Voroncova_T

Итак, чтобы составить уравнение линии как множества точек, обладающих одинаковым свойством, надо:

а) взять произвольную (текущую) точку М(х;у), принадлежащую линии, б) записать равенством общее свойство всех точек М линии, в) выразить отрезки, входящие в равенство через текущие координаты точки М и данные задачи.

Кривой второго порядка на плоскости называется множество точек,

координаты которых удовлетворяют уравнению:
Ах2 + Вху + Су2 +Dx + Ey + F=0,	(3.1)
где какой-либо из коэффициент А, В, и С не	равен нулю, т.е.
А2 +В2 +С2 0.

Окружность

Окружностью называется множество всех точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром.

В прямоугольной системе координат уравнение окружности имеет вид

x a 2 y b 2 R2 ,

(3.2)

где a;b - координаты центра, R - радиус.

Уравнение (3.2) называется каноническим уравнением окружности. Если центр окружности совпадает с началом координат, т.е. a=b=0, то

уравнение (3.2) принимает вид:
						x2 y2 R2 .																(3.3)
							Пример 9. Написать уравнение ок-
																			1
	у					ружности с центром в точке С															; 1 и
																			3
						радиусом				1	.
			1						2
				1		Решение.
3							По условию дано a =									1	; b= -1; R=						1	,
О					х										3							2
						следовательно,							по формуле (3.2)									полу-
				С		чим		искомое					уравнение						окружности
							1	2					1
-1									y 1			2			или 36х			2	+36у		2	- 24х
						x
							3
													4
						+72у +31=0.
Надо знать, что если в уравнении (3.1) А=С 0 и В=0, то уравнение
					Ах2 +Су2 +Dx+Ey+F=0																	(3.4)

определяет окружность, и уметь переходить от уравнения (3.4) к уравне-

нию (3.2).

Пример 10. Найти координаты центра и радиус окружности 3х2 + 3у2 + 6х - - 4у - 4=0.

11

Решение.

Преобразуем данное уравнение к виду (3.2), разделив обе части урав-

нения на 3 и выделив полные квадраты в левой части: х2 +у2 +2х-4 у-4 =0

3 3

(х2 +2х+1)-1+(у2	4	у+	4	)	4		4	=0	(х+1)2 +(у	2	)2	25	. Из полученно-
3		9		9		3			3		9

го уравнения следует, что центр окружности находится в точке С(-1; 2 ) и

3

R 5 .

3

Пример 11. Составить уравнение окружности, имеющей центр в точке С(-2;3) и касающейся прямой х – 3у +2 =0.

Решение.

Радиус окружности равен расстоянию от центра до точки касания, но радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, радиус можно рассматривать как расстояние от точки до прямой и найти по формуле (2.10)

	R=d=	2	3 3	2				9		, где числитель дроби есть уравнение касательной, в
		1 9					10

которое вместо текущих координат подставили координаты точки С(-2;3), расстояние до которой находим. Запишем уравнение окружности

(х+2)2 +(у-3)2 =8,1.

Задачи для самостоятельного решения

1.Написать уравнение окружности, если центр её находится в точке С(1;3) и окружность проходит через точку М(-4;5).

2.Найти координаты центра и радиус окружности х2 +у2 +5у – 2=0.

3.Найти уравнение окружности, если концы одного из её диаметров имеют координаты (2;-4) и (-6;2). Лежат ли на этой окружности точки А(2;-1),

В(-3;4), С(-2;4)?

4.Определить расстояние между центрами окружностей

х2 +у2 - 6х -8у -3=0 и х2 +у2 +2х=0.

5.Найти точки пересечения окружности (х-2)2 +(у+3)2 =20 с осями координат.

6.Найти точки пересечения окружности х2 +у2 =5 с прямой 3х–у +1=0.

7.Составить уравнение окружности, касающейся оси Оx в точке (6;0)

ипроходящей через точку (9;9).

8.Найти центр и радиус окружности, описанной около треугольника с вершинами А(0;2), В(1;1), С(2;-2).

