1-kinematika

Пример 7. Определить скорость точки B и угловую скорость второго звена кривошипношатунного механизма, если известна скорость вращения первого звена ω1 и его длина OA = r

1.Вид движения звеньев механизма: звено №1 – вращательное движение; звено №2 – плоское движение; звено №3 – поступательное движение.

2.Точка A звену №1, следовательно:

					A OA
	V A = ω 1 OA = r ω 1 , V
3. Точка	B звену №3 VB || OB
4. Точка	B звену №2 используем теорему о

сложении скоростей:

VB = VA + VBA , где VBA AB

Спроецируем это равенство на оси координат:

x : − VB cos 60 O = V A cos 30 O

y : VB cos 30 O = −V A cos 60 O + VBA

	= −		3		V A = −			3	r ω1
VB
VBA = − V A = −r ω1
4. Скорость вращения 2го звена:
ω2	=	VBA		=		− r ω1	= − ω1
		AB				r

Знаки «минус» полученных величин означают, что соответствующие векторы следует направить в противоположную сторону

[Разработчик Щербакова А.О.]

Страница 21

Пример 8. Определить ускорение точки B и угловое ускорение второго звена кривошипно-

шатунного механизма из примера 7, если известно угловое ускорение первого звена ε1 = 3ω12 1. Точка A звену №1, следовательно:

a B	= ω1 r +				ω1 r −			ω1 r
	2		3		2		2	2
− a B =					ω1 r −				ω1 r
	3		3 2					3 2

a	τ	= ε	1	r , a n	= ω2 r
	A			A	1

2.Точка B звену №3 a B || OB

3.Теорема о сложении ускорений:

=

+

=

n

+

τ

+

n

+

τ

a

B

a

A

a

BA

a

a

a

a

A

A

BA

BA

a n

=

VA2

= ω2 r , a

τ

= ε

r =

ω2 r , a n

= rω2

= rω2

3

A

A

r

1

1

1

BA

2

1

Спроецируем это равенство на оси координат:

O

n

O

τ

O

n

x : a B cos 60

= a A cos 60

+ a A cos 30

− a BA

30 O

30 O

τ

60 O

τ

n

y : − a B cos

= a A cos

− a A cos

− a BA

a

B

ω2 r

3

2

2

=

1

+

ω1 r

− ω1 r

2

2

2

3

3

2

3

2

τ

−

a B =

ω1 r −

ω1 r

− a BA

2

2

2

a B =

ω1 r

a B =

ω1 r

ω1 r +

ω1 r −

ω1 r =

2

3

2

2

2

2

2

2

2

−

2

τ

2

τ

3

2

−

3

2

+

3

3

τ

3

2

a BA

a BA

= ω1 r

ω1 r

a B =

a B

a BA

= ω1 r

		a	τ				ω2 r
						3
			BA							2
ε	2 =			=		1		=	3 ω1
							r
			r

[Разработчик Щербакова А.О.]

Страница 22

ПЛАНЫ СКОРОСТЕЙ И УСКОРЕНИЙ

План скоростей – графическая интерпретация теоремы о сложении скоростей: VB = V A + VBA План ускорений – графическая интерпретация теоремы о сложении ускорений: a B = a A + a BA

VB = V A + VBA

a B = a An + a Aτ + a BAn + a BAτ

Пример 9. Для механизма из примера 7 построить план скоростей и план ускорений

План скоростей

1) выбираем масштаб: = V A [м/с] lVA [м]

2) из произвольной точки проводим вектор V A длиной l (V A ) = V A [м/с] /

3) из конца этого вектора проводим линию, параллельную VBA ,

а из начала – линию, параллельную VB ; точка пересечения этих линий определяет длины соответствующих векторов 4) умножаем полученные длины на коэффициент :

VВ[м/C] = l (VB ) , VВA [м/C] = l (VBA )

План ускорений 1) выбираем масштаб; 2) из произвольной точки последова-

тельно откладываем векторы l (a nA ) , l (a τA ) и l (a BAn ) ; 3) из начальной точки проводим линию, параллельную aB ; из конечной

точки – линию, параллельную a BAτ ; точка пересечения линий определяет длины соответствующих векторов; 4) умножаем полученные длины на коэффициент

[Разработчик Щербакова А.О.]

