Ляшков-Нач_гем

кости Σ12, Σ22, …, Σ52. На рис. 12.5 показаны наглядные изображения результа-

тов пересечения плоскостями тел, ограниченных конической поверхностью вра- щения.

В результате пересечения конуса плоскостью, перпендикулярной оси конуса, получается окружность (рис. 12.4, а).

				Σ24	Σ25
s2	s2	Σ22	s2 Σ23	s2	s2
	Σ1
	2
i2		i2	i2	i2	i2
а)	б)		в)	г)	д)

Рис. 12.4

Эллипс получается в том случае, если секущая плоскость пересекает все обра- зующие поверхности и не перпендикулярна оси i (рис. 12.4, б).

Плоскость Σ32 параллельна одной образующей поверхности и пересекает

одну половину конической поверхности. Сечением является парабола (рис. 12.4,

в).

Плоскость Σ42 параллельна двум образующим и пересекает обе половины конической поверхности (сечение – гипербола) (рис. 12.4, г).

Плоскость Σ52 проходит через вершину конической поверхности (сечение – две пересекающиеся прямые) (рис. 12.4, д).

а)	б)	в)	г)	д)
			Рис. 12.5

71

12.3. Пересечение линии и поверхности.
Линия и поверхность пере-			Q
секаются в общем случае в не-
скольких точках А, В, … . Алго-
ритм их определения может
быть построен на тех же рассу-					B
ждениях, что и при построении
точки пересечения прямой и					n
плоскости. Действительно, точ-		S
ки Α, Β, … пересечения линии			m	A
m и поверхности Θ принадлежат
также линиям, проходящим че-
рез эти точки и лежащим на за-
данной поверхности. Кривую n
можно рассматривать как про-
екцию линии m на поверхность
Θ. Тогда, в случае параллельно-
го проецирования, линии n и m				Рис. 12.6
будут располагаться на одной
цилиндрической поверхности, у которой направляющей является кривая m, а об-
разующие параллельны направлению проецирования. В случае если линия пря-
мая, то n и m находятся в од-
ной плоскости Σ (рис. 12.6).					82	m2=S2
Если направление проециро-				62=7
вания будет перпендикулярно		32=42			2
какой-либо плоскости проек-	12			n2	B2
ций, линии n и m будут конку-		22=3
рирующими относительно со-	A2		2
ответствующей плоскости
проекций.
Пример 1. Даны прямая m
и тор. Построить точки пере-		21		61
сечения прямой и поверхно-						m1
сти. (рис. 12.7)			41		B1 81
Решение.	11
1. Выбираем на заданной					n1
поверхности линию n, напри-	A1		51
мер, фронтально конкурирую-		31		71
щую с заданной прямой m.
Линии n и m пересекаются, т.к.			Рис. 12.7
они находятся в одной фрон-
тально-проецирую-щей плоскости.
2. Определяем горизонтальную проекцию линии n (n1), исходя из условия
принадлежности ее поверхности.

72

3. Находим точки A и B пересечения линий n и m, которые и являются иско-

мыми.

52

n2 =m2

4. Устанавливаем

види-

a2

32

42

мость проекций прямой. Так,

22

как участок AB прямой m, рас-

12

A2

положен внутри поверхности,

то он невидим на P1 и P2. Кро-

ме этого, на P2 невидим отре-

b2

Σ2

зок прямой m правее точки B2

до точки на очерке поверхно-

11

сти, а на P1 – левее точки 51,

b1

также до точки на очерке по-

21

верхности. Эти отрезки закры-

ты поверхностью – находятся

A1

за контурами поверхности.

31

5

n1

Пример 2. Даны кривая n

4

1

и цилиндроид G(a, b,

S) (рис.

1

m1

12.8). Построить точки пере-

a1

сечения линии и поверхности.

Решение.

Рис. 12.8

1. На поверхности цилинд-

S2

роида вводим кривую m, фронтально

конкурирующую с линией n. Эти

кривые пересекаются (в общем слу-

n2

чае), т.к. расположены на одной

A2

фронтально проецирующей цилинд-

2

рической поверхности, у

которой

m2

линия n – направляющая, а обра-

B2

52

1

зующие перпендикулярны P2.

m2

12

2. Строим горизонтальную про-

4

3

2

екцию кривой m(m1) (mÌG).

