KR 1-4

12.10. lim x2 4x 12 .

x 2 x2 5x 6

ЗАДАЧА 13

Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя.

13.1. lim		3 2x 3				.
x 3			x 3
13.4. lim		x 2		. 13.5.
x 4	x 4

13.2. lim x2 1

x 1 x 1

lim		2 x 2	.
x 2	x2 x 2

.	13.3. lim		9 2x 5		.
	x 8		x2 64

x2 1

13.6. lim . x 1 3 x 2

13.7. lim

1 x 3

. 13.8. lim

1 x 1 x

.

13.9. lim

1 2x x2 (1 x)

.

x2 8x

x2 x

x

x 8

x 0

x 0

13.10. lim 5 x 3 .

x 4 x2 5x 4

ЗАДАЧА 14

n2 2

n2

2n2 3

n2

14.1. lim

.

14.2. lim

.

n

2

2n

2

1

n

n

6n 7 3n 2

n 1

n2 1

3n 2 n 5

14.3. lim

. 14.4. lim

. 14.5. lim

.

n 6n

4

n n 3

n

3n

1

n 1

n 1

n 10

4n 1

n3 2

2n n3

14.6. lim

.

14.7. lim

.

14.8. lim

.

3

n n 3

n n

12

n n

1

n 4

n2 1

2n 5

2n 1

14.9. lim

.

14.10. lim

.

n n 1

n 2n 1

ЗАДАЧА 15

Найти предел, используя эквивалентность бесконечно малых функций.

	15.1. lim	2x 1		.	15.2. lim	1 cos x	.	15.3. lim	ln(1 tg x)	.
		sin x				sin2 x			arctg x
	x 0				x 0			x 0

11

15.4. lim

e2 x 1

. 15.5.

lim

2x sin x

. 15.6.

lim

1 cos 2x

.

15.7. lim

arcsin 3x

.

tg x

ln 1 tg2 x

arctg x2

e4 x 1

x 0

x 0

x 0

x 0

15.8. lim

ln 1 sin2 x

. 15.9. lim

ex2

1

.

15.10. lim

sin 8x

.

x 0

1 cos x

x 0

arcsin2 x

x 0

x2 x

ЗАДАЧА 16

Задана функция y f (x) . Исследовать точки разрыва функции, если они

существуют. Сделать схематический чертеж.

16.1. y

1

.

16.2. y arctg

1

.

16.3. y

1

.

16.4. y

1

.

1 21/ x

x 2

ln x

x2

x

1

1

1

16.5. y 5 1/ x .

16.6. y

16.8. y

.

16.7. y 4 x 2 .

.

ex 1

1

1 3x 1

1

16.10. y

1

16.9. y

.

.

ln x 1

2x 1

x 2,				x 2;
17.1. f (x)	1		,	x 2.
x 1

ЗАДАЧА 17

x 2, x 1;

17.2. f (x)

x2 1, x 1.

2sin x, x 0;	x 3, x 1;	x 1, x 1;
17.3. f (x)	17.4. f (x)	17.5. f (x)	1.
(x 1)2 , x 0.	2x , x 1.	ln x, x

2

1, x 2;

x, x 0;

x

17.6.

f (x)

71.7. f (x) 1

0.

x 2, x 2.

, x

x

2

1, x 1;

ln( x), x 0;

x

17.8.

f (x)

17.9.

f (x)

x), x 0.

2 x , x 1.

x(1

| x |, x 2;

17.10.

f (x)

x

6, x 2.

12

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3 Дифференциальное исчисление

ЗАДАЧА 18

Показать, что функция y f x ференциальному уравнению.

18.1. y x e x2 /2 ;

xy 1 x2 y .

yy x 2x3.

18.3. y x

1 x2 ;

1

x

1 y2

18.5. y 1

x ; y

1 x2 .

18.7. y tgln 3x;

1 y

2

xy .

18.9. y ex x2

2ex ; y y 2xex x2 .

удовлетворяет соответствующему диф-

18.2. y sinx x ; xy y cos x .

18.4. y ln C ex ;

y ex y .

tg x

18.6. y e 2 ; y sin x y ln y.

18.8. y x2 1 ex2 ; y 2xy 2xex2 .

18.10. y x cos x 3x; xy y x2 sin x.

ЗАДАЧА 19

Найти производную функции.

														3arcsin											x 1		. 19.2. y							1	ln x2		2x 2 arctg x 1 .
19.1. y 8						5 2x x2
																									6							2
												4arcsin												x 1		.
19.3. y					3 2x x2
																									2
			3							2												1							2x 1
19.4. y					ln 4x						4x						17								arctg						.
			8																			6						4					.
													4 ln x 1
19.5. y 3							x2 2x 2																					x2 2x				2
			2																13		ln 3x 1															.
19.6. y								9x2 6x 2																						9x2		6x 2
			9														9
19.7. у			29				arctg		5x 3									3		ln		5x2 6x 18 .											19.8. y x arctg x							1	ln 1 x2	.
			45								9						10																						2
19.9. y tg x lncos x tg x x.																																					ex		2sin 2x cos 2x
																																19.10. y						1					.
																																					2		5

ЗАДАЧА 20

Найти производную от функции, заданной неявно.

