examples_of_typical_problems
.pdfФ(х1 , х2 ) 2х1 2 28х22
Пример. Привести к каноническому виду уравнение второго порядка: 17x2 + 12xy + 8y2 – 20 = 0.
Коэффициенты а11 = 17, а12 = 6, |
а22 = 8. |
|
|
|
|
|
|
|
А = |
17 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Составим характеристическое уравнение: |
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(17 - |
|
|
)(8 - |
) - 36 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
136 - 8 |
|
|
- 17 |
|
+ |
|
|
2 – 36 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 - 25 + 100 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = 5, |
|
|
|
|
2 = 20. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Итого: 5(х )2 |
20( у )2 |
20 |
|
|
0; |
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
y |
2 |
|
1 |
- каноническое уравнение эллипса. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Пример. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x2 |
|
|
|
2 3xy 3y 2 |
6 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
Решение: Составим |
|
|
|
|
|
характеристическое |
|
уравнение |
квадратичной формы |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5x2 2 |
|
|
3y 2 : при a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3xy |
|
5, a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3, a |
22 |
|
|
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
a11 |
|
a12 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
3 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
2 |
8 |
|
|
|
12 |
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
a12 |
a22 |
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Решив это уравнение, получим |
|
1 = 2, |
|
|
|
|
2 = 6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Найдем координаты собственных векторов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a11 |
1 m1 |
a12 n1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
3m1 |
|
|
|
|
3n1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
полагая m1 = 1, получим n1 = |
|
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a12 m1 |
a22 |
|
1 n1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
3m n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
a11 |
2 m2 |
a12 n2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
m2 |
|
|
|
|
|
|
3n2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
полагая m2 = 1, получим n2 |
= |
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a12 m2 |
a22 |
|
2 n2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3m |
2 |
|
3n |
2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1; |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Собственные векторы: |
|
|
(1; |
|
|
|
|
|
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
u |
|
|
|
|
|
|
|
u |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 3 |
|
|
|
|
2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Находим координаты единичных векторов нового базиса.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
1 |
; |
|
3 |
e |
|
3 |
; |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
2 |
|
2 |
2 |
2 |
|
2 |
|||
|
|
|
|
Имеем следующее уравнение линии в новой системе координат:
2(x )2 6( y )2 6
Каноническое уравнение линии в новой системе координат будет иметь вид:
(x )2 |
|
( y )2 |
1 |
||
|
|
2 |
12 |
||
3 |
|
||||
|
|
|
|
||
|
|
|
21 |
|
|
|
2 |
|
|
1. |
5 |
|
|
|
1 |
|
|
0. |
5 |
|
- 2 |
- 1 |
1 |
2 |
|
- 0. 5 |
|
|
|
- 1 |
|
|
|
- 1. |
5 |
|
|
- 2 |
|
|
Пример. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду |
|||
уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x2 |
|
4 6xy 7 y 2 |
22 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
Решение: Составим |
|
|
|
|
|
характеристическое |
уравнение |
|
квадратичной формы |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5x2 4 |
|
|
7 y 2 : при a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
6xy |
5, a |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
6, a |
22 |
|
|
7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
a11 |
|
|
a12 |
|
|
5 |
|
|
|
|
2 |
|
6 |
|
|
|
|
35 |
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
2 |
|
24 |
|
2 |
12 |
11 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
a12 |
|
a22 |
|
|
2 |
6 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Решив это уравнение, получим 1 = 1, |
|
|
|
2 = 11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Найдем координаты собственных векторов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a11 |
1 m1 |
a12 n1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2m1 |
|
|
|
|
|
|
|
6n1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
полагая m1 = 1, получим n1 |
= |
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a12 m1 |
|
a22 |
|
1 n1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6m 3n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
a11 |
2 m2 |
a12 n2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3m2 |
|
|
|
|
|
|
6n2 |
0 |
|
полагая m2 = 1, получим n2 |
= |
|
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a12 m2 |
|
a22 |
|
2 n2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6m |
2 |
|
|
2n |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Собственные векторы: |
|
|
|
(1; |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1; |
|
|
|
|
3 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
u |
|
|
|
|
|
|
u |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Находим координаты единичных векторов нового базиса.