12

Ответы

1. (х-1)2 +(у-3)2 =29. 2. (0;-2,5), R= 33 . 3. (х+2)2 +(у+1)2 =25. Точка А

2

лежит внутри круга, точка В - вне круга, точка С - на окружности. 4. 32. 5. Ось абсцисс пересекает окружность в точках (2+11;0) и (2 11;0), ось ординат пересекает окружность в точках (0;1) и (0;-7). 6. Прямая пересе-

кает окружность в точках (0,4;2,2) и (-1;-2). 7. (х-6)2 +(у-5)2 =25. 8. (-3;-2), R=5.

Эллипс

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а. Фокусы эллипса находятся на оси Ох на равных расстояниях от начала координат в точках F1(-c;0) и F2 (с;0). Простейшее (каноническое) уравнение эллипса имеет вид

	x2		y2	=1,	(3.5)
	a2		b2

где а – длина большой полуоси эллипса, b –длина малой полуоси, коорди-

наты фокусов находятся из соотношения c2 a2 b2 .										(3.6)
		y				Форма эллипса (мера его сжатия)
		B1(0,b)				характеризуется			эксцентрисите-
				M(x,y)		том:
							c	;	0 1.	(3.7)
	r1			r2
							a
A (-a,0)	O	F2		A2(a,0)	x	Расстояния от			некоторой	точки
1	F1					эллипса М(х;у) до его фокусов на-
		B2(0,-b)				зываются фокальными радиусами
						этой точки, обозначаются r1				и r2 , и
						определяются формулами:				(3.8)
				r1 a x,r2		a x

(из определения эллипса следует, что для любой его точки справедливо равенство r1 r2 2a). Точки А1 a;0 , А2 a;0 , В1 0;b , В2 0; b называются вершинами, точка О(0;0) – центром эллипса.

Пример 12. Дано уравнение эллипса 16х2 +25у2 =400. Найти:

а) длины его полуосей, б) координаты фокусов, в) эксцентриситет, г) точки эллипса, расстояния от которых до левого фокуса равно 6.

Решение.

а. Запишем уравнение эллипса в виде (3.5), разделив обе его части на 400:

x2		y2	=1. Отсюда a2 =25, b2 =16, значит большая полуось a=5, малая
25
	16

полуось b=4.

13

б. Используя соотношение (3.6), находим с2 =25 - 16=9, с=3.

Следовательно, F1(-3;0), F2 (3;0).

в. По формуле (3.7) находим эксцентриситет: 3.

5

г. По формулам (3.8) находим абсциссы точек, расстояние от которых до

точки F1			равно 6: 6=5+				3	х, т.е. х=			5			. Подставляя значение х=																	5			в уравнение
							5																								3
									3
эллипса,			найдём				ординаты							этих							точек:							16				25					25 y2 =400
																															9
	16			16 8						4					8			.
		y2 16 y2				y						8				2
9					9		1,2		3				3
																5					8	2						5 8						2
Условию задачи удовлетворяют точки М1																				;					и М	2			;								.
																		3			3							3
																															3

Пример 13. Составить каноническое уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси Ох, симметрично относительно начала координат, если:

а. задана точка М1 2;3 эллипса и его малая полуось равна 2;

б. расстояние между фокусами равно 24 и большая ось равна 26;

	в. эксцентриситет равен	3	и заданы фокусы F	1(-6;0) и F2 (6;0).
	5
	Решение.
	а. Уравнение эллипса будем искать в виде (3.5)			x2		y2	=1. По условию эл-
				a2		b2

липс проходит через точку М1, значит её координаты удовлетворяют урав-

	нению эллипса, т.е.	4		3	=1, где малая полуось b=2. Находим а2					4		=16
		a2		22						1	3
											4
	и получаем искомое уравнение эллипса					x2		y2	=1.
					16		4

б. Расстояние между фокусами равно 2с=24, т.е. с=12, большая ось 2а=26, значит а=13.

