Информатика (метод. указ. к л.р

–в D20 вводите формулу =D19–D18 – вычитаем целую часть из результата,

–в E19 – формулу =b*D20, и скопируйте эту ячейку вправо до W19,

–скопируйте ячейку D18 вправо вплоть до W18,

–скопируйте ячейку D20 вправо вплоть до W20.

Если все сделано правильно, то цифры дробной части будут как на рис. 2. Теперь скройте строки 11, 12 и 19, 20. Выделите ячейки с исходными данны-

ми (K7, B10, B18), через меню формата ячеек снимите с них флажок «защищае- мая ячейка» и защитите лист, не задавая пароля. Лист готов к экспериментам и к решению задач. Сохраните файл.

3. Устройство листа «Сложение» – наиболее простое в данной работе. Перей- дите на этот лист. Разметив ячейки и диапазоны для ввода основания системы счисления, для ввода цифр слагаемых и отображения суммы слагаемых (как на рис. 3), введите в диапазон ячеек D12:AC12 формулы для вычисления перено- сов. Для этого введите в ячейку B8 число 8, а в ячейку AC12 – формулу =ЦЕЛОЕ((AC9+AC8+AD12)/$B$8). Смысл формулы в том, что когда сумма двух разрядов и переноса из предыдущего разряда будет больше основания сис- темы счисления, то сформируется перенос в следующий разряд. Скопируйте ячейку AC12 с формулой влево до ячейки D12.

Аналогично можно задать формулы для вычисления разрядов суммы. В ячей- ку AC10 занесите формулу =ОСТАТ(AD12+AC8+AC9;$B$8) – это часть той же суммы, остающаяся в данном разряде. Скопируйте эту ячейку влево до конца разрядной сетки.

Рис. 3. Примерный вид листа «Сложение»

Скройте строку 12. Введите цифры семеричных слагаемых как на рис. 3. Если вы не ошибались, то получится и соответствующая этому рисунку сумма.

На рис. 3 видно, что группа разрядов чисел «разделена» на листе на две части стрелками. Так можно условно отмечать положение разделительной запятой, ко- гда нужно интерпретировать суммирование как операцию над дробными числа- ми. Здесь, на рис. 3, сложены дробные числа из последнего варианта заданий к данной лабораторной работе (табл. 1).

20

Выделите ячейку B8 и, прижимая клавишу Ctrl, выделите одновременно с ячейкой диапазон D8:AC9. Снимите через меню формата флажок защиты выде- ленных ячеек, т. к. эти ячейки нужно оставить доступными для ввода данных после защиты всего листа. Защитите лист и сохраните файл.

4. Перед тем как выполнять индивидуальные варианты заданий, проведите предлагаемые ниже эксперименты и ответьте на поставленные вопросы.

4.1. Случай B>10. На листе «Из десятичной» введите для перевода число 1190,625 (т. е. N = 1190, Z = 0,625) и задайте основание системы счисления 16.

Полученное в результате автоматического перевода шестнадцатеричное число изображается так:

4 10 6 , 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Цифры этого числа записаны в виде их десятичных значений. В стандартах ин- форматики данное шестнадцатеричное число записывается в виде 4A6,A. Но,

поскольку в выполняемой работе основание B>10 может отличаться от 16 (оно может быть любым), то принятая нами запись цифр числа в виде их десятичных значений представляется достаточно удобной и универсальной.

Ответьте на вопросы. 1) Как представляется число 1190,62510 в двадцате-

ричной системе счисления? 2) Сколько значащих двадцатеричных цифр оно со- держит?

4.2.Задайте N = 0 и Z = 0,1. Переведите указанное так десятичное число 0,110

вдвоичную систему счисления (т. е. задайте B = 2). В двоичной записи получи- лась периодическая дробь (0,0001100110011...)2. Переведите десятичную дробь

0,110 в системы счисления с основаниями 2, ... ,9. Ответьте на следующие вопро- сы. 1) Почему дробь получается периодической? 2) В каких случаях дробь с ко- нечным числом цифр точно переводится в дробь с конечным числом цифр?