2

n1

2

2

S1

3. Находим горизонтальную про-

A1

екцию точки A(A1) - A1 = n1 Ç m1, а

41

m11

B1

затем и A2(A2 Ì n2).

2

Пример 3. Даны прямая n и ко-

51

m1

ническая поверхность (рис. 12.9).

31

Построить точки пересечения линии

21

и поверхности.

11

Решение. Поставленную задачу

Рис. 12.9

также можно решить, задав на кони-

ческой поверхности линию m, кон-

курирующую с прямой n относи-

тельно плоскости проекций P1 или P2. Полученные кривые будут лекальные, что

требует значительных построений и снижает точность решения задачи. Так как

73

Рис. 12.10

заданная поверхность линейчатая, то в качестве линии m на поверхности целесо- образно взять прямую (или прямые). Тогда алгоритм решения задачи будет сле- дующим:

1. Спроецируем из точки S прямую n на плоскость Π1, т.е. определим цен- тральную проекцию прямой n на плоскость Π1. Для этого проводим два проеци- рующих луча через точки 1 и 5 прямой до пересечения с плоскостью проекций Π1. Точки 1 и 2 задают центральную проекцию прямой n на Π1.

2.Строим образующие m1 и m2 на конической поверхности, конкурирующие

сn относительно П1 при ее центральном проецировании.

3.Находим точки Α и Β пересечения прямой n с образующими m1 и m2. Точки Α и Β – искомые.

4.Устанавливаем видимость проекций прямой n.

12.4. Пересечение поверхностей

Линия пересечения двух поверхностей представляет собой в общем случае пространственную кривую. Любая точка этой линии принадлежит как первой, так и второй поверхностям и может быть определена в пересечении линий, про-

веденных на этих поверхностях. Тогда имеем		следующие варианты решения
данной задачи:
1) выбирают на одной из поверхностей
конечное число линий и строят точки пересе-
чения их с другой поверхностью (см. 12.3);		m1	M	k	1
2) выделяют на	заданных поверхностях				Θ1
два семейства линий и находят их точки пере-
					Θ2
сечения. Во втором варианте выделение пере-			t
секающихся пар кривых выполняют с помо-		Φ			Θi
щью вспомогательных	поверхностей посред-		Ψ

ников.

Рассмотрим подробнее алгоритм решения задачи с использованием поверхностей пос- редников. Этот способ заключается в следующем.

Пусть даны пересекающиеся поверхности Φ и Ψ (рис. 12.10). Введем вспо- могательную секущую поверхность Θ1. Эта поверхность называется посредни- ком. Она пересечет поверхности Φ и Ψ по линиям m1 и k1, соответственно. Пере- сечение линий m1 и k1 даст точку M, принадлежащую искомой линии пересечения t, так как она принадлежит обеим поверхностям. Вводя ряд посредников, получа- ем семейство точек линии пересечения.

В качестве поверхностей посредников наиболее часто применяют плоскости или сферы. В зависимости от вида посредников выделяют следующие наиболее часто применяемые способы построения линии пересечения двух поверхностей:

а) способ секущих плоскостей; б) способ сфер.

Посредники выбираются так, чтобы линии mi и ki можно было легко постро- ить, т.е. чтобы они были графически простыми (прямые или окружности).

74

D2

C2

	E2
	22
1	32
	2
B2
A2	F2

	11	21
	B1	C1
	A1		D1
			E1
			31
		F1
			Рис. 12.11

Задача упрощается, если одна из поверхностей занимает проецирующее положе- ние. Тогда эта поверхность вырождается в окружность (цилиндрическая) или многоугольник (призматическая). Одна из проекций искомой линии будет нахо-

75

диться на вырожденной проекции поверхности, а значит, известна. Вторая проек- ция линии находится из условия принадлежности ее поверхности. На рис. 12.11 показано построение линии пересечения цилиндрической и конической поверх- ностей вращения. Так как ось цилиндрической поверхности перпендикулярна П1, то на П1 поверхность проецируется в окружность. На эту же окружность проеци- руется и искомая линия. Точки A, B, C, D, E и F – опорные точки. Точки А и F принадлежат горизонтальному, а точка Е – фронтальному контуру цилиндриче- ской поверхности. На фронтальном контуре конической поверхности располо- жены точки В и С. Точка D – экстремальная.

Другие точки линии пересечения, обозначенные цифрами, – промежуточные. Фронтальные проекции линии построены из условия принадлежности ее кониче- ской поверхности.

