,..., jwn ) exp( j arg(Hn ( jw1,...,jwn )))

Hn ( jw1,..., jwn ) называется многомерной амплитудно-частотной характеристикой (МАЧХ) n-

го порядка, а arg(Hn(jw1,…,jwn )) – многомерной фазо-частотной характеристикой (МФЧХ) n- го порядка.

Снурницин В.Р., НГТУ	Основы компьютерного проектирования и моделирования РЭС	Слайд 14

Роль передаточных функций в радиотеххннииккее

Понятие передаточной функции имеет фундаментальное значение в радиотехнике, вытекающее из того факта, что для устойчивых устройств и систем в установившемся состоянии передаточные функции могут быть просто измерены с помощью импульсных или гармонических испытательных сигналов. При этом технические характеристики устройств и систем, связанные с передачей и преобразованиями множества сигналов не определяются для каждого из них по отдельности, а выражаются в терминах параметров передаточных функций.

Например, из теоретических основ радиотехники известно, что для передачи сигналов без искажений необходимо иметь равномерную АЧХ и линейную ФЧХ в занимаемой данным множеством сигналов полосе частот.

Все это объясняет, почему анализ, синтез и оптимизация радиотехнических устройств в большинстве своем основаны на понятии передаточной функции и это отражено в предметном наполнении ППП схемотехнического проектирования и моделирования РЭС.

Снурницин В.Р., НГТУ	Основы компьютерного проектирования и моделирования РЭС	Слайд 15

Методы анализа радиотехнических схемм ((11))

Радиотехнические устройства по своему предназначению подразделяются на два больших класса:

•неавтономные устройства – функциональные преобразователи входных колебаний;

•автономные устройства – генераторы колебаний.

Автономные устройства являются нелинейными активными устройствами и подразделяются на генераторы колебаний различной формы: гармонических, импульсных, шумовых и др. Уравнения равновесия автономных устройств

F(y(t)) = 0

не содержат внешних воздействий, их решения зависят только от начальных условий и представляют собой собственные колебания.

Неавтономные устройства разделяются на линейные (усилители, фильтры, сумматоры и т.п.) и нелинейные (усилители мощности, ограничители, умножители и т.п.). Уравнения равновесия неавтономных устройств

F(y(t)) = x(t)

содержат воздействие x(t), от которого зависят решения. В отличие от других областей техники в радиотехнике принципиально важно получать решения для произвольного воздействия x(t), потому что в радиотехнике x(t) имеет смысл произвольного сигнала.

Снурницин В.Р., НГТУ	Основы компьютерного проектирования и моделирования РЭС	Слайд 16

Методы анализа радиотехнических схемм ((22))

Математические модели схем радиотехнических устройств формируются на основе записи узловых или контурных законов сохранения Кирхгофа для токов или напряжений.

Схемы, не содержащие реактивных элементов, описываются системой линейных или нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений. Схемы на сосредоточенных элементах с реактивными элементами описываются системой обыкновенных дифференциальных линейных или нелинейных уравнений. Схемы с распределенными элементами описываются дифференциальными уравнениями в частных производных.

Решениями уравнений являются токи в узлах или напряжения в ветвях схемы; через них выражаются технические характеристики устройств.

В зависимости от вида уравнений и способов их численного решения на ЭВМ программы схемотехнического проектирования РЭС содержат следующие виды анализа схем:

•Анализ статического режима – решение системы нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений.

•Анализ переходных режимов работы схем – решение системы линейных или нелинейных дифференциальных уравнений во временной области.

•Анализ стационарных (установившихся) режимов работы схем – решение системы линейных и нелинейных дифференциальных уравнений в частотной области.

Снурницин В.Р., НГТУ	Основы компьютерного проектирования и моделирования РЭС	Слайд 17

Анализ статического режима схем (11))

Анализ статического режима или анализ по постоянному току схем необходим для установления рабочих точек пассивных и активных приборов (диодов, транзисторов, ламп), расчета энергетических параметров элементов, допусков на их номиналы и, возможно, для анализа функциональных характеристик схемы, например, передаточных функций.

Поскольку для постоянного тока индуктивности представляют собой КЗ, а емкости разрыв, то в уравнения Кирхгофа схем для постоянного тока, могут входить только алгебраические или трансцендентные функции. Чтобы найти напряжения и токи в схеме надо решать системы нелинейных уравнений. Надо иметь ввиду, что даже простые нелинейные алгебраические уравнения не всегда имеют единственное решение, они могут не иметь решений или иметь несколько решений (ветвление).

В программах схемотехнического проектирования, по умолчанию, предполагается существование единственного решения и для решения уравнений статического режима схем используются различные модификации метода Ньютона.

Снурницин В.Р., НГТУ	Основы компьютерного проектирования и моделирования РЭС	Слайд 18

Анализ статического режима схем (22))

Решение одного уравнения f(x) = 0 методом Ньютона сводится к следующей итерационной процедуре. Задается начальное приближение x = x0. В этой точке функция заменяется линейным уравнением – ее двумя первыми членами разложения в ряд Тейлора

f(x0 + h) = f(x0) + f (1)(x0)h = 0.

Это линейное уравнение легко решается

h = –(f(1) (x0))–1 f(x0),

h = x – x0,

x = x0 – (f(1) (x0))–1 f(x0).

Полученный корень уравнения принимается за новое начальное приближение и процедура повторяется по алгоритму

xk+1 = xk – (f(1) (xk))–1 f(xk)

Снурницин В.Р., НГТУ	Основы компьютерного проектирования и моделирования РЭС	Слайд 19

Анализ статического режима схем (33))

Решение систем уравнений методом Ньютона отличается от процедуры решения одного уравнения тем, что используются разложения Тейлора для функций многих переменных. Для системы из двух уравнений

f1(x,y) = 0 f2 (x,y) = 0

задаются начальными приближениями и приращениями

x = x0 , h1 = x – x0,	y = y0, h2 = y – y0
и нелинейные уравнения заменяются линейными

f1(x0 + h1, y0 + h2) = f1(x0,y0) + f1x(1)(x0,y0)h1 + f1y(1)(x0,y0)h2 = 0 f2(x0 + h1, y0 + h2) = f2(x0,y0) + f2x(1)(x0,y0)h1 + f2y(1)(x0,y0)h2 = 0.

или

f1x(1)(x0,y0)h1 + f1y(1)(x0,y0) h2 = – f1(x0,y0) f2x(1)(x0,y0)h1 + f2y(1)(x0,y0) h2 = – f2(x0,y0)

Коротко в матричных обозначениях эта система линейных уравнений записывается как [J]h = – f с решением x = x0 – [J]–1f и итерациями xk+1 = xk – [Jk]–1fk , где матрица производных [J] называется матрицей Якоби или якобианом.

Снурницин В.Р., НГТУ	Основы компьютерного проектирования и моделирования РЭС	Слайд 20