Из соотношения (3.6) находим b2 =a2 - c2 =132 - 122 =(13-12)(13+12)=25.

Следовательно, искомое уравнение эллипса имеет вид: x2 y2 =1.

169 25

в. Из соотношения (3.7) следует, что c 3 . По условию задачи, с=6, a 5

получаем уравнение	6		3		, откуда а=10, тогда из формулы (3.6) следует
	a 5
b2 =a2 - c2 =100 - 36=64.
Искомое уравнение эллипса имеет вид:						x2		y2	=1.
					100		64

14

Замечания:

1)если а = b, то уравнение (3.5) определяет окружность х2 +у2 =а2 ;

2)если фокусы эллипса лежат на оси Оy, то эллипс имеет приведенный ниже вид.

	y
	В этом случае b>a, c2 =b2 – a2 ,	c	.	(3.9)
		b
	F2
O	x
	F1

Пример 14. Составить уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси Оy, симметрично относительно начала координат, если расстояние

между фокусами равно 24, эксцентриситет равен 12 .

Решение.

13

Уравнение эллипса имеет вид

x2

y2

=1, b>a. По условию задачи 2с=24,

a2

b2

12

c

значит с=12 и

по

формуле

(3.9), из

полученного равенства

13

b

находим

b=13. Так

как

с2 =b2 -

a2 ,

то

получаем 122 =132 -

а2 , отсюда

а2 =169

- 144=25.

Таким

образом,

уравнение

эллипса

получается:

x2 y2 =1;

25169

3)уравнение эллипса с осями, параллельными координатным, имеет вид:

y			x x0 2		y y0 2	1,	(3.10)
			a2		b2
y0		где x0;y0 - координаты центра эллипса.
O	x0	x

Пример 15. Показать, что уравнение 7х2 + 16у2 - 28х + 32у - 68=0 определяет эллипс; построить его; найти его оси; координаты центра и эксцентриситет.

Решение.

Преобразуем данное уравнение кривой. Сгруппируем слагаемые, содержащие х и содержащие у.

(7х2 –28х) + (16у2 +32у) – 68=0

15

Выносим за скобки общие числовые множители, а выражение в скобках преобразуем до полного квадрата.

7(х2 –4х+4-4) + 16(у2 +2у+1-1)-68=0

Полученное уравнение можно переписать в виде: 7(х–2)2 +16(у+1)2 =112,

т.е.	x 2 2		y 1 2	1. Получили уравнение вида (3.10); центр симметрии
16		7

имеет координаты (2;–1). Из уравнения находим а2 =16, а=4 и b2 =7, b=7 ,

тогда с2 =а2 –b2 =16–7=9, с=3. Эксцентриситет эллипса с 3 . a 4

	y
O
F1	x
	(2,-1) F2

Задачи для самостоятельного решения

1. Дано уравнение эллипса 51х2 +100у2 =5100.

Найти: а) длины его полуосей; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) точки эллипса, расстояние от которых до левого фокуса равно 17.

2. Составить каноническое уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси Оx, симметрично относительно начала координат, если

а) F1(-4;0), F2 (4;0) u =0,8; б) большая ось равна 14 и 2 ; в) эллипс про-

3

ходит через точки А(6;4) и В(8;3).

3. Показать, что уравнение 4х2 + 3у2 - 8х + 12у - 32=0 определяет эллипс, найти его полуоси, координаты центра, эксцентриситет. Сделать чертёж.

Ответы

1. а=10, b=51; F1(-7;0), F(7:0), =0,7, (10;0).

2.	x2		y2		1;		x2			y2	1;		x2				y2	=1.
	25											100
		9			49			245/9								25
3.	x 1 2					y 2 2				=1; a=2					, b=4, (1;-2),				1	.
														3
	12				16													2

Гипербола

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а.

Уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси Оx, имеет вид:

16

	x2		y2	=1,	(3.10)
	a2		b2

где а - длина действительной полуоси,

b - длина мнимой полуоси. Числа 2а и 2b называются соответственно действительной и мнимой осями гиперболы. Координаты фокусов: F1(-c;0), F2 (c;0),

c - половина расстояния между фокусами.

		y							Числа a, b и с связаны соот-
		B2(0,b)					M(x,y)		ношением:
									с2 =а2 +b2 .	(3.11)
	r1
							r2		Точки А1 и А2	называются
F1	A1(-a,0)	A2(a,0)					F2	x	вершинами гиперболы, точка
									О - центром, расстояния r1 и
									r2 от произвольной точки М
		B1(0,-b)
									гиперболы до её фокусов на-
			c						зываются фокальными радиу-
сами этой точки. Число					( 1, т.к. с a)					(3.12)
			a

называется эксцентриситетом гиперболы. Фокальные радиусы определяются формулами:

а) для точек правой ветви гиперболы: r1 a x,r2 a x;	(3.13)
б) для точек левой ветви: r1 a x,r2 a x.	(3.14)

Прямоугольник, центр которого совпадает с точкой О, а стороны равны и параллельны осям гиперболы, называется основным или направляющим прямоугольником гиперболы. Диагонали основного прямоугольника гиперболы лежат на двух прямых, называемых асимптотами гиперболы; они определяются уравнением:

у=	b	х.	(3.15)
	a

Если действительная и мнимая оси гиперболы равны (т.е. а=b), то гипербола называется равносторонней. Её уравнение записывается в виде:

х2 - у2 =а2 ,	(3.16)
а уравнения асимптот:
у= х.	(3.17)

Во всех задачах на гиперболу предполагается, что оси симметрии гиперболы совпадают с осями координат.

Пример 16. Дано уравнение гиперболы: 9х2 - 16у2 =144. Найти:

а) длины полуосей; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет гиперболы; г) уравнения асимптот; д) фокальные радиусы точки М(5;2,5).

17

Решение.

Разделив обе части уравнения на 144, приведём уравнение гиперболы

к каноническому виду (3.10):		x2		y2	1.
	162		92
Отсюда: а) а2 =16,	b2 =9, т.е. а=4,				b=3; б) по формуле (3.11) находим
с2 =16+9, т.е. с=5.	Следовательно, координаты фокусов F1(-5;0), F2 (5;0);

в) эксцентриситет находим по формуле (3.12) 5 ;

4

г) уравнения асимптот найдём по формуле (3.15) у= 3 х;

4

д) точка М лежит на правой ветви гиперболы (х=5>0), воспользуемся фор-

мулами (3.13):

r1	4	5	5 10,25;	r2	4	5	5 2,25;	r1 r2	2a 10,25 2,25 8 .
	4				4

Пример 17. Составить уравнение гиперболы, если известны уравнения асимптот:

у= 2 х и координаты фокусов ( 3;0). Решение.

По

условию задачи

b

.

Из соотношения

(3.11)

получаем

2

а2 +b2 =9.

a

b 2a

b 2a

b 6

Решаем систему уравнений

, подставив зна-

a2 b2 9

a2 3

a 3

чения а2

и b2 в уравнение (3.10), получим искомое уравнение

x2

y2

1.

3

6

Задачи для самостоятельного решения

1.Дано уравнение гиперболы 25х2 - 4у2 =100. Найти расстояние между её фокусами, эксцентриситет, уравнения асимптот, координаты вершин.

2.Найти каноническое уравнение гиперболы, если известно, что:

а) расстояние между вершинами равно 4 и гипербола проходит через

точку (3; 5 ); б) действительная полуось равна 3, расстояние между фоку-

2

сами равно 10; в) мнимая полуось равна 3 и эксцентриситет 5 ; г) урав-

4

нения асимптот у= 2 х и гипербола проходит через точку (-4;-2).

Ответы										2
							5
1.	2				;	y		x ; ( 2;0).
			29
		x2				2			x2		y2			x2		y2		x2		y2
2.	а)			y2 =1; б)								=1; в)					=1; г)				=1.
													16					8
	4					9				16					9				4

18

Парабола

Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых равноудалена от заданной точки, называемой фокусом, и заданной прямой, называемой директрисой.