12.4.1. Способ вспомогательных секущих плоскостей

Рассмотрим применение вспомогательных секущих плоскостей на примере построения линии пересечения сферы с конусом вращения

(рис. 12.12, 12.13).

Решение. Заданные поверхности – по- верхности вращения. Оси заданных по- верхностей параллельны П2, (любой диа-

метр сферы может быть принят за ось вращения), а их общая плоскость симмет-

рии параллельна фронтальной плоскости проекций. Следовательно, на заданных по-

верхностях можно выделить два семейства окружностей, расположенных в плоско- стях, параллельных горизонтальной плос- кости проекций. Это значит, что для реше-

ния данной задачи можно использовать в качестве посредников гори-зонтальные плоскости уровня.

Рис. 12.12

Характерными точками проекций линии пересечения поверхностей являют- ся точки Α, Β и С, D. Точки Α, Β находятся в пересечении очерковых образую- щих поверхностей, т.к. эти образующие расположены в общей плоскости сим- метрии поверхностей.

Точки С и D являются точками видимости горизонтальной проекции линии пересечения. Их построения выполнены в такой последовательности:

1) через центр сферы О проведена горизонтальная плоскость уровня Θ;

76

						2) построена	горизонтальная			проекция
			A2		окружности радиуса R1, по которой плос-
12=22				1	кость Θ пересекает коническую по-
				S2 2	верхность; эта же плоскость пересекает сфе-
32 =42	C2		=D2	S2	ру по экватору (окружности максималь-ного
				Q2	радиуса);		горизонтальная			проекция
	R	1	O2	3		3) построена
			52=62	S2	окружности радиуса R1, по которой плос-
				B2	кость Θ пересекает коническую поверхность;
					эта же плоскость пересекает сферу по эква-
					тору (окружности максимального радиуса);
						4) определены точки C1, D1			пересечения
			61		окружности радиуса R1 с очерком сферы;
D1						5) установлены		фронтальные		проекции
					точек С(С2), D(D2)			из условия принадлежно-
31	11 A1			B1	сти их плоскости Θ.
						Для построения промежуточных точек
4		21	O1		1(11,12), 2(21,22), …, 6(61,62) линии пересече-
	1				ния	заданных	поверхностей		используем
	C1		51		плоскости Σ12 ,		Σ22	и Σ32 .
						Полученные точки соединим				плавной
					кривой линией.
						Видимость линии пересечения опреде-
Рис. 12.13					ляется на каждой поверхности отдельно. За-
					тем устанавливаются участки, видимые од-
новременно для обеих поверхностей. Так, при проецировании коническая по-
верхность своих точек не закрывает, а сфера закрывает точки, расположенные
ниже горизонтального контура. Точки С и D, расположенные на горизонтальном
очерке, отделяют видимую часть линии от невидимой. Невидимая часть показана
штриховой линией. На П2 проекции видимой части линии пересечения совпадает
с проекцией невидимой, так как фронтальные очерки обеих поверхностей распо-
ложены в плоскости симметрии поверхностей.

12.4.2. Способ концентрических сфер

Этот способ широко используется при решении задач на построение линий пересечения поверхностей вращения с пересекающимися осями. В основе этого способа лежит следующее свойство поверхностей вращения: две соосные по- верхности вращения пересекаются по окружностям, число которых равно числу точек пересечения их полумиридианов. Эти окружности лежат в плоскостях, перпендикулярных оси поверхностей вращения. У сферы любой диаметр можно принять за ось вращения. Следовательно, сфера с центром на оси поверхности вращения пересекает эту поверхность по одной или нескольким окружностям.

77

Если ось поверхностей вращения параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость линия пересечения проецируется в отрезок прямой линии. На рис. 12.14, а и рис. 12.14, б показано пересечение сферы цилиндрической и кониче- ской поверхностями вращения, соответственно. На рис. 12.14, в приведены пере- секающиеся соосные цилиндрическая и коническая поверхности вращения.

