ПРАКТИКА 1 сопромат_заочн_ 2012

= I

=

I

x

+ I

y

−

I

x

− I

y

2

+ I 2

=

I

v

min

2

2

xy

=

7684,7 + 688,7

−

7684,7 − 688,7

2

+

(−741,1)

2

= 611,1 cм

4

.

2

2

Известно, что при повороте осей сумма осевых моментов инерции сечения не изменяется. Проверим выполнение этого свойства:

I x + I y = I u + Iv ; 7684,7 + 688,7 = 7762,3 + 611,1 ;

8373,4 = 8373,4 .

4. Определяем главные радиусы инерции.

iu

=

Iu

=

7762,3

= 11,36 cм;

A

60,2

iv =

Iv

=

611,1

= 3,19 cм .

A

60,2

5. Определяем моменты сопротивления относительно главных

центральных осей.

W =

Iu

=

7762,3

= 388,1см3 ;

u

vmax

20,0

W =

Iv

=

611,1

= 55,0см3 .

v

umax

11,11

Здесь

umax = u A = xA cos α0 + yA sin α0

= 8,93 × cos12о +11,45 ×sin 12о = 11,11см

− расстояние от оси v до наиболее удаленной точки сечения (точки А);

vmax =

vB

=

yB cosα0 - xB sinα0

=

(-18,55) ×cos12о -8,93×sin12о

= 20,00см

− расстояние от оси u до наиболее удаленной точки сечения (точки В).

3. РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ ПРИ КРУЧЕНИИ

Пример 3.1. Для стального вала, изображенного на рис. 3.1, а из условий прочности и жесткости определить размеры сплошного

круглого, кольцевого (при d = 0,8 ) и прямоугольного (с соотношением

D

сторон h = 2 ) сечений и оценить их рациональность. Допускаемое

b

21

касательное напряжение [τ] = 95 МПа, допускаемый относительный угол закручивания [θ] = 0,5 град/м, модуль сдвига G=0,8×105 МПа.

Решение.1.Составим уравнения крутящих моментов по участкам и построим эпюру крутящих моментов.

Рассмотрим вал, опирающийся на подшипники и нагруженный в сечениях А, В, С, D, Е сосредоточенными скручивающими моментами М1, М2, М3, М4, М5, а на участке СD – распределенным скручивающим моментом постоянной интенсивности m.

Определим величину неизвестного скручивающего момента М5 из условия равновесия вала, задав ему предположительное направление (см. рис. 3.1)

Σmz = 0 : −М1 + М2 + М3 − ml3 − М5 = 0;

М5 = -М1 + М2 + М3 - ml3 = -200 + 400 + 600 -100 ×1 = 500Н× м.

Выделим четыре силовых участков, границами которых являются точки приложения сосредоточенных скручивающих моментов, а также начало и конец действия распределенной моментной нагрузки. Применяем метод сечений для определения крутящих моментов на участках. Проведем сечение 1-1 на участке АВ. Из условия равновесия левой отсеченной части получаем

Мк1 = M1 = 200Н× м .

Всечении 2-2 на участке ВС

Mк2 = М1 - М2 = 200 - 400 = -200Н×м .

В сечении 3-3 на участке CD

M к3 = М1 - М2 + mz = 200 - 400 - 600 +100z , 0 ≤ z ≤ 1м ;

Mк3 (0) = -800Н× м, M к3 (1) = -700Н×м.

Всечении 4-4 на участке DE

Мк4 = М1 - М2 - М3 + m ×1+ М4 = 200 - 400 - 600 +100 + 200 = -500Н×м.

По полученным результатам строим эпюру крутящих моментов (рис. 3.1, б). Эпюра крутящих моментов имеет форму прямоугольников, за исключением участка, на котором приложен распределенный скручивающий момент. Следует отметить, что в том сечении, где приложен сосредоточенный скручивающий момент, ордината эпюры скачкообразно изменяется на величину этого момента.

22

Рис. 3.1

2. Определим размеры вала, удовлетворяющие условиям прочности и жесткости, и округлим их до стандартного значения по ГОСТ 6636−69.

