matan1
.pdfQ |
(x) b |
(x |
)(x |
2 |
m |
m |
1 |
|
произведение 1 раз. Если
)(x
3 ) .Если корень -прямой, то скобка (x- -кратный, то скобка (x- ) входит k раз. Если
) входит в
j i -
комплексный, то Вычислим
j i
тоже корень(т.к. коэффициенты многочлена веществены).
(x )(x ) x |
2 |
x x x |
2 |
x( ) x |
2 |
x( j i j i ) j |
2 |
|
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
D 4 j |
2 |
4( j |
2 |
|
2 |
) 4 |
2 |
0 (x )(x ) x |
2 |
px q, г деD p |
2 |
4q 0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-неприводимый трехчлен. Если |
|
имеет кратность |
|||||||||
имеет кратность n, то и |
имеет кратность n. |
|
|||||||||
Многочлен Qm (x) записан в виде |
|
|
|
|
|
||||||
R |
(x) b |
(x )(x |
|
)(x |
|
).....(x |
) |
k |
(x |
|
|
|
|
1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
m |
1 |
2 |
|
3 |
|
1 |
|
|
|
2 |
1, то и
) |
k |
2 |
...(x |
2 |
|
|
имеет кратность 1. Если
p x q ) |
b |
(x |
2 |
p x q |
|
) |
b |
|
1 |
|
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
1 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
Теорема. Всякая правильная рациональная дробь может быть разложена на простейшие дроби.
1.A 2.
x a
A |
|
( x a) |
2 |
|
3. |
Mx |
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
N Mx N
px a x 2 a 2
4. |
|
Mx N |
|
|||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
( x |
a |
|
||
|
|
|
|
|
Если в знаменатели скобка (x- )-то в разложение
скобка (x ) |
k |
- то в разложение k дробей |
C |
|
|
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
1 дроби |
B . Если в знаменателе |
||||||
|
|
|
x a |
|
|
|
|
C |
2 |
|
... |
C |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(x ) |
2 |
|
|
(x ) |
k |
||
|
|
|
|
|
|
Если в знаменателе x |
2 |
a |
2 |
, то в разложение 1 дроби |
|
2x F |
. Если в знаменателе |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
a |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(x2 a2 ) , то в разложение k дробей |
|
E1 x C1 |
|
|
E2 x C2 |
....... |
Ek x Ck |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 2 a 2 |
|
|
(x2 a2 )2 |
(x2 |
a 2 )k |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Пример. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
B |
|
|
B |
|
|
|
B |
|
|
|
Cx F |
|
E X D |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(x 1)(x 4) |
3 |
(x |
2 |
7)(x |
7 |
3) |
5 |
|
|
x 1 |
|
|
(x 4) |
|
|
(x |
4) |
2 |
|
|
(x |
4) |
3 |
|
x |
2 |
7 |
|
x |
2 |
3 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
E X D |
|
|
E X D |
|
|
E X D |
|
|
E X D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
5 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
(x |
2 |
3) |
2 |
|
|
(x |
2 |
3) |
3 |
|
|
|
(x |
2 |
3) |
4 |
|
|
(x |
2 |
3) |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Здесь |
A, Bi ,C, F, Ei , Di |
- неопределенные коэффициенты. Для того чтобы их найти нужно |
привести правую часть к общему знаменателю и используя равенство многочленов найти соотношение коэффициентов.
Пример.
1 |
|
A |
|
|
Bx C |
|
(x 1)(x2 4) |
x 1 |
x2 4 |
||||
|
|
(x |
2 |
4) A (Bx c)(x 1) 1 |
|
||||||||
|
|
||||||||||
1 |
Ax |
2 |
4 A Bx |
2 |
Bx Cx |
C |
|||||
|
|
||||||||||
1 x |
2 |
( A B) |
x(C b) 4 A |
C |
|||||||
|
|||||||||||
x |
2 |
: 0 A B |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
x : 0 C B |
|
|
|
|
|||||||
x |
0 |
:1 4 A C |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
A B |
|
|
1/ 5 |
|
1/ 5x 1/ 5 |
||
C B |
|
B 1/ 5; A 1/ 5;C 1/ 5 |
|
||||
|
x 1 |
x |
2 |
4 |
|||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 4 A C |
|
|
|
|
|
|
|
|
Остаток нахождения интеграла практическая форма. |
1. x a |
ln(x a) c |
2. ( x a)k |
|
(x a)1 k |
|||
|
c |
||||||
|
dx |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 k |
.
