Тоэ учебник 1я часть
.pdf4. РЕЗОНАНСНЫЙ РЕЖИМ РАБОТЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ
Резонанс (от франц. – дающий отклик) – явление сильного возрастания амплитуды колебания под влиянием внешнего воздействия, когда частота внешних колебаний совпадает с частотой системы.
В пассивных электрических цепях явление резонанса может иметь место только в том случае, если они содержат и катушки индуктивности, и конденсаторы. В режиме резонанса на входе такой цепи напряжение и ток совпадают по фазе, т.е. условием резонанса является равенство угла сдвига фаз нулю ( ϕвх = 0 ). Учитывая, что
ϕвх = arctg |
X экв |
в последовательной цепи, ϕ = arctg |
Bэкв |
в параллель- |
Rэкв |
|
|||
|
|
Gэкв |
ной цепи, условиям возникновения резонансов соответствуют соот-
ношения Xэкв = 0 либо Bэкв = 0.
В электрических цепях имеют место два вида резонансов: ре-
зонанс напряжений и резонанс токов. При резонансе напряжений при определенных параметрах цепи возможно значительное превышение напряжения на индуктивности и на конденсаторе над входным напряжением цепи. При резонансе токов в индуктивности и конденсаторе токи в некоторых случаях могут быть значительно больше входного тока цепи. Поэтому такие резонансы называют соответственно резонансом напряжения и резонансом тока. Условие возникновения первого: реактивное сопротивление Xэкв = 0, второго – реактивная проводимость Bэкв = 0.
4.1. РЕЗОНАНС НАПРЯЖЕНИЙ
Резонанс напряжений наблюдается в последовательных цепях. Рассмотрим режим резонанса напряжений для последовательной
RLC-цепи.
141
I& |
R |
|
|
U& |
U&R |
L |
U&L |
|
|||
|
C |
|
|
U&C
Рис. 4.1
Для схемы на рис. 4.1 справедливо
U& = RI&+ j ( X L − X C ) I& =U&R +U&L +U&C . (4.1)
Изменим частоту генератора или параметры катушки индуктивности или емкости так, чтобы для этой схемы было X = X L − X С = 0 , тогда U&L +U&C = jX L I&− − jX C I& = 0, напряжение на входе U& =RI&=U&R ,
т.е. ток и напряжение на входе совпадают по фазе. В цепи – режим резонанса:
ϕ= arctg |
X |
= 0 . |
(4.2) |
|
|||
|
R |
|
Частота ω0 , при которой наблюдается резонанс, может быть определена из соотношения
ω L = |
1 |
ω = |
|
1 |
. |
|
|
|
(4.3) |
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
ω0C |
0 |
|
LC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ток в цепи в режиме резонанса I0 = |
|
U |
= |
U |
, т.е. |
||||
|
|
|
|||||||
R2 +( X L − X C )2 |
|
R |
максимально возможный при данных параметрах контура.
Полная мощность цепи S = I02 Z = I02 R = P , т.е. равна мощности,
выделяемой на активном сопротивлении.
На рис. 4.2 представлена векторная диаграмма, которая соответствует режиму резонанса. Временная диаграмма тока и напряжений
|
|
|
|
1 |
|
представлена на рис. 4.3 ( ψi |
= 0 ). |
|
|
|
& |
& |
& |
|
& |
В каждый момент |
времени |
||||
U L |
= jIω0 L |
UC |
= − j |
|
I |
|
|
|
|
|
ω0C |
UL −UC =0 . Учитывая, что ω0 = |
|
1 |
, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
I& |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
& & |
|
|
|
получаем |
|
|
LC |
||
U R= IR |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.2
142
ω L = |
1 |
= |
1 |
L = |
LC |
= |
L |
= ρ , |
(4.4) |
|
|
|
|
||||||
0 |
ω0C |
|
LC |
C |
C |
|
|||
|
|
|
где ρ – характеристическое, или волновое сопротивление резонанс-
ного контура, измеряемое в омах.