Для вала постоянного сечения опасным будет сечение С, где

M к max = 800 H × м (рис.3.1, б).

Сплошное круглое сечение

Из условия прочности

τmax =

M к

max

£

[τ],

Wρ ³

M к

max

Wρ =

πd 3

,

,

W

ρ

[τ

]

16

тогда

16

M к

d ³

max

=

16 ×800

= 3,50 ×10

−2

м.

3

π[τ]

3

3,14 ×95 ×106

Из условия жесткости

23

θmax

=

M к

max

£ [θ],

[θ] = 0,5

град

= 8,72 ×10−3

рад

,

GI

ρ

м

м

Iρ ³

M к

max

Iρ =

πd 4

G[θ]

,

,

32

тогда

32

d ³ 4

Мк

max

= 4

32 ×800

= 5,85 ×10

−2

м.

πG[θ]

11

×8,72

×10

−3

3,14 ×0,8×10

Наибольшее значение диаметра получилось из условия жесткости. По ряду нормальных линейных размеров принимаем ближайшее значение d = 60 мм.

Проверим прочность и жесткость сплошного круглого вала при принятых размерах.

τmax

=

Мк

max

=

800

= 18,9 ×106 Па = 18,9 МПа < [τ],

W

42,4 ×10−6

ρ

где

3,14 × (6 ×10−2 )3

W =

πd 3

=

= 42,4 ×10−6 м3.

ρ

16

16

θmax

=

M к

max

=

800

= 7,86 ×10−3

рад

< [θ],

GIρ

0,8 ×1011 ×127,2 ×10−8

м

где

3,14 ×(6 ×10−2 )4

Iρ

=

πd 4

=

= 127,2 ×10−8 м4 .

32

32

Условия прочности и жесткости выполнены.

Кольцевое сечение ( d = 0,8 )

D

Из условия прочности

M

к

πD3

d

4

Wρ

³

max

,

Wρ =

(1 -

) ,

[τ]

16

D

тогда

D ³

16

Мк

max

=

3

d 4

π[τ](1 -

3

)

D

Из условия жесткости

Iρ

³

G[

θ]

,

M к

max

	16 ×800		= 4,17	×10− 2 м.
	3,14 ×95 ×106	(1 - 0,84 )

		πD4	d 4
Iρ	=		(1 -			) ,
		32
				D

24

тогда

D ³

4

32

Мк

max

= 4

32 ×800

= 6,67 ×10

−2

м.

d

4

11

×8,72 ×10

−3

×(1

- 0,8

4

)

3,14

×0,8×10

πG[θ](1-

)

D

По ряду нормальных линейных размеров принимаем D = 67 мм, d = 53 мм.

Проверим прочность и жесткость полого круглого вала при принятых размерах.

τmax

=

Мк

max

=

800

= 22,3×106

Па = 22,3МПа< [τ],

35,9 ×10−6

W

ρ

где

3,14 ×(6,7 ×10

πD

3

d

4

−2

3

×10

−2

4

−6

)

5,3

3

Wρ =

(1

-

) =

×(1

-

) = 35,9 ×10

м

.

16

16

×10

−2

D

6,7

где

I p =

θmax

=

M к

max

=

800

= 8,57 ×10−3

рад

< [θ],

GIρ

×1011 ×116,7 ×10−8

0,8

м

πD

4

d

4

3,14 ×(6,7 ×10

−2

4

×10

− 2

4

−8

)

5,3

4

(1

-

) =

×(1

-

) = 116,7 ×10

м

.

32

32

×10

−2

D

6,7

Условия прочности и жесткости выполнены.

Прямоугольное сечение ( h = 2 )

b

Из условия прочности

τmax =

Мк

max

£ [τ],

W = αhb2 = 2αb3 ,

Wк

к

где a = 0,246 − табл.9 [«Справочные таблицы»];

тогда

Мк

max

800

−2

b ³ 3

2α[τ]

=

3

= 2,58

×10

м.

2 ×0,246×95×106

Из условия жесткости

θmax

=

max

£ [θ], Iк = βhb3 = 2βb4 ,

Мк

GIк

где b = 0,229 − табл.9 [«Справочные таблицы»];

25

тогда

b ³ 4

М

к

max

= 4

800

= 3,98 ×10

−2

м .

