barkov_sbornik_zadach_2011
.pdfции такой системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через точку О, лежащую на оси стержня (рисунок). Принять m = 0,1 кг.
2.На барабан радиусом 0,5 м намотан шнур, к концу которого привязан груз массой 10 кг. Определите момент инерции барабана, если известно, что груз опускается с ускорением а = 2 м/с2.
3.Два однородных тонких стерж-
ня: АВ длиной l1 = 40 см и массой m1 = = 900 г и CD длиной l2 = 40 см и массой m2 = 400 г скреплены под прямым углом (рисунок). Определите момент импульса системы стержней, вращающейся с частотой ν относительно оси ОО′,
проходящей через конец стержня АВ параллельно стержню CD.
4.Горизонтальная платформа массой 100 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, делая 10 об/с. Человек массой 70 кг стоит в центре платформы. Сколько оборотов в секунду будет делать платформа, если расстояние человека от центра станет равным R/4? Платформа – однородный диск радиусом R, м, человек – точечная масса.
5.Шар массой 2 кг катится без скольжения по горизонтальной поверхности, делая 5 об/с. Найдите полную кинетическую энергию шара.
6.Горизонтальная платформа массой 100 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, делая 10 об/с. Человек массой 70 кг стоит на расстоянии 3 м от центра платформы. Когда человек переместился на расстояние 1 м от центра платформы, частота вращения стала равной 22 об/с. Платформа – однородный диск, человек – точечная масса. Найдите работу, совершаемую человеком.
7.Средняя высота спутника над поверхностью Земли 1700 км. Определите его скорость и период вращения.
8.В U-образную трубку налита ртуть. Сверху в одно колено заливают 68 г воды. Площадь сечения трубки 1 см2, плотность ртути 13,6 · 103 кг/м3. Определите, на сколько уровень жидкости в одном колене выше, чем в другом.
211
9.При взвешивании в воздухе тело объема 1000 см3 было уравновешено медными гирями массы 890 г. Какой массы гири необходимо добавить при взвешивании этого тела в вакууме? Плотность меди 8,9 · 103 кг/м3, воздуха – 1,2 кг/м3.
10.Деревянный брусок массой 2 кг тянут равномерно по деревянной доске, расположенной горизонтально, с помощью пружины с жесткостью 100 Н/м. Коэффициент трения равен 0,3. Найдите удлинение пружины.
Модуль 2. Динамика вращательного движения
Вариант 25
1. Вычислите момент инерции тонкого однородного стержня длиной l = 1 м и массой m = 0,5 кг с насаженным на него грузом массой 2m относительно оси ОО′ (ри-
сунок). Груз принять за материальную точку.
2.На барабан массой m1 = 9 кг намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m2 = 2 кг. Определите ускорение груза. Барабан считать однородным цилиндром. Трением пренебречь.
3.Два шара массами m и 2m (m = 10 г)
закреплены на тонком невесомом стержне длиной l = 40 см так, как показано на рисунке. Определите момент импульса системы, вращающейся с частотой ν относитель-
но оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец. Размерами шаров пренебречь.
4.Горизонтальная платформа массой 100 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, делая 5 об/с. Человек массой 60 кг стоит на расстоянии R от центра платформы. Сколько оборотов в секунду будет делать платформа, если расстояние человека от центра станет равным R/3 м? Платформа – однородный диск радиусом R, м, человек – точечная масса.
5.Кинетическая энергия вала, вращающегося с частотой 20 об/с равна 20 Дж. Найдите момент импульса вала относительно оси вращения.
212
6.Кинетическая энергия вращающегося маховика равна 1 кДж. Под действием постоянного тормозящего момента маховик начал вращаться равнозамедленно и, сделав 80 оборотов, остановился. Определите момент М силы торможения.
7.Вычислите первую космическую скорость у поверхности Луны, если ее радиус 1760 км, а ускорение свободного падения
уповерхности Луны в 6 раз меньше ускорения свободного падения
уповерхности Земли.