а)	б)	в)
	Рис. 12.14

Рассмотрим применение вспомогательных концентрических сфер − сфер с постоянным центром. Этот способ применяют при выполнении следующих усло- вий:

	а) пересекающиеся поверхности должны быть
	поверхностями вращения;
	б) оси этих поверхностей должны пересе-
	каться; точку их пересечения принимают за
	центр вспомогательных сфер;
	в) плоскость симметрии поверхностей
	должна быть параллельна какой-либо плоскости
	проекций (в противном случае применяют пре-
	образование чертежа).
	Рассмотрим построение линии пересечения
	конических поверхностей вращения. На рис.
	12.15 показано наглядное изображение, а на
Рис. 12.15	рис. 12.16 – комплексный чертеж этих поверхно-
стей. Поверхности и	их расположение удовлетворяют приведенным выше ус-

ловиям.

Прежде чем строить промежуточные точки, необходимо найти опорные точ- ки линии пересечения. Точки А, В, K и L, а также E, F, С и D – это точки, при- надлежащие контурам поверхностей. Их можно найти способом концентриче- ских сфер или с помощью плоскостей посредников Σ(Σ2) и ( 1).

Рассмотрим теперь построение промежуточных точек на примере точек 5 и 6. Построения выполняем на фронтальной плоскости проекций. Сфера посредник Θ(Θ2) с центром в точке О(О2) пересекает конические поверхности по окружно-

стям, которые на П2 проецируются в отрезки mi (m2i ) и ni (n2i ) (проекции двух других окружностей не показаны). Точки 52=62 их пересечения являются фрон- тальными проекциями точек 5 и 6, которые принадлежат линии пересечения по- верхностей, так как принадлежат каждой из этих поверхностей.

78

Горизонтальные проекции точек 5 и 6 находим из условия принадлежности точки поверхности. В данном случае используется принадлежность точек окруж-

ности mi на «вертикальной» конической поверхности. Точки 52 и 62 находятся по

линии проекционной связи на mi (m1i ) .
	Rmin
				K2
	A2				i
	12=22		32=42		n2
						Θ
			C2=D2			2
							S2
	E2=F2	O2
B2			m2i
				52=62
						L2
Rmax
	E1		C1		51
		31
	11
B1	A1	O1		K1		L1	1
	21	4				i
	F1		1
					61	m1
			D1
						n1i
	Рис. 12.16
			79

Аналогично можно построить любое количество точек искомой линии пере- сечения. Однако нужно иметь в виду, что не все сферы могут быть использованы для решения задачи. Рассмотрим предельные границы вспомогательных сфер.

Радиус сфер посредников изменяется в диапазоне

Rmax ³ R ³ Rmin,

где Rmin – минимальный радиус сферы, Rmax – максимальный радиус сферы. Сфера минимального радиуса Rmin – это сфера, которая касается одной по-

верхности и пересекает другую (или тоже касается). На рис. 12.21 такая сфера ка- сается «горизонтальной» конической поверхности. С помощью сферы минималь- ного радиуса построены точки 12=22 и 32=42. Горизонтальные проекции точек 1, 2, 3 и 4 построены аналогично точкам 5 и 6.

Радиус максимальной сферы равен расстоянию от точки пересечения осей поверхностей до самой удаленной точки пересечения контурных образующих этих поверхностей. На рис 12.16 – Rmax =êO2L2ê.

Для установления видимости проекций линии пересечения анализируем рас- положение точек относительно контуров поверхностей. Так, относительно П1, видимым будет участок кривой, расположенный выше контура горизонтальной конической поверхности (вторая поверхность на видимость на П1 не влияет). Го- ризонтальная проекция невидимой части линии показана штриховой линией. Точки А, В и K, L принадлежат фронтальным контурам поверхностей и отделяют видимую часть линии пересечения от невидимой при проецировании на П2. Фронтальные проекции видимой и невидимой частей линии пересечения на рис. 12.16 совпадают.

12.4.5.Способ эксцентрических сфер
Способ эксцентрических сфер применяют при условии, что
1) одна из поверхностей – поверхность вращения, а другая – циклическая
(имеет семейство окружностей);
2)	поверхности имеют об-			S2			Q2
щую плоскость симметрии;
3) общая плоскость сим-
метрии параллельна плоскости								2
проекций (в противном случае							B2	O2
следует	применить		преобра-		m	2
зование чертежа).
Пример 1. Построить фрон-					O21
тальную проекцию линии пере-							12 =22		n2
сечения поверхностей S и Q,
общая	плоскость		симметрии
которых параллельна П2 (рис.							A2
12.17).								i2
Решение. Заданные по-
верхности и их		расположение						Рис. 12.17
удовлетворяют		условиям при-
					80