metodichka_excel_2sem от шуваловой 1

13

Метод простой итерации.

Постановка задачи: Дана система линейных уравнений

7*x1+3*x2-x3+2*x4=5

2*x1-4*x2+x4=3

2*x1-x2+5*x3+x4=4 Найти приближѐнное решение с точностью eps=0,001. -x2+3*x2+х3+6*x4=-1

Документ MS Excel:

14

Выводы: точность eps=0.01 для всех корней выполняется на 12-й итерации,

корни x1=0,872 x2=-0,296 x3=0,379 x4==0,061

Метод Зейделя.

Постановка задачи: Дана система линейных уравнений

7*x1+3*x2-x3+2*x4=5

2*x1-4*x2+x4=3

2*x1-x2+5*x3+x4=4 Найти приближѐнное решение с точностью eps=0,001. -x2+3*x2+х3+6*x4=-1

Документ MS Excel:

15

Выводы: точность eps=0.01 для всех корней выполняется на 5-й итерации,

корни x1=0,876 x2=-0,296 x3=0,378 x4==0,064

Лабораторная работа №3

Аппроксимация и Интерполяции.

Постановка задачи: Дана таблица координат точек {xi,yi}

i	0	1	2	3	4
x	-5	-4	-3	-2	-1		аппроксимировать точки полиномом 1-й и 2-й
y	1	-1	2	-2	0		степени;
							интерполировать точки (методом неопределѐнных

коэффициентов) полиномом 1-й и 2-й степени;интерполировать точки (методом Ньютона) полиномом 1-й и 2-й степени;

Таблица

Название метода	Система для нахождения коэффициентов			Ответ
		полинома
Метод		полином 1-й степени		P1(x)=a0+a1*x
наименьших		na0 xi a1	yi
квадратов		i	i
(аппроксимация)			xi yi
	xi a0 xi 2
	i	i	i
Название метода	Система для нахождения коэффициентов			Ответ
		полинома
16

Метод				полином 2-й степени				P2(x)=a0+a1*x+a2*x2
наименьших				xi a1 xi2a2 yi
квадратов		na0
(аппроксимация)				i	i	i
		xi a0		xi 2a1 xi3a2 xi yi
		i		i	i	i
		2	a0	3	4	2	yi
	xi			xi	a1 xi a2 xi
	i			i	i	i

Документ MS Excel:

Таблица

	Название метода	Система для нахождения коэффициентов				Ответ
		полинома
	Метод	полином 1 степени				P1(x)=a0+a1*x
	неопределѐнных	a	a x		y
	коэффициентов	0	1	0	0
	(интерполяция)	a0	a1	x1	y1
		полином 2 степени				P2(x)=a0+a1*x+a2*x2

17

a0a0

a0

a1x0 a2 x02 y0

a1x1 a2 x12 y1

a1x2 a2 x22 y2

Документ MS Excel:

Пусть задана таблица {xi, yi}. Интерполирование состоит в следующем: строят интерполирующую функцию р(x) , которая принимает в xi (узлы интерполяции) значения yi , т.е. р(xi) = yi. При этом предполагается, что среди узлов xi нет одинаковых. xi – узлы интерполяции.

X	X0	X1	X2	X3	X4
Y	Y0	Y1	Y2	Y3	Y4

Функция р(x) называется в этом случае интерполирующей функцией.

Чаще всего интерполирующую функцию ищут в виде многочлена (полинома). Для любой табличной функции найдется единственный интерполяционный многочлен, степень которого на единицу меньше количества узлов интерполирования. Для поиска коэффициентов аi составляется система из n + 1 уравнения.