4.3. В предыдущем эксперименте, когда вы испытывали вариант B = 8, пери- од дроби представлял собой последовательность цифр 6314, однако в последних двух разрядах результата этот период сбился. Причина сбивки заключается в том, что компьютер использует двоичное внутреннее представление чисел и имеет ограниченную длину разрядной сетки; поэтому построенная нами «маши- на» для перевода чисел неизбежно округляет дроби во многих промежуточных операциях с ними. При точном переводе периодичность полученной дроби ни- где не нарушалась бы.

Вопрос: сколько неточных последних разрядов содержат результаты выпол- няемого «машиной» перевода десятичной дроби 0,110 в системы счисления с основаниями 1) B = 9; 2) B = 11; 3) B = 12?

4.4.Переведите в систему счисления с основанием 9 целое число 999999999 (задавая Z=0). В результате получится девятеричное число 2520607100, заканчи- вающееся двумя нулями.

Вопросы: 1) Можно ли было без осуществления перевода предсказать появ- ление в конце числа двух нулей? 2) Сколько нулей будет в конце его троичной записи?

4.5.В [1] утверждается, что шестнадцатеричное число делится на 15, если сумма его цифр делится на 15. Переведите в шестнадцатеричную запись целое

число N = 2595. 1) Чему равна сумма его цифр? 2) Подтверждается ли признак?

21

4.6.Проверьте следующий признак делимости на 7 числа, записанного в восьмеричной системе счисления: число делится на 7 тогда и только тогда, когда на 7 делится сумма его цифр. Переведите 651 в восьмеричную систему. Вопро- сы: 1) Какой получился результат перевода? 2) Выполняется ли упомянутый признак делимости на 7?

4.7.Перейдите на лист «В десятичную». Введите 2 в ячейку B8. Задайте для перевода из двоичной системы число 0,1. В результате автоматического перево- да в десятичную дробь получилась дробь 0,5 с конечным числом значащих цифр. Задайте для перевода любую другую двоичную дробь и посмотрите на ре- зультат. 1). Объясните, почему всегда получается дробь с конечным числом значащих цифр?

4.8.Перейдите на лист «Сложение». Удалите все цифры из диапазона слагае- мых. Не бойтесь нечаянно удалить содержимое ячеек суммы (в которых нахо- дятся формулы), ведь лист вы защитили. Выполните несколько сложений в дво- ичной системе счисления. Вопросы: 1) При каких условиях наш «сумматор» бу- дет работать неправильно из-за переполнения его разрядной сетки? 2) Какой вид имеет наибольшее значение правильно вычисляемой суммы в двоичной записи?

3)Какое это будет десятичное число?

4.9.С помощью всех трех листов выполните следующие действия:

–переведите число 2460,738 в десятичную систему счисления;

–переведите полученное десятичное число с помощью листа «Из десятич- ной» обратно в восьмеричную систему. 1). Получилось ли вновь исходное чис- ло?

4.10. Проведите эксперимент, на основе которого выполняются индивидуаль- ные задания к данной лабораторной работе. Суть эксперимента состоит в том,

что две заданных величины представляются и складываются сначала в одной (исходной) системе счисления, потом в другой, и результаты сравниваются. Тео- ретически они, разумеется, должны совпадать точно.

Переведите заданное целое число X7 = 24607 в десятичную систему счисле- ния, затем из десятичной – в пятеричную. В результате получается преобразова-

ние 24607 → 121445.

Переведите таким же способом число Y7 = 1337 в пятеричную систему. В ре- зультате получится преобразование 1337 → 2435.

На листе «Сложение» найдите сумму Z сначала семеричных представлений величин X и Y, а затем – их пятеричных представлений. Получается Z7 =X7+Y7 = = 26237, Z5 = X5+Y5 = 124425. Переведите эти два разных представления суммы Z в десятичное число с помощью листа «В десятичную». Итог: выполнение опе-

рации сложения в обеих системах счисления дает один и тот же результат 99710. Все выполненные действия описываются такой «программой»:

XB → XC ; YB → YC ; XB + YB = ZB → Z10 ; XC + YC = ZC → Z'10 ;

(1)

при этом в выполненном примере было задано основание исходной системы счисления B = 7 и основание дублирующей системы C = 5.