Страница 23

ТЕОРЕМА О ПРОЕКЦИЯХ СКОРОСТЕЙ ДВУХ ТОЧЕК ТВЕРДОГО ТЕЛА

Спроецируем выражение VB = V A + VBA на линию, проходящую через точки A и B :

(VB )AB = (V A )AB + (VBA )AB

14243

=0

Отсюда следует, что проекции скоростей двух точек твердого тела на линию, их соединяющую, равны ме-

жду собой (с учетом знака проекций!):

(VB )AB = (V A )AB

Пример 10. Определить скорость точки B кривошипношатунного механизма из примера 7, если известно, скорость точки A равна V

OA

1.

Точка

A звену №1 V

2.

Точка

B звену №3 VB || OB

3.

Для вычисления величины скорости точки B вос-

пользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек

тела:

(VB ) AB = (V ) AB

V

cos 60 O = V cos 30 O V

= V

cos 30°

=

V

B

B

3

cos 60°

[Разработчик Щербакова А.О.]

Страница 24

МГНОВЕННЫЙ ЦЕНТР СКОРОСТЕЙ (МЦС)

На пересечении перпендикуляров к скоростям точек тела, движущегося плоско, существует мгновенный центр скоростей – точка изображающего сечения, скорость которой в данный момент времени равна нулю По теореме о проекциях скоростей двух точек твердого тела:

)

)

(V

= (V

A

AP

P

AP

(V

)

= (V )

= 0

V = 0

(V )

= (V

)

P

AP

P

BP

P

B BP

P

BP

МЦС – точка, вокруг которой тело вращается в данный момент времени, поэтому при решении задач плоское движение тела удобно рассматривать как мгновенно-вращательное вокруг МЦС

НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ МЦС

1. МЦС – точка P	2. МЦС отсутствует	3. МЦС – точка P
		(проскальзывания нет)

Мгновенно-вращательное	Мгновенно-поступательное	Мгновенно-вращательное
движение	движение	движение

ω =

V A

=

VB

ω = 0

ω =

V A

=

VB

=

VC

=

VD

PA PB

PA PB

PC

PD

[Разработчик Щербакова А.О.]

Страница 25

Пример 11. Определить скорость точки B и угловую скорость второго звена кривошипно-шатунного механизма из примера 7. Расчет геометрических параметров:

OP2 = OB / cos 60 O = 2OB = 2r

BP2 = OP2 cos 30 O = 2r

3

=

3r

2

AP2 = OP2 − OA = 2r − r = r

Расчет кинематических характеристик:

ω

=

V A

=

r ω1

= ω

= ω

= ω

2

,

V

B

2

BP

1

3r

AP2

r

1

2

Пример 12. Определить скорости, касательные и нормальные ускорения точек A и B разматывающейся катушки, если известна ее угловая скорость ω , угловое ускорение ε и радиус r . Проскальзывание между тросом и катушкой отсутствует. Трос нерастяжим.

Так как трос нерастяжим, все его точки на линии OP неподвижны, в том числе точка P . Проскальзывание между катушкой и тросом

отсутствует, следовательно, скорости точки

P троса и точки

P катушки совпадают: VP

= 0 . Значит точка P – МЦС катушки.

V

A

= ω AP = 2ωr ,

a τ

= ε AP = 2εr ,

a n

= ω2 AP = 2ω2 r

A

A

V

= ω BP =

ωr ,

a τ

= ε BP =

εr ,

a n

= ω2 BP =

ω2 r

B

2

2

2

B

B

[Разработчик Щербакова А.О.]

