Абанина Д.А., Коршикова Т.И.-Выпуклые функции

Поскольку x è y представляют собой суммы 2m слагаемых, то, применяя пред- положение индукции, получаем, что

f	2m		+ f	2m		≤	2m f(x1) + . . . + f(x2m)		+	2m f(x2m+1) + . . . + f(x2m+1 ) .
		x			y		1			1

Объединяя две последние оценки, заключаем, что

f		1	+ 2m+1 2		! ≤ 2m+1 f(x1) + . . . + f(x2m+1 ) .
	x		. . . + x	m+1	1

2) Если теперь n = 2m, то возьмем			m	N	так, чтобы 2m−1		< n < 2m.
6
Обозначим x :=	x1 + . . . + xn	. Тогда x1 + . . . + xn = nx è
	n
x1 + . . . + xn + (2m − n)x			=	nx + (2m − n)x		= x ,
	2m				2m

причем числитель x1 +. . .+xn +(2m −n)x рассматриваемой дроби представляет собой сумму 2m слагаемых (x1, . . . , xn è (2m − n) слагаемых, равных x). По пункту 1)

f(x) = f	x	1	+ . . . + xn + (2m	−	n)x	! ≤	1	f(x1)+. . .+f(xn)+(2m −n)f(x) .
			2m				2m

Следовательно,

nf(x) ≤ f(x1) + . . . + f(xn) ,

что и требовалось доказать.

Теорема 5.3. Пусть функция f непрерывна на (α, β). Следующие утверждения эквивалентны:

(i)f выпукла на (α, β);

(ii)f выпукла по Иенсену на (α, β).

Доказательство. В доказательстве нуждается лишь импликация

(ii) (i).

Зафиксируем

произвольные

x, y (α, β)

è

λ [0, 1]

. Возможны два случая.

m

1) λ Q. Тогда λ =

, ãäå m N0, n N, m ≤ n, è

n

f λx + (1

λ)y = f

m

x +

n − m

y = f

mx + (n − m)y

.

−

n

n

n

	Числитель дроби	mx + (n − m)y	можно представить в виде суммы n слагаемых
		n

(m слагаемых, равных x, è (n − m) слагаемых, равных y). Поэтому, применяя

21

теорему 5.2, имеем

f mx + (n − m)y ≤ 1 mf(x) + (n − m)f(y) = λf(x) + (1 − λ)f(y) . n n

2) λ / Q. По свойству плотности рациональных чисел во множестве дей-
λn → λ ïðè n → ∞. По пункту 1)			{λn}n∞=1 такая, что λn QT[0, 1]
ствительных, найдется последовательность				è
Переходя в			, учитывая непрерывность
	f λnx + (1 − λn)y ≤ λnf(x) + (1 − λn)f(y) , n N .

этом неравенстве к пределу при n → +∞ функции f, получаем, что

f λx + (1 − λ)y ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y) .

Из пунктов 1) и 2) вытекает, что f выпукла на (α, β).

Заметим еще, что, как известно ([1, Гл.I, 4, упр.10] и [4, с.119]), для непрерывности выпуклой по Иенсену на (α, β) функции достаточно, чтобы f была

измерима на (α, β) или чтобы f была ограничена сверху хотя бы на одном интервале, содержащемся в (α, β). Следовательно, для классов измеримых на

интервале функций, а также функций, ограниченных сверху в окрестности хотя бы одной точки, понятия выпуклости и выпуклости по Иенсену совпадают.

Приведем пример использования теоремы 5.3.

Задача 5.4. Показать, что если функция f не убывает на [a, b), то функ-

öèÿ F (x) :=	Ra	f(t) dt выпукла на [a, b).
	x

Решение. Заметим сразу, что по свойствам интеграла с переменным верхним пределом функция F непрерывна на [a, b). Покажем, что F выпукла по Иенсе-

íó íà [a, b). Зафиксируем x, y (a, b), x < y. Обозначим c :=		x +	y	. Имеем
		2
A := F (x) + F (y) − 2F (c) =	Zc y f(t) dt − Zxc f(t) dt.
= Zax f(t) dt + Zay f(t) dt − 2 Zac f(t) dt =

Òàê êàê f не убывает на [a, b), òî

Z y

f(t) dt ≥ f(c)(y − c) = f(c)

c

Z c

f(t) dt ≤ f(c)(c − x) = f(c)

x

y − x ,

2

y − x .

