РГР-28.02.2012

21

ским источником света и точкой P наблюдения перпендикулярно соединяющей их линии помещен экран имеющий форму, представленную на рисунке. Радиус R1 экрана равен радиусу 1-ой зоны Френеля, а радиус R2 – радиусу 2-ой зоны Френеля. Используя спираль Френеля, определите интенсивность света в точке наблюдения, если в отсутствие экрана она равна I0.

Таблица 3.9 Задача 5 расчетно-графической работы №3. Варианты 21-30

Ва-	Форма экра-		Ва-	Форма экра-		Ва-	Форма
риант	на		риант	на		риант	экрана
21		25			29

22

26

30

23

27

31

24

28

32

Ю.В. Мосин

[e-mail]

Дано:

T = 300 K

22

4.2. Примеры решения задач Пример 1. На рис. 4.1 представлено распределение энергии в

спектре абсолютно черного тела для температуры 300 К. Используя это распределение, найти приблизительное значение энергетической светимости Re абсолютно черного тела при данной температуре.

Энергетическая светимость Re абсолютно черного тела численно равна площади криволинейной

R - ? трапеции, образованной кривой r ( ) и осью абс-

e

цисс. Из рис. 4.1 видно, что ее площадь приблизительно равна площади треугольника ABC, то есть:

R S			31 106	28 10 6	434	Вт	.
	ABC
e				2		м2

Рис. 4.1 Распределение энергии в спектре черного тела (T = 300 К)

Оценим, насколько найденное значение энергетической светимости отличается от значения, найденного по закону Стефана– Больцмана:

Re T 4 5,67 10 8 300 4 459 Втм2 .

Таким образом, ошибка составила около 5%.

Пример 2. Атомарный водород возбуждают на 3-й энергетический уровень. Определить: а) количество спектральных линий, испускаемых атомом водорода; б) длины волн испускаемых линий се-

Ю.В. Мосин

[e-mail]

23

рии Лаймана. Изобразить схему энергетических уровней атома водорода, поясняющую возникновение найденного количества спектральных линий.

Дано:		Количество спектральных линий можно найти о
		формуле:
m = 3
		1
n = 1
		N		m(m 1) .
			2
N - ?
		Тогда

N 12 3(3 1) 3.

Количество линий также можно найти, изобразив схему энергетических уровней атома водорода, и указав на ней все возможные переходы электрона, соответствующие излучению различных спектральных линий (рис. 4.2).

Рис. 4.2 Схема уровней энергии атома водорода

Из рисунка видно, что количество переходов электрона, а значит и количество спектральных линий равно трем. При этом две спектральные линии, соответствующие переходам 1 и 2, принадлежат серии Лаймана, и одна – серии Бальмера.

Так как в серии Лаймана переход осуществляется на первую орбиту со всех остальных (в нашем случае с третьей), то формулу Баль- мера-Ритца можно записать в виде:

1		1			1					1
	R							R 1
			2		m	2				m	2
	n

где R – постоянная Ридберга, R = 1,097 107 м–1,

,

n – целое число, опре-

Ю.В. Мосин

[e-mail]

24

деляющее серию спектральных линий, m – целое число, определяющее линию этой серии.

Тогда длину волн, испускаемых линий серии Лаймана, можно найти по формуле:

									m2
												.
							R(m2 1)
При m = 3
3 1					32						1,03 10 7		м .
					10	7		2
		1,097						(3	1)
При m = 2
					22						1, 22 10 7		м .
	3 1				107
		1,097						(22 1)

Пример 3. На рис. 4.3 представлена зависимость максимальной кинетической энергии Eк,max фотоэлектронов, вырываемых с поверхности бария, от частоты облучающего света . Используя эту зависимость определить значение постоянной Планка h, частоту, соответствующую красной границе фотоэффекта 0, и работу выхода Aвых электронов из бария.

Рис. 4.3 Пример 3

Ю.В. Мосин

[e-mail]

	25
Дано:		Красная граница фотоэффекта – это частота 0,
B – барий		ниже которой фотоэффект отсутствует,	т.е. частота
		при которой кинетическая энергия фотоэлектронов
Eк,max( )
h - ?		равна нулю. Экстраполируя график	зависимости
		Eк,max( ) до пересечения с осью абсцисс, найдем ча-
0 - ?
		стоту излучения 0, при которой у фотоэлектронов
Aвых - ?
		кинетическая энергия отсутствует. Из рис. 4.4 вид-

но, что 0 ≈ 0,6 1015 Гц.