Страница 26

СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ

Сложное движение материальной точки – это движения точки по отношению к двум системам отсчета, из которых одна считается условно неподвижной, а вторая определенным образом движется по отношению к первой

1. Движение, совершаемое точкой по отношению к подвижной системе отсчета, называют от-

носительным движением

Траектория, описываемая точкой в относительном движении, называется относительной траекторией, скорость точки по отношению к подвижной системе отсчета называют относитель-

ной скоростью V r , а ускорение – относительным ускорением a r

2. Движение, совершаемое подвижной системой отсчета и всеми неизменно связанными с ней точками пространства по отношению к неподвижной системе отсчета, называют переносным

движением

Траектория, описываемая точкой в переносном движении, называется переносной траекторией, скорость той неизменно связанной с подвижным пространством точки, с которой в данный

момент времени совпадает рассматриваемая точка, называют переносной скоростью V e , а

ускорение – переносным ускорением a e

3. Движение, совершаемое точкой по отношению к неподвижной системе отсчета, называют

абсолютным движением (сложное движение точки)

Траектория, описываемая точкой в абсолютном движении, называется абсолютной траекторией, скорость точки по отношению к неподвижной системе отсчета называют абсолютной

скоростью V a , а ускорение – абсолютным ускорением a a

[Разработчик Щербакова А.О.]

Страница 27

ТЕОРЕМА О СЛОЖЕНИИ СКОРОСТЕЙ ТОЧКИ ПРИ ЕЕ СЛОЖНОМ ДВИЖЕНИИ

Абсолютная скорость точки при ее сложном движении складывается из переносной скорости этой точки и ее относительной скорости:

								V a = (V e ) 2 + (V r ) 2
V		a = V e + V r

Доказательство: рассмотрим движение точки A как сложное по отношению к неподвижному пространству Oxyz и подвижному – O1 x1 y1 z1 . Под-

вижное пространство за время dt перемещается из положения 1 в положение 2. Точка подвижного пространства, совмещенная в данный момент времени с точкой A , перемещается при этом по переносной траектории из положения A1 в по-

ложение A3 . Одновременно точка A перемещается по относительной траектории в положение A2 . Таким образом, абсолютное перемещение A1 → A2 можно представить как сумму переносного и относительного:

* +dρ

dr

= dr

Разделим это выражение почленно на dt :

*

+

dρ

dr

=

dr

dt

dt dt

Здесь

dρ

dr

a ,

dr *

e ,

r

= V

= V

= V

dt

dt

dt

[Разработчик Щербакова А.О.]

Страница 28

ТЕОРЕМА О СЛОЖЕНИИ УСКОРЕНИЙ ТОЧКИ ПРИ ЕЕ СЛОЖНОМ ДВИЖЕНИИ (ТЕОРЕМА КОРИОЛИСА)

Абсолютное ускорение a a точки при ее сложном движении складывается из переносного ускорения a e этой точки, ее относительного ускорения a r и ускорения Кориолиса a k

a a = a e + a r + a k

a a = (a e ) 2 + (a r ) 2 + (a k ) 2

Кориолисово ускорение точки равно удвоенному произведению угловой скорости переносного движения ω на относительную скорость точки

		k = 2 ω × V		r		a k = 2 V r ω sin ϕ
	a

Пример 13. Определить направление ускорения Кориолиса воды в реках Волге и Печоре

Ускорение Кориолиса в северном полушарии направлено от правого по течению берега реки к левому. За счет сил инерции правый берег подмывается и становится более крутым по сравнению с левым

a k = 2 V r ω sin ϕ

Здесь ϕ – широта местоположения

[Разработчик Щербакова А.О.]

Страница 29

Если угловая скорость подвижного пространства

ω и относительная скорость V r точки перпендикулярны друг другу, то угол между этими векторами составляет ϕ = 90° и его синус равен единице. В этом случае кориолисово ускорение равно

a k = 2 V r ω

Ускорение Кориолиса направлено в ту сторону, которую укажет вектор относительной скорости, если его повернуть на 90° по направлению вращения подвижного пространства

Пример 14. Указать направления векторов скоростей и ускорений точки A механизма, изображенного на рисунке, при ее абсолютном, относительном и переносном движении

[Разработчик Щербакова А.О.]

Страница 30