2

22

Значит, A ≥ 0, òî åñòü F (c) ≤ F (x) + F (y) .

2

Применяя теорему 5.3, заключаем, что F выпукла на (a, b). А поскольку F непрерывна в точке a, òî F выпукла на [a, b).

6. Выпуклые функции и определенный интеграл. Доказательство неравенств

Для определенных интегралов от выпуклых функций из геометрических соображений, а также на основании свойств выпуклых функций можно получить ряд простых оценок.

Теорема 6.1. Если функция f выпукла и непрерывна на отрезке [a, b], то

f	2	(b − a) ≤ Za	f(x) dx ≤	2	(b − a),
	a + b		b	f(a) + f(b)

причем равенства имеют место тогда и только тогда, когда f аффинная функция.

f(a) + f(b)

Доказательство. Правое неравенство очевидно, поскольку 2 (b−a) это площадь трапеции ABCD.

y

6

C

f(b)

y = f(x)

f(a)

D

C1

D1

A

B

-

0

a

a + b

b

x

2

Ðèñ. 3

Докажем левое неравенство. Так как f выпукла на [a, b], то по критерию выпуклости через линейные миноранты (теорема 4.3) существует линейная функ-

23

1 1	y =			+		a + b			f
öèÿ g(x) = λx+µ такая, что g	a + b		= f				è g(x) ≤ f(x) íà [a, b]. Следо-
		2				2
вательно, отрезок C D прямой			λx		µ полностью лежит не выше				2	, òàê ÷òî
площадь трапеции ABC1D1 не больше a f(x)dx. Íî SABC1D1 = f										(b−a).
				R
				b				a + b

Таким образом, левое неравенство доказано. Геометрически понятно также, что равенства будут выполняться в том и только в том случае, когда f аффинная функция.

Совершенно аналогично, разбив отрезок [a, b] íà n равных или не равных

частей точками a = x0 < x1 < . . . < xn = b, можно получить ряд более общих неравенств.

y

6

y = f(x)

				-
0 a = x0 x1		x2	xn−1 b = xn	x
	Ðèñ. 4

Теорема 6.2. Пусть функция f выпукла и непрерывна на отрезке [a, b],

a = x0 < x1 < . . . < xn = b. Тогда

X

X

n−1

xk + xk+1

(xk+1 − xk) ≤ Za

b

n−1

f(xk) + f(xk+1)

k=0 f

2

f(x) dx ≤ k=0

2

(xk+1 − xk)

и, в частности, если xk = a + k ·

b − a

, k = 0, 1, . . . , n, òî

n

X

2k + 1

b − a

n−1 f a +

·

b − a

b f(x) dx

≤

n

k=0

2

n

≤ Za

k=1

· n

≤

n

2

X

b − a

f(a) + f(b)

n−1

b − a

+

f a + k

.

24

При этом равенства выполняются в том и только в том случае, когда f аффинная функция.

Доказательство аналогично. На рисунке 4 проиллюстрирована правая оценка. Рассматриваемая сумма это сумма площадей полученных "поглощающих"трапеций.

Приведем несколько примеров использования теорем 6.1 и 6.2.

Пример 6.3. Доказать неравенства:

à) ln		b	> 2	b − a			, 0 < a < b ;
		a		b + a
á)	1 + cos x				<	sin x		, 0 < x <	π	.
	2								2
							x

Решение. а) Применив теорему 6.1 к выпуклой на (0, +∞) функции f(x) =

1

,

x

получим, что

a + b (b − a) <

Za

x

= lna ,

2

b dx

b

что и требовалось доказать.