× 0,8 ×1011

× 0,229 ×8,72

×10−3

2Gβ[θ]

2

По ряду нормальных линейных размеров принимаем b = 40 мм, h = 80 мм.

Проверим прочность и жесткость прямоугольного вала при принятых размерах.

τmax

=

Мк

max

=

800

= 25,4 ×106

Па = 25,4 МПа < [τ],

W

31,5 ×10−6

к

где

= 0,246×8×10−2 ×(4 ×10−2 )2

= 31,5×10−6 м3 .

W = αhb2

к

.

θmax

=

M к

max

=

800

= 8,53 ×10−3

рад

< [θ],

0,8 ×1011 ×117,2 ×10−8

GIк

м

где

Iк = βhb3 = 0,229 ×8 ×10−2 ×(4 ×10−2 )3 = 117,2 ×10−8 м4 .

Условия прочности и жесткости выполнены.

2. Дадим эскиз опасного сечения вала и построим эпюру касательных напряжений при принятых размерах (рис. 3.2, а, б, в):

а) сплошное круглое сечение

τmax = 18,9 МПа;

б) кольцевое сечение

τmax = 22,3 МПа;

в) прямоугольное сечение

τА = τmax = 25,4 МПа, τВ = γτmax = 0,795×25,4 = 20,2МПа ,

где

γ = 0,795 − табл.9 [«Справочные таблицы»].

26

Рис. 3.2

3. Оценим рациональность подобранных сечений. Экономичной будет та форма сечения, при которой вал имеет

наименьший вес Q = γAl (γ – удельный вес материала). Очевидно, что сечение с наименьшей площадью является наиболее рациональным.

Вычислим площади подобранных сечений при принятых размерах:

а) сплошное круглое сечение

		А =		πd 2		=		3,14 × 6,02			= 28,3см2 ;
			4				4
б) кольцевое сечение
	πD2		d 2				3,14 × 6,7		2		5,3		2	2
А =		(1 -			) =					(1 -				) = 12,7 см	;
	4		D				4				6,7

в) прямоугольное сечение

А = bh = 4,0 ×8,0 = 32,0см2.

Найдем отношение площадей кольца, круга и прямоугольника:

Аб : Аа : Ав =12,7 : 28,3 : 32,0 =1,0 : 2,2 : 2,5.

Таким образом, полый круглый вал будет в 2,2 раза легче сплошного круглого вала и в 2,5 раза легче прямоугольного вала.

4. Определим углы закручивания участков вала кольцевого сечения и построим эпюру углов закручивания.

Принимая за начало отсчета крайнее левое сечение вала, получим

ϕA = 0;

27

ϕ	В−А	= ϕ		+ ϕ = 0 +	Мк1l1	=	200 ×1,0	= 0,214 ×10−2 рад;
			A				0,8 ×1011 ×116,7 ×10−8
				1	GIρ

ϕС− А = ϕВ− А +ϕ2

= ϕВ− А

+

Мк2l2

= 0,214 ×10−2 +

200 ×1,0

= 0 рад;

0,8 ×1011 ×116,7 ×10−8

GIρ

l3

Мк3 dz

1

1,0

ϕD − А = ϕC − А +ϕ3

= ϕC − А + ∫

= 0 +

∫ (-800 +100z)dz =

GIρ

11

−8

0

0,8

×10 ×116,7 ×10

0

= -0,803×10−2 рад;

ϕЕ− А = ϕD − А +ϕ4

= ϕD − А

+

Мк4l4

= -0,803×10−2 -

500 ×0,5

=

×1011 ×116,7 ×10−8

GIρ

0,8

= -1,071×10−2 рад.

По

результатам

расчетов

строим

эпюру

углов

закручивания

(рис. 3.1,в). На тех участках,

где Мк

= const ,

углы

закручивания

меняются по линейному закону. На участке, где действует

распределенный скручивающий момент постоянной интенсивности,

эпюра ϕ

представляет квадратную параболу. В тех

сечениях,

где

приложены сосредоточенные моменты, на эпюре углов закручивания наблюдается излом.