Ниже, в индивидуальных вариантах заданий, слагаемые не являются целыми числами. Поскольку при этом перевод и сложение чисел при выполнении «про-

22

Z'10

Z10 и

граммы» (1) осуществляются с ограниченным числом разрядов, то числа

могут точно и не совпасть. Разделительные стрелки на листе «Сложение» расположите приблизительно так же, как на рис.3. Если для записи целой части слагаемых или суммы окажется недостаточно места, сдвиньте стрелки на мини- мально необходимое число разрядов вправо. Для удобства перемещения стрелок их можно сгруппировать с помощью панели «Рисование».

Варианты заданий и требования к отчету

В отчете к лабораторной работе (см. файл ТИ_report4.doc) следует дать от- веты на все вопросы, приведенные в п. 4.1–4.9 (под номерами со скобками). Нужно также привести исходные данные XB, YB и результаты всех четырех ша-

гов «программы» (1), т. е. написать в отчете числа XC, YC, ZB, ZC, Z10, и Z'10 со всеми значащими цифрами, которые выдаются «машинами».

Приведенные в таблице типовые варианты заданий сгенерированы на Excel с помощью датчика случайных чисел. Генератор заданий имеется на четвертом листе файла-прототипа ТИ_proto4.xls. Для получения новых вариантов заданий достаточно открыть этот лист файла и нажать клавишу F9. Столбцы с избыточ- ными разрядами чисел можно скрывать.

	Варианты заданий к работе			Таблица 1
№	Основание B	Число XB	Число YB	Основание С
	исходной			дублирующей
варианта	системы			системы
1	2	100,0001	100,0111	7
2	2	010,0110	110,1001	9
3	6	432,1414	042,5220	2
4	2	110,0010	111,0110	9
5	9	315,5087	111,5834	2
6	9	073,4821	632,4888	3
7	3	020,1222	221,2020	5
8	16	B42,AB0B	65F,8903	2
9	16	8AB,3F7F	5DB,02D2	4
10	8	452,0632	123,0016	6
11	16	30D,4A89	AAD,DC1E	7
12	2	100,1010	010,0010	7
13	6	300,0414	545,2315	16
14	9	772,4022	706,1470	4
15	8	141,0246	435,3044	2
16	9	855,8063	661,1871	7
17	7	431,0632	222,1003	4
18	6	125,3320	431,1235	5
19	6	012,4012	001,4020	9
20	7	234,5646	563,3034	2
		23

Лабораторная работа 5

МОДЕЛИРОВАНИЕ СУММАТОРОВ ЭВМ

Цель работы: моделирование сумматоров ЭВМ средствами Excel.

Содержание работы

1.Построение модели полусумматора и ее тестирование.

2.Построение модели одноразрядного сумматора и ее тестирование.

3.Моделирование многоразрядного комбинационного сумматора.

4.Моделирование накапливающего сумматора.

5.Проведение экспериментов с моделями и решение задач.

Пояснения к выполнению работы

Создайте в вашей папке книгу «Сумматоры» и откройте ее. Три листа книги переименуйте: напишите на их ярлычках «Полусумматор», «Сумматор» и «Мно- горазрядный сумматор» соответственно. На всех трех листах установите ширину всех столбцов примерно равной ширине строк, как это было сделано в преды- дущей лабораторной работе. Перейдите на лист «Полусумматор».

1. На листе «Полусумматор» изобразите схему полусумматора (рис. 4) с входными переменными ai, bi (двоичные разряды слагаемых) и выходными пе- ременными Si, Pi (сумма и перенос в следующий разряд, соответственно).

Рис. 4. Примерный вид листа «Полусумматор»

Полусумматор не имеет входа для сигнала переноса из предыдущего разряда. Для рисования схемы на листе следует использовать инструменты панели «Ри- сование». Обозначения двоичных входов и выходов просто введите в клетки возле стрелок. Подпишите рисунок.

Выделите неподалеку от схематического изображения полусумматора четыре ячейки путем форматирования границ и обозначьте назначение ячеек буквами, как на рис. 4. В нижнюю пару клеток (у нас это ячейки W9 и W10) будем вво- дить значения 0 или 1 разрядов слагаемых, в верхнюю пару клеток (W5 и W6)

нужно ввести формулы, по которым будут вычисляться сумма Si и перенос Pi. Лист размечен для создания и тестирования модели полусумматора.