Отношение напряжения на реактивных элементах (U L и UC )
к напряжению на входе в режиме резонанса называют добротностью контура:
Q = |
U L |
|
= |
|
UC |
= ω0 L |
|
I0 = |
|
I0 |
|
= |
ρ |
. |
(4.5) |
|
U |
U |
I |
ω CI |
R |
|
|||||||||||
|
|
|
R |
0 |
|
R |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
Чем больше ρ = |
|
|
L |
|
и чем меньше активное сопротивление |
|||||||||||
|
C |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в цепи, тем выше напряжение на реактивных элементах по сравнению с напряжением на входе контура.
|
4.1.1. Энергетические процессы при резонансе |
|
||||||||||||||
|
Пусть в последовательной цепи, состоящей из элементов R, L, |
|||||||||||||||
C, |
протекает |
ток |
i(t) = Im sin ω0t , |
тогда |
напряжение на |
емкости |
||||||||||
uC |
(t) =UCm sin |
|
|
π |
|
ω0t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω0t − |
2 |
= −UCm cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Магнитная энергия |
индуктивности |
W |
|
= |
Li2 |
= |
LIm2 |
sin2 ω t . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
магн |
2 |
2 |
|
0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cu2 |
CU 2 |
|
|||||
Энергия, накопленная |
на емкости W = |
|
C |
= |
|
Cm |
cos2 ω t . |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
эл |
|
2 |
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
143
Поскольку U |
|
= |
Im |
= I |
|
L |
, то W |
= |
CIm2 |
|
L |
cos2 ω t = |
LIm2 |
cos2 ω t . |
|
|
m C |
2 C |
2 |
||||||||||
|
Cm |
|
ω C |
эл |
|
0 |
0 |
|||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В каждый момент времени суммарная энергия контура в режиме резонанса
W =W |
+W = |
LIm2 |
sin2 ω t + |
LIm2 |
cos2 ω t = |
LIm2 |
= const , (4.6) |
|
|
|
|||||
магн |
эл |
2 |
0 |
2 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
т.е. в контуре происходит обмен энергии между индуктивностью и емкостью. Сумма энергий магнитного и электрического полей остается неизменной. Энергия, которая потребляется от источника, равна только тепловой, выделяемой на активном сопротивлении контура.
4.1.2. Частотные и резонансные характеристики последовательного RLC-контура
Зависимости параметров контуров RLC-контура от частоты на-
зывают частотными характеристиками. |
|
|
|
|
|||
Это индуктивное сопротивление X L (ω) = ωL , |
емкостное сопро- |
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
тивление |
XC (ω) = |
|
, реактивное сопротивление X (ω) = XL (ω) − XC (ω) , |
||||
ωC |
|||||||
активное сопротивление R(ω) = const , |
полное |
сопротивление |
|||||
Z (ω) = |
R2 (ω) + X 2 (ω) , угол сдвига фаз |
ϕ(ω) = arctg |
X (ω) |
. Качест- |
|||
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
R(ω) |
венныйвидэтиххарактеристик приведеннарис. 4.4.
Вмоментрезонанса X L (ω) = XC (ω), X (ω) =0, Z(ω) =0, ϕ(ω) =0 . Зависимости тока I(ω), напряжения на индуктивности UL(ω), напряжения на емкости UC(ω) называют резонансными характе-
ристиками. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
I (ω) = |
|
U |
; U |
|
(ω) = I ωL; |
U |
|
= |
I |
. (4.7) |
|
R2 |
(ω) + X 2 (ω) |
L |
C |
ωC |
|||||||
|
|
|
|
|
|
144
Графики этих характеристик при добротности Q = 2 представлены на рис. 4.5.
При добротности контура Q < 5 максимумы напряжений UL и UC смещаются друг от друга на одно и то же значение частоты от резонансной ω0. При добротности контура Q >5 максимумы этих напряжений при резонансной частоте ω = ω0 сливаются.