4. РАСЧЕТ БАЛОК И РАМ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ

Пример 4.1. Для стальной балки, изображенной на рис. 4.1, а, из условия прочности по нормальным напряжениям определить размеры различных по форме поперечных сечений: двутавра, прямоугольника

(с отношением сторон h = 1,8), квадрата, круга, кольца (при d =0,8) и

b

D

оценить их рациональность. Расчетное сопротивление R = 210 МПа. Решение. 1. Составим уравнения поперечных сил и изгибающих

моментов по участкам и построим их эпюры.

Запишем уравнения статики и определим реакции заделки RA и

МА.

∑mA = 0 : M A + Fa - q2a(b + 2a) + M = 0 ; → M A = 102кH × м ;

∑Fy = 0 : − RA − F + q2a = 0 ; → R A = 22 кH .

28

Проверка:

∑ mB =M A× - RA a - q2a(a + b) + M = 102 - 22 ×1,0 - 20 × 2,0 ×(1,0 +1,4) +16 = 0.

Следовательно, опорные реакции найдены верно.

Рис. 4.1

На рис.4.1,б показаны выделенные участки балки. Запишем для каждого из них выражения внутренних усилий и найдем их значения на границах участков.

I. 0 ≤ z1 ≤ 2,0 м
Qy	= qz1 = 20z1 ; Qy ( 0 ) = 0 ; Qy (2) = 40кН.
		qz2
M x	= M −	1	= 16 −10z12	; M x (0) = 16кH × м ; M x (2) = 40кH × м.
	2

II. 0 ≤ z2 ≤ 1,4 м

Qy = q2a = 40кH .

M x = M − q2a(z2 + a) = −24 − 40z2 ;

29

M x (0) = -24кH × м ; Мx (1,4) = -80кН×м.

III. 1,4 ≤ z3 ≤ 2,4 м

Qy = q2a − F = 22кH .

M x = M − q2a(z3 + a) + F (z3 − b) = −49,2 − 22z3 ;

M x (1,4) = -80кH × м ; M x (2,4) = -102кH ×м.

Построение эпюр Qу, Мх проводим по участкам на основе полученных уравнений. Положительные значения ординат эпюры Qy откладываются выше оси, отрицательные – ниже. Положительные значения ординат эпюры Мх откладываются ниже оси, отрицательные

– выше. На первом участке поперечная сила линейно зависит от координаты, возрастая от нуля в начале участка до 40 кH в конце. Эпюра Qу на этом участке ограничена отрезком прямой, проходящей через указанные значения. Изгибающий момент имеет на данном участке уравнение квадратной параболы с вершиной в сечении z1 = 0, т.е. там, где равна нулю поперечная сила, являющаяся производной от Мх по координате z. Эпюра изгибающего момента ограничена кривой второго порядка, проходящей через точки с координатами 16 кH×м и – 24 кH×м, соответственно на правой и левой границах участка. Парабола имеет выпуклость, направленную в сторону действия распределенной нагрузки.

На втором и третьем участках поперечная сила имеет постоянные значения, соответственно 40 кH и 22 кH. Изгибающий

момент меняется по линейному закону –	эпюра Мх ограничена на
участках отрезками прямых, проходящих	через	точки	с
ординатами –24 кH×м, –80 кH×м на втором,	и – 80 кH×м, – 102 кH×м на

третьем участках. Результаты построения эпюр Qу, Мх приведены на рис. 1,в,г. Наиболее опасным является сечение А, в котором изгибающий момент достигает наибольшего по модулю значения

M x max = 102кH ×м.

2. Произведем проверку с помощью дифференциальных зависимостей.

Построение эпюр проводится на основе известных дифференциальных зависимостей между Qу, Мх и интенсивностью распределенной нагрузки q.

В нашем случае на первый участок действует распределенная нагрузка q = const, следовательно, поперечная сила должна быть линейной функцией координаты z1, а изгибающий момент меняться по закону квадратной параболы. Эпюра изгибающих моментов не имеет

30