8.На какой глубине в озере давление в 3 раза больше атмосферного давления р0 = 100 кПа?
9.Железобетонная плита размерами 4× 0,3× 0,25 м погружена в воду на половину своего объема. Какова архимедова сила, действующая на плиту?
10.На горизонтальной поверхности лежит брусок массой 1 кг. К бруску прикреплена пружина жесткостью 50 Н/м. К свободному концу пружины приложили горизонтальную силу, растягивающую пружину. Какую работу совершит сила к моменту, когда брусок начнет скользить? Коэффициент трения между бруском и поверхностью 0,4.
Модуль 3. Колебания и волны
Вариант 1
1. Уравнение гармонических колебаний имеет вид x = = 4, 2 sin(πt 2 + π 8), см . Чему равны период, амплитуда и начальная
фазаэтихколебаний?
2. Зависимость координаты колеблющегося тела от времени представлена графиком на рисунке. Напишите в СИ уравнение гармонических колебаний в виде
x = Asin(ωt + φ0 ) .
213
3.Линейный гармонический осциллятор совершает колебания. График временной зависимости его координаты х представлен на рисунке. Нарисуйте график, правильно отражающий зависимость проекции скорости vx от времени.
4.Уравнение движения точки дано
ввиде x = sin(πt6), см. Найдите момен-
ты времени, в которые достигается максимальная скорость и максимальное ускорение.
5.К пружине подвешен груз. Зная, что максимальная кинетическая энергия колебаний груза равна 1 Дж, найдите коэффициент упругости пружины. Амплитуда колебаний 5 см.
6.Из однородного диска радиусом R сделали физический маятник. Вначале ось проходит через образующую диска, потом – на расстоянии R/2 от центра диска. Определите отношение периодов колебаний дисков.
7.Постройте векторную диаграмму сложения амплитуд и напишите уравнение результирующего гармонического колебания, полученного от сложения одинаково направленных колебаний, за-
данных уравнениями: х1 = 4sinπ t, см, и x2 = 3sin(π t + π /2).
8. Материальная точка одновременно участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях одинаковой частоты, заданных уравнениями: х = 2sin(ω 0t+ π /2), см, и у = 2sinω 0t, см. Найдите уравнение траектории, постройте ее с соблюдением масштаба и укажите направление движения.
9.Амплитуда колебаний маятника длиной 1 м за 10 мин уменьшилась в 2 раза. Определите логарифмический декремент затухания.
10.Поперечная волна распространяется вдоль оси Х. Уравнение
незатухающих колебаний источника дано в виде у = 10sin0,5π t, см. Напишите уравнение колебаний для точек волны в момент t = 4 c после начала колебаний.
11. Две точки находятся на прямой, вдоль которой распространяются волны со скоростью 40 м/с. Частота колебаний 20 Гц, расстояние между точками 40 см. Найдите разность фаз колебаний этих точек.
214
Модуль 3. Колебания и волны
Вариант 2
1. Определите амплитуду, период, циклическую частоту и начальную фазу колебаний, заданных уравнением
x= 5cos 2π(t +18), см .
2.Зависимость координаты колеблющегося тела от времени представлена графиком на рисунке. Напишите в СИ уравнение гармонических колебаний в виде
x= Asin(ωt + φ0 ) .
3.Линейный гармонический осциллятор совершает колебания. График временной зависимости его координаты х представлен на рисунке. Нари-
суйте график, правильно отражающий зависимость проекции скорости vx от времени.
4.Напишите уравнение гармонического колебательного движения, если максимальное ускорение точки 49,3 см/с2, период колебаний 2 с и смещение точки от положения равновесия в начальный момент времени 25 мм.
5.Материальная точка массой 20 г колеблется по уравнению
x= 5sin(πt 5 + π 4), см. Найдите период колебаний, максимальную
силу, действующую на точку, и ее полную энергию.
6.Обруч диаметром 56,5 см висит на гвозде, вбитом в стену,
исовершает малые колебания в плоскости, параллельной стене. Найдите период этих колебаний.