|
|
|
3 |
|
; |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
; |
|
3 |
|
e |
e |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1 |
5 |
|
|
|
5 |
2 |
|
5 |
|
|
|
5 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Имеем следующее уравнение линии в новой системе координат:
(x )2 11( y )2 22
Каноническое уравнение линии в новой системе координат будет иметь вид:
(x )2 |
|
( y )2 |
1 |
||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
22 |
|
|
2 |
|
22
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
- 4 |
- 2 |
2 |
4 |
|
|
- 2 |
|
|
|
- 4 |
|
Пример. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду
уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график. 4ху + 3у2 + 16 = 0
Коэффициенты: a11 = 0; |
a12 = 2; a22 = 3. |
|||||||||||||||||||||||
Характеристическое уравнение: |
|
0 |
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
||
Корни: 1 = -1, |
2 = 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Для |
1 = -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 m1 |
|
2n1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2m1 |
4n1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
m1 = 1; |
|
|
n1 = -0,5; |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
u1 = (1; -0,5) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u1 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
u1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
e1 |
|
|
( |
2 |
|
; |
1 |
|
|
) |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
u1 |
|
|
5 |
|
5 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
y 2 |
||||
Получаем: x 2 |
|
4 y 2 |
16; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
16 |
|
4 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
4 |
0 |
|
|
Для |
2 = 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
4m2 |
2n2 |
|
0 |
|
|
|
|||||||||||
2m2 n2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
m2 = 1; |
n2 = 2; |
|
|
|||||||||||||||
|
|
u2 = (1; 2) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u2 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e2 |
|
u2 |
( |
1 |
|
|
|
; |
2 |
|
) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
u2 |
|
|
5 |
|
|
5 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 -каноническое уравнение гиперболы.
23
|
|
10 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
- 15 |
- 10 |
- 5 |
5 |
10 |
15 |
|
|
- 5 |
|
|
|
|
|
- 10 |
|
|
|
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ |
|
|
|
Пример. Найти предел lim |
tg5x |
|
|
sin 7x |
|
||
x 0 |
|
||
Так как tg5x ~ 5x и sin7x ~ 7x при х |
0, то, заменив функции эквивалентными |
||
бесконечно малыми, получим: |
|
Пример. Найти предел
Так как 1 – cosx = 2sin2 2x ~ 2
Пример. Найти предел
Пример. Найти предел.
|
|
|
|
lim |
tg5x |
|
lim |
5x |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
sin 7x |
7x |
7 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
x |
0 |
x 0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
lim |
|
|
x3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
|
2 |
|
|
|
0, то lim |
|
|
x3 |
lim |
|
x3 |
|
lim 2x 0 . |
|||||||
|
|
|
|
при х |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
0 1 |
cos x |
x 0 |
|
x 0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
lim |
|
tgx |
|
lim |
x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
sin x 2 |
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x |
0 |
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
tgmx |
lim |
mx |
|
m |
sin nx |
nx |
|
n |
||
x 0 |
x 0 |
|
|||
Пример. Найти предел. |
|
|
|
|
|
lim |
tgx |
tgx0 |
lim |
sin( x x0 ) |
lim |
sin( x |
x0 ) |
lim |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
|||
x |
x0 |
(x x0 ) cos x cos x0 |
x |
x0 |
cos x cos x0 |
cos |
2 |
x0 |
|
cos |
2 |
x0 |
|||||
x x0 |
x x0 |
x x0 |
x x0 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Найти предел.