24

Начнем создавать формулы. Выделите мышкой клеточку, предназначенную для суммы Si, и введите формулу для вычисления суммы. Существует бесконеч- но много подходящих формул, с помощью которых сумма Si может быть вычис- лена правильно. Поскольку в нашей модели требуется лишь воспроизвести функцию полусумматора на уровне его входов и выходов, то нам следует вы- брать такие подходящие формулы, которые не слишком сложно задаются в Excel. Сумма Si определяется как «сумма по модулю два» чисел ai и bi, т. е. как ос- таток от деления ai + bi на два. Поэтому в клетку для суммы Si введем формулу =ОСТАТ(W9+W10;2). Для вычисления переноса Pi в клетку W6 введем форму-

лу =W9*W10.

Протестируйте правильность построенной модели полусумматора, задавая поочередно все четыре возможные пары значений в клетках для двоичных раз-

рядов ai и bi. Во всех ли случаях сумма Si и перенос Pi вычисляются правильно? Если нет, найдите и исправьте ваши ошибки. Если да, сохраните проделанную часть работы и приступайте ко второй ее части – моделированию сумматора.

2. Скопируйте лист «Полусумматор» на лист «Сумматор». Дорисуйте на лис- те «Сумматор» к имеющемуся схематическому изображению полусумматора

стрелку справа, изображающую перенос из предыдущего, (i – 1)-го разряда сум- мы (рис. 5) и скорректируйте подпись под изображением. Добавьте в колонке четырех клеток для ai, bi, Si, Pi еще клетку для Pi – 1, в которую будем заносить значение «переноса из предыдущего разряда» суммы, и запишите в эту клетку 0 или 1. На рис. 5 этой клеткой оказалась ячейка W12.

Лист размечен для моделирования сумматора.

Рис.5. Примерный вид листа «Сумматор»

Поскольку теперь выходные величины Si и Pi должны формироваться с уче- том трех слагаемых (ai, bi и Pi – 1), то формулы для расчета выходов нужно по- править. В формулу для определения суммы Si нужно добавить слагаемое W12, т. е. теперь в ячейку W5 запишите формулу =ОСТАТ(W9+W10+W12;2). Сле- дует также исправить расчет выходного сигнала переноса Pi, поэтому формулу в ячейке W6 приведите к виду =ЕСЛИ(W9+W10+W12>1;1;0). По этой формуле

25

при выполнении условия ai + bi + Pi – 1 > 1 будет получен результат 1 (перенос равен 1), в противном случае – 0. Модель сумматора построена.

Протестируйте модель. Для этого введите поочередно все восемь возможных наборов значений входных переменных сумматора.

3. Скопируйте лист «Сумматор» на лист «Многоразрядный сумматор». На этом последнем листе содержимое диапазона V5:W12 переместите (или вы- режьте и вставьте) в нижнюю левую часть экрана (A12:B19). Текст под схемой сумматора удалите. Используя операции копирования, дорисуйте ее до схемы многоразрядного сумматора (рис. 6). Как видно из этой схемы, любой разряд многоразрядного сумматора реализуется путем соединения входа переноса сум- матора этого разряда с выходом переноса сумматора младшего разряда. При

этом вход переноса сумматора у самого младшего разряда тождественно равен нулю. Сгруппируйте рисунок.

Подготовим соответствующее рисунку объединение моделей одноразрядного сумматора, чтобы оно происходило автоматически при копировании модели од- ного разряда. В ячейку B19, где ранее полагалось вводить значение переноса, теперь запишем формулу =C13. Таким образом, теперь к диапазону B12:B19 мы можем справа добавить его копию (т. е. модель сумматора предыдущего разря- да), и тогда в клетке C13 окажется перенос из предыдущего разряда. Мы можем теперь накопировать вправо столько разрядов, сколько захотим, и так получить модель многоразрядного сумматора с нужным нам числом разрядов. Это анало- гично тому, как происходит аппаратная сборка многоразрядных сумматоров.

Итак, выполним копирование. Выделим диапазон ячеек B12:B19. Взявшись левой кнопкой мыши за маркер заполнения диапазона, протянем его вправо до колонки AG включительно. Мы получили модель 32-разрядного сумматора. Примерный вид листа, который получается в конце работы, приведен на рис. 6.