Заметим, что точка пересечения графика с осью ординат определяет работу выхода Aвых электронов. Из рис. 4.4 видно, что

Aвых ≈ 4 10–19 Дж.

Рис. 4.4 К решению примера 3

Из рис. 4.4 видно, что зависимость Eк,max от линейна. Используя формулу Эйнштейна для фотоэффекта

h Aвых Eк ,max ,

найдем уравнение этой прямой:

Eк ,max h Aвых .

Это уравнение вида y = ax+ b, где a – угловой коэффициент, причем a = tg . Таким образом, по наклону зависимости Eк,max( ) можно найти постоянную Планка. Для этого рассмотрим ∆ABC (рис. 4.4), из которого следует, что

Ю.В. Мосин

[e-mail]

26

		h tg		Eк ,max
				0
Тогда
h		16 10 19	6,67 10 34			Дж с .
		1015 0,6 1015
3
Пример 4. Частица в бесконечно глубокой одномерной, прямо-

угольной потенциальной яме шириной l находится в основном (n = 1). Определить в каких точках ямы плотность вероятности нахождения частицы максимальна. Решение пояснить графиком.

Дано:		Волновая функция , описывающая состояние ча-
		стицы в бесконечно глубокой одномерной потенциаль-
n = 1
		ной яме шириной l, имеет вид:
= max
							n x
				2
x - ?						sin		.
				l			l

Согласно физическому смыслу волновой функции

| |2 ,

где – плотность вероятности обнаружения частицы в точке с координатой x.

Т.к. частица находится в основном состоянии (n = 1), то:

2l sin2 lx .

Из последней формулы следует, что плотность вероятности максимальна при sin( xl) 1. Это возможно если:

x			k ,	k = 0, 1, 2, …
l		2

Решая это уравнение, получим:

x l(12 k) .

Перебирая значения k, находим, что лишь при k = 0 частица находится в пределах ямы 0 x l . При этом x = l/2.

Таким образом, в основном энергетическом состоянии с наибольшей вероятность частицу можно обнаружить в середине ямы.

Для того чтобы пояснить полученное решение графически, построим график функции (x). На рисунке рис. 4.5 пунктирной линией показана зависимость (x), а распределение плотности вероятности –

Ю.В. Мосин

[e-mail]

27

сплошной. Рисунок 4.5 подтверждает ранее сделанный вывод о максимальной вероятности нахождения части в центре ямы.

Рис. 4.5 К решению примера 4

Ю.В. Мосин

[e-mail]

28

4.3. Задания для расчетно-графической работы №4

Расчетно-графическая работа №4 содержит 4 задачи, которые оформляются в соответствии с требованиями, изложенными в правилах оформления.

Задача 1

Варианты 1- 30. (табл. 4.1). Формула Планка для спектральной испускательной способности r ,T абсолютно черного тела имеет вид:

r	2 hc2		5			.
			hc
,T
		e	kT	1

Приняв температуру абсолютно черного тела равной T, используя формулу Планка, постройте зависимость r ( ) для диапазона длин волн от 300 нм до 1500 нм с шагом 100 нм. С помощь полученного графика определите: 1) частоту max, на которую приходится максимум испускательной способности абсолютно черного тела; 2) постоянную b закона смещения Голицына–Вина; 3) приблизительное значение энергетической светимости Re абсолютно черного тела (проверить найденное значение с помощью закона Стефана–Больцмана).