	20.1. sin xy ln x y a 0.	20.2.	cos x y	x	a 0.
				y

13

20.3. arctg

x

exy a 0.

20.4. arcsin

y

sin

x

a 0.

y

x

y

5

ex y a 0.

20.5. x2

y2

a 0.

20.6. sin x2 y2

xy

20.7. y2 x arctg y a 0.

20.8. y3 cos x y y2

a 0.

20.9.

1

sin

x

a 0.

20.10. 2y ln y x2

y2

a 0.

x2

y2

y

ЗАДАЧА 21

Найти производную второго порядка от функции, заданной параметриче-

ски.

x

t

1

x ln t;

cost;

e

sin t;

x

;

x

t 1

21.1.

y sin t.

21.2.

21.3.

21.4.

y t3 .

y et cost.

t

y e .

x tg t;	x ctg t;		2	t;	x arctg t;
		x t
21.5.	21.6.	21.7.			21.8.		1
y sin t.	y cos t.	y et .				y		.
							1 t

x arcsin t;

y ln t.

		t	2	;
x 1
21.10.
y t2 .

ЗАДАЧА 22

Найти уравнения касательной и нормали к графику функции y f x в точке x0 .

	22.1. y	x 1			x 3.
				;		22.2. y	x x; x		4.
		x 1			0		0

22.3. y	x2		x 1			;	x 3.	22.4. y sin x;	x		3	.
		x 1					0		0		4
22.5. y tg x;				x .				22.6. y ln x;	x	e2 .
				0		4			0
22.7. y x2				x;	x		2.	22.8. y x3 x2 x 1;					x	1.
						0							0
								22.10. y x2	4x 3;					1.
22.9. у 63			x x;			x	8.						x
						0							0

ЗАДАЧА 23

Найти предел по правилу Лопиталя.

14

	sin x x	x3
23.1. lim	6			.
x 0	x5

23.4. lim arctg x x .

x 0 x2

	23.7. lim	ex cos x x	.
		x2
	x 0

23.10. lim xsin x x2 .

x 0 x4

cos x 1

x2

ln 1 x x

23.2. lim

2

.

23.3. lim

.

x4

x 0

x 0

x2

23.5. lim

ex 1 x

.

23.6. lim

ex

e x 2

.

sin2

x

1

cos x

x 0

x 0

23.8. lim

cos x2

1

.

23.9. lim

ln 1 x2 x2

.

x 0

x2

x 0

x4

ЗАДАЧА 24

Найти наименьшее и наибольшее значения функции y f x на отрезке

a;b .

24.1.	y x3	6x2	9x 3; 1;4 .		24.2.	y 2x3			9x2	24x 5; 0;6 .
24.3.	y 2x3 3x2 36x 2;			3;4 .	24.4.	y 2x3			3x2	12x 6; 2;3 .
				4;2 .					x 5; 0;4 .
24.5.	y x3	3x2	24x 10;		24.6.	y x

24.7. у 33

x 4; 1;8 .

24.8. y 33

x 1; 1;27 .

x2

x

x 2; 2;7 .

2x 1; 1;3 .

24.9. y 3

x 1

24.10. y 4

x 1

ЗАДАЧА 25

Найти интервалы выпуклости,

вогнутости и точки перегиба графика

функции y f x .

25.2. y xex .

8

.

25.1. y 93 x5

5x2

3x 1.

25.3. y x2

x

25.4. y ln x2

4 .

25.5.

y x4 2x3 12x 15x 6 .

25.6. y

x3

8

.

x

25.7. y arctg x x .

25.8.

y x2 ln x .

25.9. y xex .

25.10. y

ln x

.

x2

ЗАДАЧА 26

Провести полное исследование функции y f x и построить ее график.

26.1. y

x2

2x 4

.

26.2. y

x2

4x 7

.

26.3. y

x2

x 1

.

x 2

x 3

x 1

26.4. y

x2

2x 9

.

26.5. y

x2

3x 4

.

26.6. y

x2

6x 10

.

x 2

x

x

3

15

26.7. y	x2	2x 8	.	26.8. y	x2		2x 8	.
		x 4					x 4
26.9. y	x2	3x 6	.	26.10. y		x2 4x 4			.
		x 5					x 5

ЗАДАЧА 27

Провести полное исследование функции y f x и построить ее график.