7.Точка участвует в двух одинаково направленных колебаниях:
х1 = А1 · sinω t и х2 = А2 · соsω t, где А1 = 1 см, А2 = 2 см, ω = 1 рад/с. Оп-
ределитеамплитуду результирующихколебанийиихчастоту.
8. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях: х = 2sinω t и у = 2cosω t. Найдите уравнение траектории, постройте ее с соблюдением масштаба и укажите направление движения.
215
9.Амплитуда затухающих колебаний маятника за 2 мин уменьшиласьвдвое. Восколькоразонауменьшитсяза5 мин?
10.Поперечная волна распространяется вдоль оси Х. Уравне-
ние незатухающих колебаний источника дано в виде у = 10sin0,5π t, см. Напишите уравнение колебаний для точки, отстоящей на расстоянии 600 м от источника колебаний, если скорость волны 300 м/с.
11. Определите скорость распространения волн в упругой среде, если разность фаз колебаний двух точек среды, отстоящих друг от друга на 10 см, равна π /3, а частота колебаний 25 Гц.
Модуль 3. Колебания и волны
Вариант 3
1. Уравнение гармонических колебаний тела имеет вид x = 0,1sin π(t 8 +1 4), м. Чему
равны амплитуда, частота и начальная фаза колебаний?
2. Зависимость координаты колеблющегося тела от времени представлена графиком на рисунке. Напишите в СИ уравнение гармонических колебаний в виде x = Asin(ωt + φ0 ) .
3. Линейный гармонический осциллятор совершает колебания. График временной зависимости его координаты х представлен на рисунке. По-
стройте график, правильно отражающий зависимость проекции скорости vx от времени.
4.Амплитуда гармонических колебаний 5 см, период 4 с. Найдите максимальную скорость колеблющейся точки и максимальное ускорение.
5.Амплитуда гармонических колебаний материальной точки
А= 0,3 см, полная энергия колебаний W = 3 · 10–7 Дж. При каком смещении от положения равновесия на колеблющуюся точку действует сила F = 10–5 Н?
216
6.Как относятся частоты колебаний математических маятников, если длины относятся как 1:4?
7.Найдите амплитуду и начальную фазу гармонического колебания, полученного от сложения одинаково направленных коле-
баний, заданных уравнениями: х1 = 3sinπ t, см, и x2 = 4sin(π t + π /2), см. Напишите уравнение результирующего колебания и постройте векторную диаграмму сложения амплитуд.
8. Точка совершает одновременно два гармонических колебания, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях ивыражаемых уравнениями: х = sin π t/2 и у = cos π t (длина– в см, время– в секундах). Определите уравнение траектории точки, постройте
еессоблюдением масштаба иукажитенаправлениедвижения.
9.За 8 мин амплитуда затухающих колебаний маятника уменьшилась в3 раза. Определите коэффициент затухания.
10.Поперечная волна распространяется вдоль оси Х. Уравнение
незатухающих колебаний источника дано в виде у = 10sin 0,5π t, см. Напишите уравнение волны, если скорость распространения колебаний300 м/с.
11. Волны распространяются в упругой среде со скоростью 75 м/с. Наименьшее расстояние между точками среда, фазы колебаний которых противоположны, равно 2 м. Определите период колебаний.
Модуль 3. Колебания и волны
Вариант 4
1.Определите амплитуду, период, циклическую частоту и начальнуюфазуколебаний, заданныхуравнением x = 3sin 2π(t +14), cм .
2.Зависимость коор-
динаты колеблющегося тела от времени представлена графиком на рисунке. Напишите в СИ уравнение гармонических колебаний в виде
x = Asin(ωt + φ0 ) .
217
3.Линейный гармонический осциллятор совершает колебания. График временной зависимости его координаты х представлен на рисунке. Нарисуйте график, правильно отражающий зависимость проекции скорости vx от времени.
4.Уравнение гармонических коле-
баний тела имеет вид x = 0, 2cos5πt, м. Каковы амплитудные значе-
ния скорости и ускорения этого тела?