Таблица 4.1 Задача 1 расчетно-графической работы №4. Варианты 1-30

Вариант	T,		Вариант	T,		Вариант	T,
	K			K			K
1	3500		11	4500		21	5500
2	3600		12	4600		22	5600
3	3700		13	4700		23	5700
4	3800		14	4800		24	5800
5	3900		15	4900		25	5900
6	4000		16	5000		26	6000
7	4100		17	5100		27	6100
8	4200		18	5200		28	6200
9	4300		19	5300		29	6300
10	4400		20	5400		30	6400

Ю.В. Мосин

[e-mail]

29

Задача 2

Варианты 1-30. (табл. 4.2). Атомарный водород возбуждают на n- й энергетический уровень, при переходе с которого в серии Бальмера испускается спектральная линия длиной волны Б. Определить: 1) количество линий, испускаемых водородом при переходе в основное состояние; 2) количество линий, испускаемых водородом при переходе в m-ое возбужденной состояние; 3) длины волн испускаемых линий при переходе атома водорода в m-ое возбужденной состояние. Изобразить схему энергетических уровней атома водорода, поясняющую возникновение найденного количества спектральных линий

(см. п. 2).

Таблица 4.2 Задача 2 расчетно-графической работы №4. Варианты 1-30

Вариант	Б, нм	m
1	486,138	1
2	434,051	2
3	410,178	3
4	397,011	4
5	388,909	5
6	383,453	6
7	379,793	7
8	377,067	8
9	375,018	9
10	373,44	10
11	372,197	11
12	371,201	12
13	370,389	13
14	369,719	14
15	369,159	15

Вариант	Б, нм	m
16	368,686	16
17	368,284	17
18	367,938	18
19	367,639	19
20	367,38	20
21	367,151	21
22	366,95	22
23	366,772	23
24	366,613	24
25	366,471	25
26	366,344	26
27	366,229	27
28	366,125	28
29	656,28	1
30	486,138	2

Задача 3

Варианты 1-30. (табл. 4.3). Используя значение работы выхода Aвых электронов из металла (табл. 4.4.), постройте зависимость максимальной кинетической энергии Eк,max фотоэлектронов, вырываемых с поверхности данного металла, от частоты облучающего света. С помощью полученного графика найдите: 1) значение постоянной Планка h; 2) длину волны 0, соответствующую красной границе фотоэффекта; 3) задерживающую разность потенциалов Uз при длине волны облучающего света, равной .

Ю.В. Мосин

[e-mail]

30

Таблица 4.3 Задача 3 расчетно-графической работы №4. Варианты 1-30

Вариант	Металл
1	Ag	0,5 0
2	Al	0,5 0
3	Au	0,5 0
4	Ba	0,5 0
5	Ca	0,5 0
6	Co	0,5 0
7	Cr	0,6 0
8	Cs	0,6 0
9	Cu	0,6 0
10	Fe	0,6 0
11	Hg	0,6 0
12	K	0,6 0
13	Li	0,7 0
14	Mg	0,7 0
15	Mo	0,7 0

Вариант	Металл
16	Na	0,7 0
17	Ni	0,7 0
18	Pb	0,7 0
19	Rb	0,8 0
20	Pt	0,8 0
21	Sn	0,8 0
22	Ta	0,8 0
23	Th	0,8 0
24	Ti	0,8 0
25	W	0,9 0
26	Zn	0,9 0
27	Ba/W	0,9 0
28	Cs/Pt	0,9 0
29	Cs/W	0,9 0
30	Th/W	0,9 0

Таблица 4.4 Работа выхода электронов
Металл	Aвых,		Металл	Aвых,		Металл		Aвых,
	эВ			эВ				эВ
Алюминий,	3,7		Магний,	3,6		Серебро,		4,7
Al			Mg			Ag
Барий,	2,4		Медь,	4,4		Тантал,		4,07
Ba			Cu			Ta
Барий на воль-	1,1		Молибден,	4,3		Титан,		4,0
фраме, Ba/W			Mo			Ti
Вольфрам,	4,5		Натрий,	2,3		Торий,		3,4
W			Na			Th
Золото,	4,3		Никель,	4,39		Торий на воль-		2,6
Au			Ni			фраме, Th/W
Железо,	4,31		Олово,			Хром,		4,6
Fe			Sn			Cr
Калий,	2,2		Платина,	6,3		Цезий,		2,0
K			Pt			Cs
Кальций,	2,8		Ртуть,	4,34		Цезий на воль-		1,4
Ca			Hg			фраме, Cs/W
Кобальт,	4,4		Рубидий,	2,1		Цезий на пла-		1,3
Co			Rb			тине, Cs/Pt
Литий,	2,3		Свинец,	4,0		Цинк,		4,2
Li			Pb			Zn
Ю.В. Мосин							[e-mail]