			27.2. y	1			4x.
27.1. y 3 x2		x.
								27.3. y	x x 2.
					x

										27.6. y
27.4.	у 4 x x.						27.5. y	x 1 x 1.
							27.8. y 3	x2 x.
27.7.	y 3 x x.									27.9. y
27.10.	y 2 x x 1.

3

3

x x.

x 1 x 1.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4

Интегралы ЗАДАЧА 28

Найти интеграл.

28.1.

2x 3

dx .

28.2.

1 3x

dx .

28.3.

x 2

dx .

5x

2

3

2x2

3

3 5x2

28.4.

5 2x

28.5.

2sin x 3

3

2ex

5

dx .

dx .

28.6.

exdx .

7

3x

2

cos

2

x

28.7.

5 3cos x

dx .

28.8.

x 2 x2

dx .

28.9.

e2 x 3ex

dx .

sin

2

x

1 x

4

e

2 x

3

28.10.

sin 2x sin x

dx .

1 cos

2

x

ЗАДАЧА 29

Найти интеграл.

29.1. xsin 2x dx .

29.2. x cos3x dx .

29.3. x 2 ex dx .

29.4. arcsin x dx .

29.5. arctg x dx .

29.6. x2 ln x dx .

29.7. 3 2x sin 3x dx .

29.8. x2 e x dx .

29.9. x arctg x dx .

29.10. x2 ln 1 x dx .

ЗАДАЧА 30

16

Найти интеграл.

x 3

30.1. x2 2x 5 dx .

30.4.

2 3x

dx .

x

2

4x 8

30.7.

1 5x

dx .

x2 2x

3

30.10.

x 2

dx .

x2 4x 3

Найти интеграл.

30.2.

1 2x

dx .

30.3.

3 4x

dx .

x2 4x

x2 6x

5

30.5.

3x 1

dx .

30.6.

2 x

dx .

4 x2

x2 8x 7

4x

30.8.

8x 7

dx .

30.9.

2x 1

dx .

2

x

10x 29

5 4x x2

ЗАДАЧА 31

31.1.				x4 4x2 x 2													dx .													31.2.	x4				x3 4x2 2x 2															dx .
							x			3			x																											x		3	2x
31.3.				2x3 2x2 8x 3															dx .											31.4.	x3				2x2 x 2									dx .
							x		2				x 6																						x		2		x				2
31.5.				2x4 26x3 4x 48																	dx .									31.6.	x3 1									dx .					31.7.									3x3 2								dx .
										x			3	16x																	x			2	x																			x		3		x
31.8.				3x3 1								dx .					31.9.							2x5					8x2 3				dx .										31.10.						x5		3x2 1										dx .
				x	2	1																					x		2	2x																					x	2		x
																												ЗАДАЧА 32
Вычислить интеграл.
4																	4													9															8
					dx																	x												3 x																	xdx
32.1.										.				32.2.											dx .					32.3.											dx . 32.4.																		.
1 1							x										0	1					x							0	1 3 x2														3 2								x					1
16						dx											26					dx								5					dx										196						dx
32.5.														. 32.6.														.		32.7.													. 32.8.															.
1					x 4								x				0		3	x 1							1			2	1							x 1							25 x 4 x
99						dx												25				dx
32.9.															. 32.10.											.
15				3				x						1					4			x 1
																												ЗАДАЧА 33
Вычислить интеграл.
33.1. sin2 x cos2 x dx .																	33.2. sin3												x cos2 x dx .										33.3. sin2 x cos3 x dx .
0																							0																				0

17

/4			/2
33.4. tg2 x dx .	33.5. cos4 x dx .	33.6. sin4 x dx .	33.7. ctg2 x dx .
0	0	0	/4
33.8. sin3 x cos3 x dx .	33.9. sin5 x dx .	33.10. cos5 x dx .
0	0	0

ЗАДАЧА 34

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

	y x 1 2 ; y x 3.			y x2 ; y 3x .
34.1.			34.2.		34.3. y x2 ;	y x .
34.4.	y x 1 2 ;	y 2x 5 .		34.5. y x 2 2 ;	y 5x 6.
34.6.	y x 1 2 ;	y 2x 5 .		34.7. y x 3 2 ;	y 3x 9 .
34.8.	y x 2 2 ;	y 4 .	34.9.	y 4x2 ; y x4 .	34.10. y x2 ;		y x 6.

ЗАДАЧА 35

Вычислить несобственные интегралы (или установить их расходимость).

			dx			dx						xdx
35.1.				.	35.2.				.	35.3. e x dx .	35.4.					.
		2	2x 2				2						2
1	x				e	x ln		x		0	0	x			1

dx

35.5.e x ln x .

dx

35.9.x 1 3 .1

			xdx					dx
35.6. xe x2 dx .	35.7.				.	35.8.			.
		4	x	2
0	1					e	2	x ln ln x

0dx

35.10.x2 2x 5 .

18