Metodichka_ruchnoy_schet_chislennye_metody
.pdf33
Лабораторная работа №5 Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Численное решение задач с начальными условиями Коши
Постановка задачи:
Дано дифференциальное уравнение y''+B(x,y) y'+K(x,y)=0 , [a,b] - интервал интегрирования д.у. , h=(b-a)/n - шаг интегрирования д.у. , где n - выбранное число разбиений [a,b], y(a) = y0 , y'(a) = y'0 - начальные условия для д.у.. Требуется определить приближенные значения функций y(x), y'(x), удовлетворяющие д.у. и начальным условиям.
Приведем исходное уравнение к системе д.у. первого порядка dydx z,
dxdz B(x, y)z K (x, y) f (x, y, z) y(x0 ) y0 , z(x0 ) y0'
Название метода |
Итерационная формула |
Метод Эйлера |
xi 1 xi h, |
|
yi 1 yi hzi , |
|
zi 1 zi hf (xi , yi , zi ), |
34
|
|
Название метода |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итерационная формула |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Метод Эйлера |
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
с центрированием |
i |
1 |
|
|
i |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
y |
|
|
|
h |
z |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
h |
|
f (x , y |
, z |
) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i |
1 |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
i |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
xi 1 |
xi |
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
yi 1 |
yi |
|
|
hz |
|
1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
hf |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
, y |
, z |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
1 |
|
|
i |
1 |
|
|
i |
1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||
|
|
Метод Эйлера |
xi 1 |
xi |
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
с усреднением |
~ |
|
|
|
yi |
|
|
hzi , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
yi |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
zi |
hf (xi |
, yi , zi ) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
zi 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zi |
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
y |
i |
1 |
y |
i |
|
|
h |
zi 1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (xi , yi , zi ) |
~ |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z |
i |
z |
i |
h |
f (xi 1 , yi 1 |
, zi 1 ) |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Рассмотрим конкретный пример: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
d 2 y |
2 |
dy |
y(x) x, y(0) 1, y'(0) 0 |
на отрезке [0,1]. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dx2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решим задачу явным методом Эйлера.
Введем функцию z(x)=dy/dx. Тогда получим задачу Коши для системы двух ОДУ первого порядка:
dydx z,
dxdz 2z y x, y(0) 1, z(0) 0.
Разобьем отрезок на n=5 равных частей. Тогда шаг h=(b-a)/n=(1-0)/5=0.2
Формулы метода Эйлера:
xi 1 xi |
h, |
|
|
|
yi 1 yi |
hzi , |
|
|
|
zi 1 zi |
h( 2zi |
yi |
xi ), |
x0 1, y0 1, z0 0 |
35
Вычисление точек (х1,у1) и (х1,z1):
x1 x0 |
|
h 0 0,2 0,2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y1 y0 |
|
hz0 |
|
1 0,2 1 1, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z1 z0 h( 2z0 |
|
|
y0 |
|
|
x0 ) 0 0,2(( 2) 0 1 0) 0,2. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вычисление точек (х2,у2) и (х2,z2): |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 x1 |
h 0,2 0,2 0,4, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y2 y1 |
|
hz1 |
|
1 0,2 ( 0,2) 0,96, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z2 z1 h( 2z1 y1 |
|
x1 ) ( 0,28) 0,2(( 2) ( 0,28) 0,96 0,4) 0,28. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Формулы метода Эйлера с центрированием: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
1 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
i |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
y |
|
|
h |
z |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
z |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
h |
|
( 2z |
|
|
|
y |
|
|
x |
|
|
) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
i |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
xi 1 xi |
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
yi 1 yi |
|
hz |
|
|
1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
zi zi |
|
|
h( 2z |
1 |
|
|
|
y |
|
|
|
1 x |
|
1 ), |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Вычисление точек (х1,у1) и (х1,z1): |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
0 |
0,2 |
|
0,1, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
h |
|
z |
|
|
|
1 |
0,2 |
0 1, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
z |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
h |
|
( 2z |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
x |
|
|
|
) 0 |
0,2 |
