Элементы линейной Красоленко 12
.pdf4. Матричная запись системы линейных уравнений (1). Решение системы линейных уравнений в матричной форме
Пусть A – матрица этой системы, составленная из коэффициентов при неизвестных, размером n ×n ; X – матрица-столбец, составленная из неизвестных, размером n ×1 и B – матрица-столбец, составленная из свободных членов системы, размером n ×1:
|
a11 |
a12 a1n |
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
b1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
A = |
a21 |
a22 a2n |
|
, |
X = |
x2 |
|
|
|
и |
B = |
b2 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
an1 |
an2 ann |
|
|
|
xn |
|
|
|
|
|
bn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Тогданаоснованииправилаумноженияматрицсистему(1)можно записать в матричной форме:
AX = B .
Если матрица A неособенная, то есть det(A) ≠ 0 , то существует
обратная матрица A−1 и решение системы (1) можно представить в матричной форме
X = A−1B .
Представим в матричной форме систему линейных уравнений
|
x |
+ |
2x |
2 |
+3x |
=1 , |
|
1 |
|
|
3 |
|
|
2x1 |
+ x2 |
+ x3 =1 , |
||||
3x |
+ |
4x |
2 |
+5x |
=1 |
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
и решим ее в матричной форме.
Это система изтрехлинейных уравненийс тремянеизвестными
x1, x2 и x3 .
Составимматрицуэтойсистемы(ееэлементамиявляютсякоэффициенты при неизвестных) и матрицу-столбец свободных членов
|
1 |
2 |
3 |
|
и B = |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
A = |
2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
. |
(14) |
|
|
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X = A−1B = |
|
|
|
0,5 |
1 |
−0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
−3,5 −2 |
2,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
= |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
2,5 |
1 |
−1,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
0,5 1+1 1+(−0,5) 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
= |
(−3,5) 1+(−2) 1+2,5 1 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
. |
|||||||||||||
|
|
2,5 1+1 1+(−1,5) 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Ответ. |
x1 =1, x2 = −3, |
x3 = 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы применяется довольно широко. Известный в строительной механике прием построения решения с использованием так называемых чисел влияния фактически является способом решения системы с использованием обратной матрицы. При этом числа влияния являются элементами обратной матрицы.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 7 ПО ТЕМЕ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ»
Вариант № 1
Решить систему линейных уравнений
2x |
+ x |
2 |
− x |
= 5, |
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
x1 −2x2 |
+3x3 |
= −3 , |
||
|
|
+ x2 |
− x3 |
=10 |
|
7x1 |
|||||
тремя методами:
20 |
21 |
1)по формулам Крамера (при вычислении определителей следуетиспользоватьсвойства определителейитеоремуЛапласа оразложении определителей. Правило Саррюса использовать запрещается);
2)методом Гаусса;
3)для матрицы A, составленной из коэффициентов при неиз-
вестных, найти обратную матрицу A−1 и проверить справедливость равенства AA−1 = E ;системулинейныхуравненийзаписатьвматричной форме; используя обратную матрицуA−1, решить систему.
Вариант № 2
Решить систему линейных уравнений
3x |
+2x |
2 |
+ x |
3 |
=5, |
|
|
1 |
|
|
|
||
|
x1 |
+ x2 |
− x3 |
= 0 , |
||
4x |
− x |
2 |
+5x |
3 |
=3 |
|
|
1 |
|
|
|
||
тремя методами:
1)поформуламКрамера (при вычисленииопределителей следуетиспользоватьсвойстваопределителейитеоремуЛапласао разложении определителей. Правило Саррюса использовать запрещается);
2)методом Гаусса;
3)дляматрицы A, составленнойизкоэффициентовпринеизве-
стных, найти обратную матрицу A−1 и проверить справедливость равенства AA−1 = E ; систему линейных уравнений записать в матричной форме, используя обратную матрицу A−1, решить систему.