24
|
|
|
|
|
|
2 |
|
sin( / 4 |
x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
sin x |
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
sin( |
/ 4 x) |
|
|
1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
lim |
lim |
|
|
|
|
lim |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
4x |
|
|
|
|
4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x |
/ 4 |
|
x / 4 |
|
|
|
|
|
|
x |
/ 4 2 2( / 4 x) |
2 2 |
|
|||||||||||||
|
|
Пример. Найти предел. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
cosx |
y |
/ 2 |
x |
|
|
|
cos( |
/ 2 y) |
|
|
sin y |
|
1 |
|
|
|
||||||||
|
lim |
x |
/ 2 |
y |
|
lim |
lim |
|
|
|
||||||||||||||||
|
2x |
|
|
2 y |
|
|
|
y |
2 |
|
|
|
||||||||||||||
x |
/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
y |
0 |
|
|
|
|
|
y 0 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Найти предел.
lim |
|
x |
3 |
x 3 |
lim |
|
x |
1 |
4 x |
3 |
||||
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|||
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
z |
y |
lim |
1 |
1 |
|
4 z |
lim |
1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
4 |
|
|
z |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
z |
|
|
z |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y x 1 |
|
y 4 y 4 |
|
4 |
y |
|
4 |
4 |
||||
x |
|
|
lim |
|
|
lim 1 |
|
|
lim 1 |
|
|
|
|
|
y |
y |
|
y |
|
||||||
|
|
|
|
y |
y |
|
y |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
e4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Найти предел lim |
x2 |
6x |
8 |
. |
|
x2 |
8x |
12 |
|||
x 2 |
|
Для нахождения этого предела разложим на множители числитель и знаменатель данной дроби.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 – 6x + 8 = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
x2 – 8x + 12 = 0; |
|
|
|
|
|||||||||||
D = 36 – 32 = 4; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D = 64 – 48 = 16; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 = (6 + 2)/2 = 4; |
|
|
|
|
|
|
x1 = (8 + 4)/2 = 6; |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 = (6 – 2)/2 = 2 ; |
|
|
|
|
|
|
x2 = (8 – 4)/2 = 2; |
|
|
|
|
|||||||||||||
Тогда lim |
(x |
|
2)( x |
4) |
|
lim |
x |
4 |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
(x |
|
2)( x |
6) |
|
x |
6 |
|
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
Пример. Найти предел. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
1 |
x |
|
x2 |
|
|
|
1 |
x |
x2 |
домножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
x2 |
1 |
|
x |
|
x2 |
2x |
|
|
|
|
|||||||||||
выражение: lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
= |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
0 x(x |
1)( |
1 |
|
|
x |
x2 |
|
1 x x2 ) x 0 x(x 1)( 1 |
x x2 |
1 x x2 ) |
|||||||||||||||||
= |
|
|
|
2 |
|
|
|
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
(1 |
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25
Пример. Найти предел.
lim |
x2 |
5x 6 |
x2 5x 6 (x 2)(x 3) lim |
(x |
2)(x |
3) |
|
3 |
2 |
|
1 |
|
x2 9 |
(x |
3)(x |
3) |
3 |
3 |
6 |
||||
x 3 |
x 3 |
Пример. Найти предел lim |
x3 |
6x 2 11x 6 |
. |
||
x |
2 |
3x 2 |
|||
x 1 |
|
||||
|
|
||||
|
|
|
Разложим числитель и знаменатель на множители. x2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2)
x3 – 6x2 + 11x – 6 = (x – 1)(x – 2)(x – 3), т.к.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 – 6x2 + 11x – 6 |
|
x - 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 – x2 |
|
|
|
x2 – 5x + 6 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 5x2 + 11x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 5x2 + 5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6x - 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6x - 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Тогда lim |
(x |
1)( x |
2)( x |
3) |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
(x 1)( x 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Пример. Найти предел. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 sin |
2a 2h |
cos |
2h |
2 sin( a h) |
|
|
|
|||||||
|
sin( a |
|
2h) |
2 sin( a |
|
h) |
sin a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 sin( a h)(cosh 1) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|||
|
|
|
|
h |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
2 |
|
|
|
h |
2 |
||||||
h 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 lim sin( a |
h) |
lim |
|
2 sin 2 (h / 2) |
|
2 sin a ( |
1/ 2) |
|
sin a |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
4(h / 2) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
h 0 |
|
|
|
h |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
x3 |
2x 2 |
4x |
8 |
lim |
(x 2 |
4)( x |
2) |
lim |
x 2 |
|
- не определен, т.к. при |
|
3x 4 |
16x3 |
24x 2 |
16 |
(x |
2)3 (3x |
2) |
(x 2)(3x |
2) |
|||||
x 2 |
x 2 |
x 2 |
|
стремлении х к 2 имеют место различные односторонние пределы -∞ и +∞.