Рис. 6. Примерный вид листа «Многоразрядный сумматор» в конце работы

Заметьте, что в строке 19, в последней клетке входных переносов (справа), формула ссылается на пустую клетку, т. е. ее значение всегда будет 0, как и должно быть. В эту пустую клетку записывать ничего не будем.

26

Протестируйте модель, заполнив все разряды слагаемых ai и bi нулями (для этого удобно использовать копирование или удаление), кроме двух-трех млад- ших разрядов, куда запишите единицы.

Если сумматор работает правильно, перейдем к подготовке экспериментов. Для этого одну из колонок в правой части экрана, например колонку AL,

расширьте; туда будем помещать десятичные отображения слагаемых и суммы. Если теперь не все используемые ячейки одновременно помещаются на экране, измените немного масштаб. Чтобы было лучше видно, из какого именно «реги- стра» двоичное число отобразится в его десятичное значение, покажите это го- ризонтальными стрелками. Для осуществления автоматического перевода дво- ичных чисел в десятичные задайте в строке 20 веса всех двоичных разрядов. Для этого в клетку AG20 запишите 1, в клетку AF20 введите формулу =2*AG20, и эту формулу скопируйте влево до конца «регистров».

Теперь в ячейку AL12 для преобразования двоичной суммы в десятичную форму введите =СУММПРОИЗВ($B$20:$AG$20;B12:AG12). После ввода фор- мулы в ячейке появилось десятичное значение двоичной суммы. Скопируйте ячейку AL12 в ячейки AL16 и AL17. В них появились десятичные представле- ния двоичных слагаемых. В ячейку AL11 запишите =AL16+AL17. Здесь в целях контроля нашей модели двоичного сумматора будет дублироваться расчет сум- мы слагаемых a и b без сумматора. Эту проверочную сумму в ячейке AL11 по- красьте, например, красным цветом. Задайте выравнивание столбца AL по пра- вому краю, чтобы в нем было легче сопоставлять многоразрядные числа.

Кроме того, в ячейку B11, которая будет индикатором переполнения, впиши- те формулу =B13 (индикатором переполнения является единица переноса на вы- ходе старшего разряда сумматора). «Свечение» индикатора можно сделать более выразительным с помощью условного форматирования. Сделайте это так. Выде-

лив ячейку B11, войдите в меню Формат/Условное форматирование. В от-

крывшемся диалоговом окне первую опцию (значение) оставьте без изменения,

во второй опции выберите из списка вариант равно и в оставшемся третьем микроокне введите число 1. После этого с помощью кнопки «Формат...» диало-

гового окна на вкладке Шрифт выберите полужирное начертание и красный цвет шрифта. Когда вы подтвердите свой выбор нажатием кнопки ОК, то в диа- логовом окне будет показано, какой вид примет форматируемая ячейка. Можно добавить еще условие для случая нулевого значения в ячейке, чтобы оно отобра- жалось зеленым цветом. После добавления этого условия подтвердите сделан- ные настройки условного формата.

Проверьте, правильно ли работает индикатор, задавая слагаемые соответст- вующим образом. В случае переполнения индикатор выдаст красную единицу, а сумма, вычисляемая сумматором (отображенная в ячейке AL12), не будет сов- падать с красной проверочной суммой.

Чтобы построенная модель выглядела более компактно, скройте строку 13, а также строки 18–20, как это делалось в предыдущей лабораторной работе. На- пишите в ячейке над красной проверочной суммой слово «Проверка».

Модель готова для опытов (рис. 6). Снимите флажок защиты с ячеек, обра- зующих разряды слагаемых, и защитите лист. Щелкните кнопку «сохранить

27

файл». Можно приступать к экспериментам.

Сумматор складывает сейчас целые числа без знака. Переполнение возника- ет, когда сумма превосходит величину 232 – 1 = 4294967296. Складывать числа со знаком (и вычитать) он не умеет.

Протестируйте сумматор, задавая различные наборы единиц и нулей в разря- дах слагаемых и сравнивая в столбце AL сумму, вычисляемую сумматором, с проверочной красной суммой. Обращайте внимание на индикатор переполне- ния.

Наш сумматор – комбинационный, т. е. без памяти. Когда мы изменяем сла- гаемые, он не сохраняет предыдущую сумму. В арифметико-логических устрой- ствах ЭВМ применяются накапливающие сумматоры, называемые также акку- муляторами, или накапливающими регистрами. Обычно центральный процес- сор ЭВМ имеет несколько таких регистров.