Вариант № 3
Решить систему линейных уравнений
2x |
−3x |
2 |
+ x |
= −3 , |
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
x1 +2x2 |
−3x3 |
= 2 , |
||
3x |
|
|
+4x |
= 7 |
|
|
1 |
|
|
3 |
|
тремя методами:
1)по формулам Крамера (при вычислении определителей следуетиспользоватьсвойства определителейитеоремуЛапласа оразложении определителей. Правило Саррюса использовать запрещается);
2)методом Гаусса;
3)для матрицы A, составленной из коэффициентов при неиз-
вестных, найти обратную матрицу A−1 и проверить справедливость равенства AA−1 = E ;системулинейныхуравненийзаписатьвматричной форме; используя обратную матрицу A−1, решить систему.
Вариант № 4
Решить систему линейных уравнений
|
x |
+ x |
2 |
+2x |
= −4, |
|
1 |
|
3 |
|
|
2x1 − x2 |
+2x3 |
= 3 , |
|||
4x |
+ x |
2 |
+4x |
= −3 |
|
|
1 |
|
3 |
|
|
тремя методами:
1)по формулам Крамера (при вычислении определителей следуетиспользоватьсвойства определителейитеоремуЛапласа оразложении определителей. Правило Саррюса использовать запрещается);
2)методом Гаусса;
3)для матрицы A, составленной из коэффициентов при неизвестных, найти обратную матрицу A−1 и проверить справедливость равенства AA−1 = E ;системулинейныхуравненийзаписатьвматричной форме; используя обратную матрицуA−1 , решить систему.
Вариант № 5
Решить систему линейных уравнений
3x |
+2x |
2 |
+ x |
= −2 , |
|
|
1 |
|
3 |
|
|
2x1 |
+3x2 |
+ x3 |
= 0 , |
||
2x |
+ x |
2 |
+3x |
= 4 |
|
|
1 |
|
3 |
|
|
тремя методами:
22 |
23 |
1)по формулам Крамера (при вычислении определителей следуетиспользоватьсвойства определителейитеоремуЛапласа оразложении определителей. Правило Саррюса использовать запрещается);
2)методом Гаусса;
3)для матрицы A, составленной из коэффициентов при неиз-
вестных, найти обратную матрицу A−1 и проверить справедливость равенства AA−1 = E ;системулинейныхуравненийзаписатьвматричной форме; используя обратную матрицу A−1, решить систему.
Вариант № 6
Решить систему линейных уравнений
|
x |
+2x |
2 |
+ x |
= 6 , |
|
1 |
|
3 |
|
|
2x1 |
+ x2 |
− x3 = −3, |
|||
3x |
+4x |
2 |
+2x |
=11 |
|
|
1 |
|
3 |
|
|
тремя методами:
1)по формулам Крамера (при вычислении определителей следуетиспользоватьсвойства определителейитеоремуЛапласа оразложении определителей. Правило Саррюса использовать запрещается);
2)методом Гаусса;
3)для матрицы A, составленной из коэффициентов при неизвестных, найти обратную матрицу A−1 и проверить справедливость равенства AA−1 = E ;системулинейныхуравненийзаписатьвматричной форме; используя обратную матрицу A−1, решить систему.
Вариант № 7
Решить систему линейных уравнений
|
x |
+4x |
|
|
=10 , |
|
1 |
|
2 |
+ x3 |
= −2, |
3x1 |
+ x2 |
||||
2x |
+3x |
2 |
+3x |
= 8 |
|
|
1 |
|
3 |
|
|
тремя методами:
1)по формулам Крамера (при вычислении определителей следуетиспользоватьсвойства определителейитеоремуЛапласа оразложении определителей. Правило Саррюса использовать запрещается);
2)методом Гаусса;
3)для матрицы A, составленной из коэффициентов при неиз-
вестных, найти обратную матрицу A−1 и проверить справедливость равенства AA−1 = E ;системулинейныхуравненийзаписатьвматричной форме; используя обратную матрицу A−1, решить систему.