0,

2

имеем

в теореме 6.1 правого неравенства для любого x

б) Так как функция f(x) = − cos x выпукла на

0, π2

π

, то в силу доказанного

− Z0

x

cos 0 + cos x

cos t dt < −

x ,

2

òî åñòü

1 + cos x

− sin x < −

x ,

откуда следует нужное.

2

Пример 6.4. Доказать, что при всех n ≥ 2 имеет место неравенство

√

+ √

√

√

+ . . . + √

3

<

4 n

+ 3 n − 1

.

1

2

n

6

√

Решение. Рассмотрим вогнутую функцию f(x) =

на отрезке [1, n]. Ðàçî-

x

бьем этот отрезок на n − 1 равных частей точками 1, 2, . . . , n. Выпишем аналог

правого неравенства, установленного в теореме 6.2, для вогнутых функций

n

1 + √

√

+ √

√

√

2

3

n

1 +

n

Z1

√x dx >

+

2

+ . . . +

−

.

2

2

2

Следовательно,

√

√

√

√

√

2

1

n

3

( n

− 1) > ( 1 + 2 + . . . + n) −

−

,

3

2

2

25

√

+ √

√

√

+ . . . + √

3

<

4 n

+ 3 n − 4 + 3

.

1

2

n

6

После изучения данного параграфа рекомендуется решить задачи 20-21.

Задачи

1. Доказать по определению, что

а) функция f(x) = |x| выпукла на R;

б) функция f(x) = x1 выпукла на (0, +∞).

2. Доказать, что выпуклая на интервале (α, β) функция f, отличная от тож-

дественной постоянной, не может достигать на этом интервале своего наибольшего значения.

3. Пусть ϕ : (α, β) → (α1, β1), f : (α1, β1) → R. Доказать, что f ◦ϕ выпукла на (α, β) для любой выпуклой на (α1, β1) функции f тогда и только тогда, когда ϕ аффинная функция, то есть когда ϕ(t) = at + b. Как следствие, если f выпукла на R, òî f(ax + b) выпукла на R ïðè âñåõ a, b R.

4*. Пусть ϕ : (α, β) → (α1, β1), f : (α1, β1) → R, (α, β) è (α1, β1) конечные интервалы в R. Доказать, что если f ◦ϕ выпукла на (α, β) для любой выпуклой

íà (α, β) функции ϕ, òî f выпукла и не убывает на (α1, β1).

Указание: для доказательства неубывания функции f в случае, когда (α, β) [−1, 1], использовать функцию ϕ(t) = x1 + (x2 − x1)|t|, t (α, β).

5.Привести пример выпуклых на (α, β) функций f1 è f2 таких, что f(x) = min{f1(x), f2(x)} не является выпуклой на (α, β).

6.Привести пример функциональной последовательности {fk(x)}, состоящей

из выпуклых на (α, β) функций, и такой, что lim fk(x) R ïðè âñåõ x (α, β),

k→+∞

íî ïðè ýòîì f(x) = lim fk(x) не является выпуклой на (α, β).

k→+∞

7. Доказать, что если функция f выпукла на R и отлична от тождествен-

ной постоянной, то хотя бы один из пределов	xlim f(x) равен +∞. Привести
	→±∞

примеры, когда оба они равны +∞ и когда только один из них равен +∞.

8. 1) Доказать, что если функция f выпукла на конечном интервале (α, β), то она ограничена снизу на нем. 2) Можно ли утверждать, что f ограничена сверху на (α, β)? 3) Показать, что условие конечности интервала существенно для справедливости результата.

9. Пусть f : [α, β] → R. Доказать, что следующие утверждения эквивалент-

26

íû:

(i)f выпукла на [α, β];

(ii)f выпукла на (α, β) è f(α + 0) ≤ f(α), f(β − 0) ≤ f(β).

10. Доказать, что если f выпукла на (α, +∞), òî

1)

lim

f(x)

=

lim

f0

(x) =: k ;

x→+∞ x

x→+∞

±

2)

åñëè

lim f(x) = +

, òî k > 0.

x→+∞

∞

≥

−

xf0

11. Пусть f выпукла на (α, β), α

0. Доказать, что функция f(x)

(x)

+

("отнесенная к началу"правая полукасательная) не возрастает на

(α, β).