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
Пример. Функция Дирихле (Дирихле Петер Густав(1805-1859) – немецкий математик, членкорреспондент Петербургской АН 1837г)
f (x) |
1, |
x |
рациональн ое число |
|
0, |
x |
иррационал ьное число |
||
|
не является непрерывной в любой точке х0.
26
|
Пример. Функция f(x) = |
1 |
имеет в точке х0 = 0 точку разрыва 2 – го рода, т.к. |
|||||||
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
lim |
f (x) |
; |
lim |
f (x) |
. |
|
|
|
|
|
x 0 0 |
|
|
x 0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.5 |
|
|
|
|
|
|
|
-10 |
|
-5 |
5 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-7.5 |
|
|
|
|
Пример. f(x) = |
sin x |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
Функция не определена в точке х = 0, но имеет в ней конечный предел lim |
f (x) |
1 , т.е. в |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
точке х = 0 функция имеет точку разрыва 1 – го рода. Это – устранимая точка разрыва, т.к. |
||||||||||
если доопределить функцию: |
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
, |
при |
x 0 |
||
f (x) |
x |
|||||
|
|
|
||||
1, |
при |
x |
0 |
График этой функции:
1
0. 8
0. 6
0. 4
0. 2
|
- 20 |
|
- 10 |
10 |
20 |
|
|
|
|
|
|
- 0. 2 |
|
Пример. f(x) = |
x |
= 1, |
при x |
0 |
|
|
|
x |
|
1, при |
x |
0 |
|
27
y
1
0 |
x |
-1
Эта функция также обозначается sign(x) – знак х. В точке х = 0 функция не определена. Т.к. левый и правый пределы функции различны, то точка разрыва – 1 – го рода. Если доопределить функцию в точке х = 0, положив f(0) = 1, то функция будет непрерывна справа, если положить f(0) = -1, то функция будет непрерывной слева, если положить f(x) равное какомулибо числу, отличному от 1 или –1, то функция не будет непрерывна ни слева, ни справа, но во всех случаях тем не менее будет иметь в точке х = 0 разрыв 1 – го рода. В этом примере точка разрыва 1 – го рода не является устранимой.
Таким образом, для того, чтобы точка разрыва 1 – го рода была устранимой, необходимо, чтобы односторонние пределы справа и слева были конечны и равны, а функция была бы в этой точке не определена.
Пример. Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва, если они есть.
|
|
|
|
|
|
x |
4, |
x |
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
f (x) |
x 2 |
2, |
|
1 x 1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2x, |
x |
1 |
|
|
|
|||
|
lim |
f (x) |
3 |
|
|
|
|
|
lim |
f (x) |
3 |
|||
x |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
0 |
|
|
|
lim |
f (x) |
3 |
|
|
|
|
|
lim |
f (x) |
2 |
|||
x |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
0 |
|
|
в точке х = -1 функция непрерывна |
в точке х = 1 точка разрыва 1 – го рода |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
28
Пример. Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва, если они есть.