Уравнение параболы с вершиной в начале координат, осью симметрии которой служит ось Оx и ветви направлены вправо, имеет вид:

у2 =2рх, (3.18)

где число р>0, равное расстоянию от фокуса F до директрисы l, называется параметром параболы. Фокусом параболы является точка

	F	p	;0	.			(3.19)
		2
	y			Уравнение директрисы
l	M(x,y)
				х=	p	.	(3.20)
				2

rДлина r отрезка FМ, фокальный радиус точки М, вычисляется по

x	p	O	F(	p	;0)	x	формуле:
	2			2			r = x +	p	.	(3.21)
						r2	2

Уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси Оx, ветви которой направлены влево, имеет

вид:

		у 2 = -2рх (р>0).			(3.22)
Уравнение директрисы: х =			p	.	(3.23)
2
Координаты фокуса: F( -	p	;0).			(3.24)
2

Уравнение параболы c вершиной в начале координат, осью симметрии которой служит ось Оy и ветви направлены вверх, имеет вид:

	х2 = 2ру (у>0).											(3.25)
	Фокусом её является точка F(0;	p	).									(3.26)
	2			p
	Уравнение директрисы этой параболы у = -					.						(3.27)
	2							p
	Фокальный радиус точки М параболы r = y +								.			(3.28)
	2
	Если ветви параболы направлены вниз, то её уравнение имеет вид:
	х2 =-2ру (р>0), (3.29) тогда фокус находится в точке F(0;-									p	).	(3.30)
	2
	Уравнение директрисы такой параболы: у=				p			.				(3.31)
	2

19

Пример 18. Определить координаты фокуса F и уравнение директрисы параболы, если её уравнение имеет вид:

а) у2 =10х; б) у2 =-6х; в) х2 =8у; г) х2 = - y .

12

Решение.

а. Парабола задана каноническим уравнением (3.18). Следовательно, 2р =10 р=5. Используя формулы (3.19), (3.20), (3.21) находим, что фокус имеет координаты F (2,5;0); уравнение директрисы: х= -2,5.

б. Парабола задана каноническим уравнением (3.22). Следовательно, 2р =6; р=3. Используя формулы (3.23), (3.24), находим координаты фокуса F (-1,5;0), уравнение директрисы: х= 1,5.

в.	Парабола задана каноническим					уравнением (3.25). Следовательно,
2р	=8 р=4. По формулам (3.26), (3.27),						находим	координаты фокуса
F (0;2), уравнение директрисы: у=-2.
г. Решаем аналогично: из уравнения параболы (3;29) следует:
2р=		1	р=	1	. По формулам (3.30),	(3.31)	и (3.28)	находим F(0;-	1	);
	12		24					48

уравнение директрисы: у= 1 .

48

Пример 19. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, если её директрисой служит прямая х=-4.

Решение.

Расстояние директрисы от начала координат равно p , следовательно,

2

p =4, т.е. р=8. Уравнение этой параболы имеет вид (3.18), так как абсцисса

2

директрисы отрицательна. Подставив в уравнение (3.18) значение параметра р, получим у2 =16.

Пример 20. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси Оy и проходящей через точку М(4;2). Решение.

Искомая парабола симметрична относительно оси Оy и проходит через точку М(4;2), следовательно, её уравнение имеет вид (3.25). Подставив в это уравнение координаты точки М, найдём р=4. После подстановки в уравнение (3.25) значения р, получим х2 =8у.

Задачи для самостоятельного решения

1.Составьте уравнение параболы с вершиной в начале координат, ес-

ли её фокус находится в точке: а) F(5;0), б) F(-4;0), в) F(0;2), г) F(0;-3).

2.Составьте уравнение параболы с вершиной в начале координат, если её директрисой служит прямая: а) х=-2; б) х=3; в) у=-4; г) у=1.

20