Если частота ω = 0, то XC = ∞, XL=0 (рис. 4.6, а). При этом условии UC (ω) ω=0 =Uвх , U L (ω) ω=0 = 0 . Если частота равна резонансной ω = ω0 , то X = 0 (рис. 4.6, б). При этом U L (ω0 ) =UC (ω0 ) . Если
145
ω → ∞ , тогда X C → 0, X L → ∞ (рис. 4.6, в). При этом U L → Uвх ,
UC → 0 .
Из приведенных характеристик следует, что RLC-контур обладает избирательными свойствами. Самое большое значение тока имеет место в режиме резонанса (ω = ω0). Для оценки избирательных свойств контура вводят понятие полосы пропускания контура. Она
равна разности частот, которым соответствует отношение I до
I0
и после резонанса, равное 1 . 2
Параметры цепи оказывают большое влияние на избирательность. Чем больше добротность контура, тем выше его избирательность. В этом можно убедиться при рассмотрении кривых на рис. 4.7 ( I I0 – отношение тока текущей частоты к току резонансной час-
тоты; ωω0 – отношение теку-
щей частоты к резонансной). Чем больше добротность контура, тем лучше его избирательные свойства и тем меньше полоса пропускания.
146
4.1.3. Зависимости I, UL, UC от L и С
Режим резонанса напряжений в RLC-цепи можно достигнуть, не только изменяя частоту, но и изменяя параметры индуктивности и емкости. Представим электрические схемы последовательного RLC-контура при L = 0, L = L0 (индуктивность достижения резонанса),
L → ∞ (рис. 4.8).
Значения I(L), UL(L), UC(L) для каждой схемы даны в табл. 4.1.
Таблица 4 . 1
L |
I =U |
|
|
R2 + X 2 |
U L = IωL |
UC |
= |
|
I |
|
|
|||||||
вх |
|
ωC |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
0 |
U |
вх |
|
R2 − X 2 |
|
|
0 |
|
|
U |
2 |
− I 2 R2 |
||||||
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
вх |
|
|
|
|
|
||
L0 |
|
|
U |
вх |
R |
U |
C |
=U |
вх |
Q |
U |
L |
=U |
вх |
Q |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∞ |
|
|
|
0 |
|
|
|
Uвх |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Электрические схемы RLC-контура при С = 0, С = С0 (значение емкости при резонансе), С → ∞ представлены на рис. 4.9.
147
Значения I(C), UL(C), UC(C) для каждой схемы даны в табл. 4.2.
Таблица 4 . 2
C |
|
I =U |
|
R2 |
+ X 2 |
U L = IωL |
UC |
= |
I |
|
|
вх |
ωC |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
Uвх |
|||
C0 |
|
|
Uвх R |
|
UC =UвхQ |
U L =UвхQ |
|||||
∞ |
|
I =U |
вх |
R2 |
+ X 2 |
U 2 − I 2 R2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
L |
вх |
|
|
|
|
||
Характер |
изменения зависимостей I(L), |
UL(L), UC(L), I(C), |
UL(C), UC(C) представлен на рис. 4.10.
4.2. РЕЗОНАНС ТОКОВ
Резонанс токов наблюдается в параллельных ветвях. При резонансе токов по фазе совпадают ток общей ветви и напряжение на параллельном участке. Рассмотрим резонанс токов в схеме с параллельными ветвями R1L и R2C (рис. 4.11, а). Заменим данную схему эквивалентной, приведенной на рис. 4.11, б.