|
|
|
cos x, |
x |
0 |
|
|
|
|
|
f (x) |
x 2 1, |
0 |
x 1 |
|
|
|
|
|
|
x, |
x |
1 |
|
|
|
lim |
f (x) |
1 |
|
|
lim |
f (x) |
2 |
|
x 0 |
0 |
|
|
|
x |
1 |
0 |
|
lim |
f (x) |
1 |
|
|
lim |
f (x) |
1 |
|
x 0 |
0 |
|
|
|
x |
1 |
0 |
|
в точке х = 0 функция непрерывна |
в точке х = 1 точка разрыва 1 – го рода |
|
|
у |
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
- |
- /2 |
0 1 |
x |
БИНОМ НЬЮТОНА
Пример. В разложении xk y p n найти члены, содержащие х , если k=3, p=2, n=8, =9.
|
xk y p n |
n |
|
n i |
y p i |
|
По фомуле бинома Ньютона имеем: |
C i |
xk |
||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
i 0 |
|
|
|
C учетом числовых значений: |
|
|
|
|
|
|
x3 y 2 8 |
8 |
x3(8 |
i) y 2i |
|
|
|
C i |
|
|
|
|||
|
8 |
|
|
|
|
|
i0
Впринципе, можно написать разложение этого выражения в многочлен, определить коэффициеты либо непосредственно, либо из треугольника Паскаля (степень бинома сравнительно невелика), однако, делать это не обязательно, т.к. необходимо найти
только член разложения, содержащий х9. |
|
Найдем число i, соответствующее этому члену: 3(8 i) 9; |
i 5. |
29
5 |
9 |
|
10 |
8! |
|
|
9 |
|
10 |
8 |
7 |
6 |
|
9 |
|
10 |
|
9 |
|
10 |
|
Находим: С8 x |
|
y |
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
56x |
|
y |
|
|
|
5! 3! |
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример. В разложении (x |
|
y |
z |
w)m найти члены, содержащие x . т=9, =6. |
По обобщенной формуле бинома Ньютона получаем:
(x y z w)9 |
9! |
|
xn1 |
y n2 z n3 wn4 |
|
|
|
||||
n1!n2 !n3!n4 ! |
|||||
|
|
|
Для нахождения полного разложения необходимо определить все возможные значения ni, однако, это связано с громадными вычислениями. Однако, т.к. надо найти только члены, содержащие х6, то n1 = 6, а сумма всех четырех значений п равна 9. Значит, сумма п2 + п3 + п4 = 3.
Рассмотрим возможные значения этих величин:
n2 |
0 |
0 |
3 |
1 |
1 |
0 |
2 |
0 |
2 |
1 |
n3 |
0 |
3 |
0 |
2 |
0 |
1 |
1 |
2 |
0 |
1 |
n4 |
3 |
0 |
0 |
0 |
2 |
2 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Искомые члены разложения: |
|
|
84x6 w3 ; |
84x6 y3 ; |
84x6 z3 ; 252x6 yz2 ; 252x6 yw2 ; |
252x6 zw2 ; |
252x6 y2 z; |
252x6 z 2 w; 252x6 y2 w; 504x6 yzw; |
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
Пример. С помощью таблиц истинности проверить, являются ли эквивалентными формулы и .
p ( p r)
p ( p r )
Составим таблицы истинности для каждой формулы:
p |
r |
p |
(p r) |
p ( p r) |
|
|
|
|
|
И |
И |
Л |
И |
И |
И |
Л |
Л |
Л |
И |
Л |
И |
И |
Л |
Л |
Л |
Л |
И |
Л |
Л |
p |
r |
|
|
|
|
|
|
( p |
|
) |
p ( p |
|
) |
|
p |
|
|
r |
|
r |
r |
||||||
И |
И |
Л |
Л |
Л |
И |
||||||||
И |
Л |
Л |
И |
И |
И |
||||||||
Л |
И |
И |
Л |
И |
И |
||||||||
Л |
Л |
И |
И |
И |
И |
30