ВМ1(3 семестр)шпоры2
.docДоказательство.
Так как - оригинал, то , такие что
.
Докажем формулу (5).
, .
.
(6) .
Из формулы (5) вытекает формула (6).
Пример.
по формуле (5)
7. Запаздывание оригинала.
Пусть , , тогда .
Докажем это.
при .
Пример.
,
8. Смещение изображения.
Пусть , - произвольная комплексная константа.
Пример.
, .
9. Изображение свёртки.
Определение. Свёрткой функций , называется функция, обозначаемая ,
.
Теорема (об умножении изображений).
При свёртывании оригиналов , их изображения , перемножаются, то есть (1).
Доказательство.
Если , - оригиналы, то функция также является оригиналом (то есть для нее выполнены 3 свойства оригинала) (самостоятельно).
Пусть , тогда:
{ Поскольку интегралы, задающие аналитическую функцию, сходятся, то мы можем поменять порядок интегрирования в правой части }
, где .
.
Теорема доказана.
В приложениях используется следствие из этой теоремы, когда надо найти оригинал функции:
(интеграл Дюамеля).
.
В силу симметричности свёртки , интеграл Дюамеля можно записать так:
.
Справедлива формула обращения преобразования Лапласа.
Теорема (без доказательства)
Пусть - оригинал, и . Предположим, что непрерывна в точке и имеет конечные односторонние производные в этой точке.
Тогда:
.
Интегрирование ведется по прямой , (- показатель роста), а интеграл понимается в смысле главного значения, то есть:
.
В случае, когда - дробно-рациональная функция, существуют более простые формулы:
Теорема разложения (без доказательства).
Пусть есть , - полюсы. .