12*. Пусть f выпукла на

α,

, α

, è lim

f

x

xf

x

)

b

.

Доказать, что

(

+∞)

≥ 0

x→+∞

(

) −

+0 (

=

R

1)

lim

f(x)

= k

R

;

x

→

+

∞

x

2) прямая y = kx + b является асимптотой f ïðè x → +∞ и лежит не выше

f íà (α, +∞).

13.	Показать, что функция x arctg x выпукла на R, и доказать неравенство:
	(x + y) arctg		x + y			≤ x arctg x + y arctg y , x, y R.
				2
14.	Доказать неравенства:				x+y2			, x, y > 0 , n N ;
	à)	x 2	y	≥
		xn + yn				x + y		n

á) e + e ≥ 2e 2 , x, y R.

15. Доказать, что если функция f дважды дифференцируема и положительна на (α, β), то f1 выпукла на (α, β) тогда и только тогда, когда f f00 −2(f0)2 ≤ 0 íà (α, β).

16.Верно ли, что если функция выпукла на (α, β) и (β, γ) и непрерывна в точке β, то f выпукла на (α, γ)?

17.При предположениях задачи 16 установить необходимое и достаточное условие того, что f выпукла на (α, γ).

18.Пусть функции f è g положительны и выпуклы на (α, γ) и пусть су-

ществует β (α, γ) такое, что на (α, β) и (β, γ) функции f и g изменяются в одинаковых направлениях (то есть на каждом из интервалов (α, β) и (β, γ) f и g одновременно не убывают или не возрастают). Доказать, что произведение

27

f · g выпукло на (α, γ).

19*. Пусть f выпукла и ограничена на конечном интервале (α, β). Доказать, что существует последовательность {fk(x)} такая, что

функции fk выпуклы и дважды дифференцируемы на (α, β) ; fk+1(x) ≤ fk(x) , x (α, β) ;

{fk(x)} сходится равномерно на (α, β) ê f(x).

Указание: сначала построить нужную последовательность для f(x) = |x| íà (−1, 1), затем произвольную функцию f приблизить линейной комбинацией функций вида |x − a| (коэффициенты при них неотрицательны) и некоторой линейной функции.

20.	Доказать, что
	ea + eb		>	eb − ea	, 0 < a < b .
		2		b − a
21.	Доказать, что ln n! < n + 21 ln n − n + 1 ïðè âñåõ n ≥ 2.

28

Литература

1.Бурбаки, Н. Функции действительного переменного [Текст]: монография. - М.: Наука, 1965. - 424с.

2.Лейхтвейс, К. Выпуклые множества [Текст]: монография. - М.: Наука, 1985. - 335с.

3.Тихомиров, В.М. Выпуклый анализ. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления [Текст]: монография. - М.: ВИНИТИ, 1987. - Ñ.5-101.

4.Харди, Г.Г. Неравенства [Текст]: монография / Г.Г. Харди, Дж.Е. Литтльвуд и Г.М. Полиа. - М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1948. - 455с.

5.Хейман, У. Субгармонические функции [Текст]: монография / У. Хейман,

Ï.Кеннеди. - М.: Мир, 1980. - 304с.

6.H¨ormander, L. Notions of convexity [Текст]: монография. - Boston: Birkh ¨auser,

1994. - 416p.

	Содержание
Введение ............................................................................................................		3
1.	Выпуклые множества ...................................................................................	3
2.	Определение и простейшие свойства выпуклых функций .........................	5
3.	Дифференциальные свойства выпуклой функции действительной
	переменной ....................................................................................................	9
4.	Критерии выпуклости функции действительной переменной ..................	16
5.	Выпуклые по Иенсену функции .................................................................	20
6.	Выпуклые функции и определенный интеграл. Доказательство
	неравенств ...................................................................................................	23
Задачи ..............................................................................................................		26
Литература ......................................................................................................		29

29