Вариант № 8
Решить систему линейных уравнений
4x |
+ x |
2 |
+ x |
3 |
= 7, |
|
|
1 |
|
|
|
||
|
x1 +2x2 |
|
|
= −2, |
||
2x |
+3x |
2 |
+2x |
3 |
= 0 |
|
|
1 |
|
|
|
||
тремя методами:
1)по формулам Крамера (при вычислении определителей следуетиспользоватьсвойства определителейитеоремуЛапласа оразложении определителей. Правило Саррюса использовать запрещается);
2)методом Гаусса;
3)для матрицы A, составленной из коэффициентов при неиз-
вестных, найти обратную матрицу A−1 и проверить справедливость равенства AA−1 = E ;системулинейныхуравненийзаписатьвматричной форме; используя обратную матрицу A−1, решить систему.
Вариант № 9
Решить систему линейных уравнений
3x |
+3x |
2 |
+ x |
= 0 , |
|
|
1 |
|
3 |
|
|
2x1 |
+ x2 |
+4x3 = −12, |
|||
|
x |
+3x |
2 |
+2x |
= −1 |
|
1 |
|
3 |
|
|
тремя методами:
24 |
25 |
1)по формулам Крамера (при вычислении определителей следуетиспользоватьсвойства определителейитеоремуЛапласа оразложении определителей. Правило Саррюса использовать запрещается);
2)методом Гаусса;
3)для матрицы A, составленной из коэффициентов при неиз-
вестных, найти обратную матрицу A−1 и проверить справедливость равенства AA−1 = E ;системулинейныхуравненийзаписатьвматричной форме; используя обратную матрицу A−1, решить систему.
Вариант № 10
Решить систему линейных уравнений
|
x |
+2x |
2 |
−2x |
= −9, |
|
1 |
|
3 |
|
|
4x1 |
+ x2 |
+ x3 |
= 5, |
||
2x |
|
|
+3x |
= 11 |
|
|
1 |
|
|
3 |
|
тремя методами:
1)по формулам Крамера (при вычислении определителей следуетиспользоватьсвойства определителейитеоремуЛапласа оразложении определителей. Правило Саррюса использовать запрещается);
2)методом Гаусса;
3)для матрицы A, составленной из коэффициентов при неиз-
вестных, найти обратную матрицу A−1 и проверить справедливость равенства AA−1 = E ;системулинейныхуравненийзаписатьвматричной форме; используя обратную матрицу A−1, решить систему.
Рекомендуемаялитература
1.Натансон И. П. Краткий курс высшей математики / И. П. Натансон. –
СПб.: Лань, 2005.
2.Клиот-Дашинский М. И. Алгебра матриц и векторов / М. И. КлиотДашинский. – СПб.: Лань, 1998.
3.Основы линейной алгебры: метод. указания для студентов всех специальностейивсехформ обучения/сост. Л.Е.Морозова, О.В.Соловьева; СПбГАСУ. – СПб., 2006.
4.Линейная алгебра: метод. указания к выполнению самостоятельной работыдлястудентовIкурса/сост.М.И.Клиот-Дашинский.–Л.:ЛИСИ,1988.
26 |
27 |
Оглавление |
|
Введение ................................................................................................................ |
3 |
Рабочая программа курса высшей математики................................................... |
4 |
Примерный вариант контрольной работы № 7 по теме |
|
«Элементы линейной алгебры» ........................................................................... |
5 |
Контрольная работа № 7 по теме «Элементы линейной алгебры»................. |
21 |
Рекомендуемаялитература..................................................................................... |
27 |
ЭЛЕМЕНТЫЛИНЕЙНОЙАЛГЕБРЫ
Рабочая программа, методические указания и контрольные задания
Составители: Красоленко Георгий Владимирович, Сванидзе НиколайВладимирович, Якунина Галина Владимировна
Редактор А. В. Афанасьева Корректор К. И. Бойкова Компьютерная верстка И. А. Яблоковой
Подписано к печати 01.11.12. Формат 60×84 1/16. Бум. офсетная. Усл. печ. л. 1,6. Тираж 1500 экз. Заказ 149. «С» 80.
Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет. 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 4.
Отпечатано на ризографе. 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 5.
28