( 2 0 1 0) 0,1. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x1 x0 |
|
h 0 0,2 0,2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y1 y0 |
|
hz1 |
|
1 0,2( 0,1) 0,98, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
z1 z0 |
|
h( 2z1 |
|
|
|
y1 |
|
x1 ) 0 0,2(( 2)( 0,1) 1 0,1) 0,14. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Вычисление точек (х2,у2) и (х2,z2): |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
h |
|
0,2 |
0,2 |
|
0,3, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
h |
z |
|
|
0,98 |
0,2 |
|
( 0,14) 0,966, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36
z |
|
z |
|
h |
( 2z |
y |
x ) ( 0,14) |
0,2 |
( 2( 0,14) 0,98 0,2) 0,19, |
|
3 |
|
|
||||||||
|
1 |
2 |
|
1 |
1 |
1 |
2 |
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 x1 |
h 0,2 0,2 0,4, |
|
|
|||||||
y2 y1 |
hz3 |
0,98 0,2( 0,19) 0,942, |
|
2
z2 z1 h( 2z3 y3 x3 ) ( 0,14) 0,2(( 2)( 0,19) 0,966 0,3) 0,197.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Формулы метода Эйлера с усреднением: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
xi 1 xi |
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
yi 1 yi hzi , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
~ |
|
|
|
|
|
|
|
h( 2zi yi |
xi ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
zi 1 zi |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y |
i 1 |
y |
|
h |
zi zi 1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2zi |
yi |
|
|
|
|
|
1 ) |
|
|
||||||||||||
z |
|
|
z |
|
|
h |
xi ) ( 2zi 1 yi 1 xi |
. |
|
|||||||||||||||||||||||||
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вычисление точек (х1,у1) и (х1,z1): |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
x1 x0 |
|
h 0 0,2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
~ |
y0 |
|
hz0 |
1 0,2 0 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
~ |
z0 |
|
h( 2z0 |
y0 |
|
x0 ) 0 0,2(( 2) 0 1 0) 0,2, |
||||||||||||||||||||||||||||
z1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z0 |
|
~ |
|
|
|
|
|
0 ( 0,2) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
y |
|
y |
|
|
|
h |
z1 |
1 |
0,2 |
0,98, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
z z |
|
|
|
h |
|
( 2z0 y0 x0 ) ( 2z1 |
y1 x1 ) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 0,2 |
(( 2) 0 1 0)(( 2)( 0,2) 1 0,2) |
0,14 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вычисление точек (х2,у2) и (х2,z2): |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
x2 x1 |
|
h 0,2 0,2 0,4, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
~ |
y1 |
|
hz1 |
0,98 0,2 ( 0,14) 0,952, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
y2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
~ |
z1 |
|
h( 2z1 |
y1 |
x1 ) ( 0,14) 0,2(( 2)( 0,14) 0,98 0,2) 0,24, |
|||||||||||||||||||||||||||||
z2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
( 0,14) ( 0,24) |
|
|
|
|
|
|
||||
y |
|
y |
|
|
h |
z1 z |
2 |
1 |
0,2 |
|
0,942, |
|||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
x2 ) |
|
|
|
|
|
||||
z |
|
|
z h |
( 2z1 y1 x1 ) ( 2z2 y2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 0,14) 0,2 (( 2) ( 0,14) 0,98 0,2)(( 2)( 0,24) 0,952 0,4) 0,197, 2
37
39
Содержание
Решение нелинейного уравнения с одной неизвестной. Методы отделения и уточнения корней……………………………………………………………….. 3
Шаговый метод………………………………………………………………... 4 Метод Ньютона ……………………………………………………………….. 4
Метод половинного деления…………………………………………………. 5 Метод простой итерации……………………………………………………... 7 Решение систем линейных уравнений. Прямые и итерационные методы…... 9
Метод Гаусса………………………………………………………………….. 9
Метод простой итерации…………………………………………………….. 11
Метод Зейделя………………………………………………………………… 14
Аппроксимация и Интерполяция……………………………………………….. 16 Метод наименьших квадратов……………………………………………….. 16 Метод неопределѐнных коэффициентов…………………………………….. 21 Вычисление определѐнного интеграла…………………………………………. 31 Метод центральных прямоугольников………………………………………. 31
Метод трапеций……………………………………………………………….. 31 Метод Симпсона………………………………………………………………. 31
Обыкновенные дифференциальные уравнения. Численное решение задач с 34 начальными условиями Коши…………………………………………………..
Метод Эйлера………………………………………………………………….. 34
Модифицированный метод Эйлера…………………………………………. 36 Модифицированный метод Эйлера………………………………………….. 37
Литература
1.Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. – М.: Бином,2003
2.Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы.- М.:Наука, 1989
3.Калиткин Н.Н., Численные методы. ВНV-Санкт-Петербург, 2011
4.Алексеев Е.Р., Чеснокова О. В. Решение задач вычислительной математики в Mathcad . Серия: Самоучитель. М.: НТ Пресс, 2006
5.Поршнев С.В., Беленкова И.В., Численные методы на базе MathCad, ВНV-Санкт-Петербург, 2005
6.Турчак Л.И. Основы численных методов. Изд - во «Наука», 1987
7.Джон Г. Мэтьюз. Численные методы. Изд - во «Вильямс», 2001
41