5. Материальная точка массой 10 г совершает колебания согласно уравнению x = 0, 2sin 8πt,м . Найдите силу, действующую
вмомент времени t = 0,1 с, а также полную энергию точки.
6.Однородный стержень совершает малые колебания в вертикальной плоскости около горизонтальной оси, проходящей через его верхний конец. Длина стержня l = 0,5 м. Определите период колебаний стержня и его приведенную длину.
7.Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами Т = 1,5 с и амплитудами А = 2 см.
Начальные фазы колебаний ϕ 1 = π /2 и ϕ 2 = π /3. Определите амплитуду и начальную фазу результирующего колебания. Напишите его уравнение.
8. Материальная точка участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, заданных уравнениями: х = cos(π t + π ), см, и у = 2cos π t, см. Найдите уравнение траектории и начертите ее
ссоблюдением масштаба.
9.Математический маятник отклонился при первом колебании в одну сторону на 10 см, при втором колебании – на 8 см в ту же сторону. Определите декремент и логарифмический декремент затухания.
10.Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со скоростью 15 м/с. Период колебаний точек шнура Т = 1,2 с. Определите длину волны.
11.Волны распространяются в упругой среде со скоростью 100 м/с. Наименьшее расстояние между точками среды, фазы которых противоположны, равно 1 м. Определите частоту колебаний.
218
Модуль 3. Колебания и волны
Вариант 5
1. Уравнение гармонических колебаний тела имеет вид x = 0, 01sin π(t 8 + 1 2), м. Чему равны амплитуда, частота и началь-
ная фаза колебаний?
2. Зависимость координаты колеблющегося тела от времени представлена графиком на рисунке. Напишите в СИ уравнение гармонических колебаний в виде x = Acos(ωt + φ0 ) .
3.Линейный гармонический осциллятор совершает колебания. График временной зависимости проекции его скоро-
сти vx представлен на рисунке. Нарисуйте график, правильно отражающий зависимость проекции ускорения ax от времени.
4.Материальная точка со-
вершает гармонические колебания, уравнение которых имеет вид x = 20 cos πt6, мм. Каково значениескорости точкивмоментвремени
t = 3 с?
5. Материальная точка массой 0,1 кг колеблется согласно уравнению x = 5sin 20πt, м. Определите максимальную силу, действую-
щую на точку, и максимальную кинетическую энергию.
6.Один математический маятник совершает в час 2000, а другой 3000 качаний. Как относятся длины этих маятников?
7.Два одинаково направленных гармонических колебания одного периода с амплитудами А1 = 10 см и А2 = 6 см складываются
водно колебание с амплитудой 14 см. Найдите разность фаз этих колебаний.
219
8.Точка одновременно участвует
вдвух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях с циклическими
частотами ωX и ωY: x = A1 cos(ωX t + φ1 ) и y = A2 cos(ωY t + φ2 ) . Траектория точки
представлена на рисунке (фигура Лиссажу). Каково отношение частот ωY/ωX?
9.Амплитуда затухающих колебаний маятника за 2 мин уменьшилась
втри раза. Во сколько раз она уменьшится за 4 мин?
10.Найдите смещение от положе-
ния равновесия точки, отстоящей от источника колебаний на расстоянии L = λ /6 (λ – длина волны), для момента времени Т/3 с (Т – период колебаний). Амплитуда колебаний равна 0,3 м.
11. Определите разность фаз колебаний источника волн, находящегося в упругой среде, и точки этой среды, отстоящей на 3 м от источника. Частота колебаний 10 Гц. Скорость распространения волн 50 м/с.
Модуль 3. Колебания и волны
Вариант 6
1.Определите амплитуду, период, циклическую частоту и начальнуюфазуколебаний, заданныхуравнением x = 3sin 2π(t +14), см .
2.Зависимость коор-
динаты колеблющегося тела от времени представлена графиком на рисунке. Напишите в СИ уравнение гармонических колебаний в виде
x = Acos(ωt + φ0 ) .
220