Линейная интерполяция

1.Ввести исходные данные –значения Х разместить в 1- ой строке значения Y во второй строке

2.Построить диаграмму по всем точкам (тип диаграммы – точечная)

3.Для построения полинома 1степени P1(x)= a0 +a1x выберем две точки (x0 ,y0) и (x4 ,y4)

4.Добавим ряд из этих точек

5.И построим для этого ряда линейный тренд

Квадратичная интерполяция

1.Ввести исходные данные –значения Х разместить в 1- ой строке значения Y во второй строке

2.Построить диаграмму по всем точкам (тип диаграммы – точечная)

3.Для построения полинома 2 степени P2(x)= a0 + a1x + a2x2 выберем три точки (x0 ,y0), (x2 ,y2) и (x4 ,y4)

4.Добавим ряд из этих точек

5.И построим для этого ряда полиномиальный тренд 2 степени

Кусочно-линейная интерполяция (Метод неопределѐнных коэффициентов)

	Система для нахождения								Ответ
коэффициентов полинома на
		каждом участке
1-й участок					2-й участок
a1 a1 x y				a2 a2 x y
0	1	0	0		0	1	1	1
a10	a11	x1	y1	a20		a21 x2		y2
3-й участок				4-й участок
a3	a3	x	y	a4 a4 x y
	1	2	2
0					0	1	3	3
a30	a31	x3	y3 a40			a41	x4	y4

Документ MS Excel:

18

Кусочно-линейная интерполяция

1.	Ввести исходные данные –значения Х разместить в 1- ой строке значения Y во второй
	строке
2.	Построить диаграмму (тип диаграммы – точечная)
3.	При построении создать 4 ряда во вкладке Ряд
			1-ый ряд	2-ой ряд	3-ий ряд	4-ый ряд
		X	B1:C1	C1:D1	D1:E1	E1:F1
		Y	B2:C2	C2:D2	D2:E2	E2:F2

4. Для каждого ряда создать линейный тренд и показать уравнение на диаграмме

	P11(x)еслиX	0	X X1
			X X 2
Записать ответ	P12(x)еслиX	1
	P1(x)		X X 3
	P13(x)еслиX 2
			X X 4
	P14(x)еслиX 3

Кусочно-параболическая интерполяция (Метод неопределѐнных коэффициентов)

Система для нахождения														Ответ
коэффициентов полинома
	на каждом участке
1-й участок
a1 a1 x				0		a1	2		x 2		y	0
	0		1							0
			a11 x1							2	y1
a10						a12 x1
a1 a1 x				2		a1	2		x 2		y	2
	0		1							2
2-й участок
a2		0	a2 x		2	a2		2		x2	y		2
			1							2
			a21 x3			a22 x32 y3
a20
a2		0	a2 x		4	a2		2		x2	y		4
			1							4

Документ MS Excel:
1.	Ввести исходные данные –значения Х разместить в 1- ой строке значения Y во второй
	строке
2.	Построить диаграмму (тип диаграммы – точечная)
3.	При построении создать 2 ряда во вкладке Ряд
				1-ый ряд	2-ой ряд
		X		B1:D1	D1:F1
		Y		B2:D2	D2:F2

4. Для каждого ряда создать полиномиальный тренд и показать уравнение на диаграмме

Записать ответ	P21(x), еслиX	0	X X 2
	P2(x)		X X 4
	P22(x), еслиX 2

19

Лабораторная работа №4

Вычисление определѐнного интеграла

b

Постановка задачи: Вычислить определѐнный интеграл I f (x)

a

hx=(b-a)/n- шаг разбиения, n - количество разбиений. Методами:

метод левых прямоугольников;

метод правых прямоугольников;

метод центральных прямоугольников;

метод трапеций;

метод Симпсона;

Таблица

Название метода		Итерационная формула
Метод левых прямоугольников	xi=a+i*hx
	i=0..n-1
	n1
	I hx f(xi )
	i 0
Метод правых прямоугольников	xi=a+i*hx
	i=1..n
	n
	I hx f(xi )
	i 1
Название метода		Итерационная формула
Метод центральных	xi=a+(i-0,5)*hx
прямоугольников	i=1..n
	n
	I hx f(xi )
	i 1
Метод трапеций	xi=a+i*hx
	i=1..n-1
		f(a) f(b)			n1
	I hx(				f(xi ))
	2				i1
Метод Симпсона	xi=a+i*hx
	i=1,3..n-1
	S1 f(xi )
	i
	xi=a+i*hx
	i=2,4..n-2
	S 2 f(xi )
	i

20

I hx3 (f(a) 2 S1 4 S 2 f(b))

Вычислить определенный интеграл

при n=10

Документ MS Excel:

1

21

22