В этой схеме приняты следующие обозначения:
G1 = |
|
|
R1 |
; BL |
= |
|
X L |
; |
|||
R2 |
+ X 2 |
R2 |
+ X 2 |
||||||||
1 |
L |
|
|
|
1 |
L |
(4.8) |
||||
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
X C |
||
G2 = |
|
|
; BC |
= |
|
|
. |
||||
R2 |
+ X 2 |
|
R2 |
+ X 2 |
|||||||
2 |
C |
|
|
|
2 |
C |
|
|
148
|
Для данной схемы справедливо |
|
I& |
|
|||||
I&= I& |
+I& |
=U&(G − jB |
) +U&(G + jB |
) = |
|
|
|
||
1 |
2 |
1 |
L |
2 |
C |
|
|
|
|
=U&(G1 +G2 ) − jU&(BL −BC ) = |
|
(4.9) |
& |
R1 |
R2 |
||||
= I&G +I&G |
+I&L +I&C. |
|
|
|
|
U |
|
I&2 |
|
|
|
|
|
|
I&1 XL |
XC |
|||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
В режиме резонанса
ϕ = arctg |
B − B |
I& |
а |
|
|
|
|
||||
L |
C = 0 . |
|
|
|
|
|
G1 +G2 |
|
I&1 |
& |
|
|
|
|
|
I2 |
Это возможно, |
если будет выпол- |
U& |
|
|
|
|
||||
нено условие |
|
|
|
|
|
G1 |
BL |
G2 |
BC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
B = B − B = |
X L |
− |
X C |
= 0 |
(4.10) |
I&G |
I& |
|
I& |
I& |
Z 2 |
Z 2 |
1 |
L |
|
G |
C |
||||
L C |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и соответственно I&L + I&C = 0; IL = IC . |
|
|
|
Рис. 4.11 |
|
|||||
Прирезонансеполнаямощность, ко- |
|
|
|
|
|
торая потребляется контуром, минимальна и носит активный характер,
|
|
|
S =UI = P =U |
2 (G +G ) =U 2G . |
(4.11) |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
В |
режиме резонанса ток |
на |
входе параллельного |
контура |
|
& |
& |
|
& |
|
|
|
I0 |
=U |
(G1 +G2 ) =UG , т.е. минимальный ток для этой схемы при не- |
изменном напряжении на входе U& . При G → 0 I → 0. Сопротивление такой цепи Z → ∞. Для резонансной частоты ω0 такой контур приня-
то называть фильтром-пробкой (или токовой пробкой).
Величина резонансной частоты для приведенной схемы определяется из условия
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
ω0 L |
= |
|
ω0C |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
(4.12) |
||
R2 |
+ |
X 2 |
R2 |
+ |
X 2 |
|||||
1 |
|
L |
|
2 |
|
|
C |
|
149
Приведя к общему знаменателю и умножив обе части на ω0, после преобразований получим
|
|
|
L |
− R2 |
|
ρ |
2 |
2 |
|
|
|
1 |
|
C |
1 |
|
|||||
ω = |
|
1 |
= |
|
− R1 . |
(4.13) |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
0 |
LC |
|
L |
− R22 |
LC |
ρ2 − R22 |
|
|||
|
|
C |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Резонанс в такой схеме может иметь место, если только выполняются следующие условия:
1) ρ > R1 , |
ρ > R2 ; |
2) ρ < R1 , |
ρ < R2 . |
При R1 = R2 = ρ схема находится в резонансе при любых частотах. Это так называемый всеволновой резонанс.
|
|
j |
& |
& |
|
|
|
|
|
||
I& |
= jU&B |
IG |
= UG2 |
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|||
|
C |
C |
I&2 |
& |
& |
|
|
|
|
I |
U |
& |
|
& |
I&1 |
|
+1 |
|
|
|
|||
I L |
= − jUBL |
|
|
|
I&G1 = UG& 1
Рис. 4.12
Основой для построения векторной диаграммы является описание схемы с помощью выражения (4.9). При построении совместим с вещественной осью напряжение U& , тогда векторная диаграмма будет иметь вид, представленный на рис. 4.12, если учесть, что IL = IC .
Под добротностью контура при резонансе токов понимают отношение тока на реактивных элементах IL или IС к току на входе контура I,
Q = |
IL |
= |
IC |
= |
BL |
= |
BC |
. |
(4.14) |
|
|
|
|
||||||
|
I I G G |
|
150