4. Превратим теперь комбинационный сумматор в накапливающий. План дальнейших действий состоит в том, чтобы регистр числа b использовать для хранения накопленной суммы (скрыв его). Тогда все слагаемые, добавляемые к накопленной сумме, будут подаваться на сумматор только через регистр a.

Однако существующий лист в том виде, какой он имеет сейчас, удобен для начала следующей лабораторной работы. В связи с этим вносить в него даль- нейшие изменения нежелательно. Поэтому добавьте в книгу еще один лист, на- зовите его «Накапливающий сумматор» и скопируйте в него лист «Многораз- рядный сумматор».

Если вы скопировали защищенный лист, то видите, что новый лист стал не- защищенным, но в него со старого листа не перенеслись рисунки. Потому перед копированием листа следует снять его защиту (а после копирования установить вновь).

На новом листе будем строить модель накапливающего сумматора. Проще всего это можно осуществить с помощью макросов.

Макрос, вызываемый комбинацией клавиш Ctrl-z, создадим для «сброса» ре- гистра b, т. е. для принудительной записи нуля вместо хранимого значения суммы.

Создадим этот макрос. Посредством меню Сервис/Макрос/начать запись… вызовем нужное диалоговое окно, укажем в нем сочетание клавиш Сtrl-z, под- твердим это (OK), и аккуратно произведем следующие действия, которые будут автоматически преобразованы в команды макроса:

–введем 0 в клетку B17;

–скопируем B17 во все разряды регистра b;

–остановим запись макроса.

Макрос создан.

Внимание! Нажимать Ctrl-z нужно при включенной английской раскладке клавиатуры. При русской раскладке вместо Ctrl-z может получиться Ctrl-я, и то- гда выполнится не наш макрос, а что-нибудь другое; например, может просто отмениться последнее ваше действие (выполнится шаг назад).

Проверьте работу макроса, вызывая его нажатием Ctrl-z, и добейтесь, чтобы макрос работал правильно. При необходимости повторяйте создание макроса заново до тех пор, пока вы не научитесь делать это без ошибок, т. к. умение соз-

28

давать макросы без программирования весьма полезно. При нажатии Ctrl-z регистр числа b заполняется нулями.

Создадим второй макрос, для вызова которого назначим сочетание клавиш Сtrl-s, и который будет вычислять сумму регистра a с регистром b (предназна- ченным для хранения накопленной суммы), а затем записывать полученный ре- зультат вновь в регистр b. Вызовите через меню Сервис запись макроса, и в хо- де записи выполните в точности следующее:

–выделите диапазон B12:AG12 разрядов сумматора S;

–скопируйте его (в буфер);

–щелкните по ячейке B17 правой клавишей мыши и выберите в открывшем- ся контекстном меню опцию Специальная вставка…;

–в группе альтернатив вставить выберите пункт значение;

–подтвердите выбор;

–остановите запись макроса.

Убедитесь, что макрос работает правильно. Для этого запишите, например, в регистр a число 1, в регистр b с помощью клавиш Ctrl-z запишите 0, и нажмите несколько раз Сtrl-s. В регистр b после каждого такого нажатия должна добав- ляться единица из регистра a.

Теперь скройте строки с 12-й по 15-ю.

Удалите содержимое ячеек AL10 и AL11, которые показывают ненужное нам значение в комбинационном сумматоре S.

Снимите перед защитой листа флажок защиты с ячеек регистров a и b, т. к. первый из них должен быть доступен для ввода слагаемых, а второй можно бу- дет устанавливать принудительно (прямым вводом значений разрядов) вообще в любое начальное состояние. Кроме того, он должен быть доступен для записи

нашим макросам. Если мы регистр b защитим, то макросы не смогут выполнять свою работу.

Напишите на листе краткую инструкцию о макросах, например, как на рис. 7.

Рис. 7. Лист «Накапливающий сумматор»

Защитите лист без пароля. Обратите внимание, что индикатор переноса ока- зался в нужном месте и по-прежнему выполняет свое назначение, только теперь с упреждением: он становится красным перед выполнением сложения, которое

29