41
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mx N |
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
d (x |
2 |
a |
2 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
x |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 dx M |
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
2 M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
2 |
|
ln x |
a |
|
|
|
arctg |
|
C |
|||||||||||||||||
|
x |
2 |
a |
x |
2 |
a |
2 |
x |
2 |
a |
|
|
x |
2 |
|
a |
2 |
|
|
x |
2 |
a |
2 |
|
|
|
a |
a |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
замечание. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
D 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x p / 2 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x |
2 |
px |
q (x |
2 |
|
p / 2) |
2 |
q p |
2 |
|
/ 4 4q t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
b |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
1 a |
2 x2 x2 |
dx |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x2 dx |
|
|
1 |
I |
|
|
|
1 |
I |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
n |
(x2 a2 )n |
|
a2 (x2 a2 )n |
a2 |
|
(x2 a2 )n 1 |
|
|
a2 (x2 a 2 )n |
a2 |
n 1 |
a2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
I |
|
|
|
1 |
|
2 2n 1 |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n 3 |
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
, n 2,3... |
|
|||||||||||||||
n |
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 )n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
a2 )n 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a2 |
2(1 n) |
|
|
|
2a2 (n 1)(x2 |
|
|
|
|
(2n 2)a2 |
|
|
|
2a2 (n 1)(x2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рекуррентная формула.
dx
I1 x2 a2 3тип
Замечание.
Если корни многочлена простые действительные, то
1 (x 1)(x 2)(x 3) 1 A(x 1)(x 3) x 1;1 A( 1)( 2) x 2;1 B(1)( 1) x 3;1 C(2)(1)
|
A |
|
B |
|
C |
|
x 1 |
x 2 |
x 3 |
||||
|
|
|
||||
B(x 1)(x 3) C(x 1)(x 2) |
Опр. что
Асимптоты к графику функций.
Пусть функция f(x) определена при x>a (x<a), если f (x) kx b (x) , где (x) 0 при x (x
существуют числа k и b такие, ) ,то прямая y=kx+b называется
асимптотой к графику функции y=f(x). Геометрически это означает, что при
x (x ) график функции мало отличается от графика линейной функций. Теорема. Для того, чтобы прямая y=kx+b была асимптотой к графику функции y=f(x)
необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы |
lim |
f (x) |
k |
, |
|
x |
|||||
|
x |
|
|
||
lim( f (x) kx) b . |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
Доказательство. 1) Необходимость y=kx+b – асимптота f (x) kx b (x) или
f (x) kx b (x) . Вычислить lim |
f (x) |
lim |
kx b (x) |
k lim |
b |
lim |
(x) |
k . |
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
x |
x |
x |
x x |
x |
x |
|
|
Вычислить lim( f (x) kx) lim(b (x)) b . |
|
|
|
|
|
|
|||
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Достаточность. Пусть существуют конечные пределы. f (x) kx b (x) (то существует предел).
(1)Была теорема о связи бесконечно малой и сходящийся последовательности lim xn a xn a n .
(2)Определение предела функции по Гейна.
(3)Можно сформулировать теорему (критерий) существования предела функции, а это, по определению, означает, что y=kx+b – асимптота. k 0 -асимптота называется наклонной; k=0 y=b-горизонтальная асимптота. Один из пределов бесконеченасимптоты нет.
неопределенный интеграл.
42
В дифференцируемости исчисляем по данной функции мы находим ее производную. В интегральном исчисление необходимо восстановить функцию по ее производной.
Опр. Функция F(x) называется первообразной функции f(x), если ( F'(x) |
f (x) ), т.е она |
|
является производной, для функции f(x). |
|
|
Пример. |
|
|
f (x) cos x |
|
|
F (x) sin x |
F1 (x)иF(x) является первообразной для f(x),C-const. |
|
F (x) sin x C |
|
|
1 |
|
|
Справедлива теорема.
Если |
F1 (x)иF2 (x) первообразные для функции f(x), |
|
F (x) F |
(x) C |
|
1 |
2 |
|
то они отличаются на const
|
|
R(x) F (x) F |
(x) |
|
||
Доказательство. Рассмотрим функции |
1 |
2 |
|
|
||
R'(x) F |
'(x) F '(x) |
f (x) f (x) 0 |
||||
|
|
|||||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
Пусть X0-производная(1 из области определения R(x)). |
|
|
||||
R(x) R(x0 ) R'( )(x x0 ) , где |
лежит между точкой X0 и X следовательно |
R(x) R(x0 ) 0 R(x) const F1 (x) F2 (x) C . Совокупность всех первообразных
Функции f(x) и обозначается
f (x)dx
F(x) C
, где f(x)-подынтегральная функция,
f(x)dx-подынтегральное выражение. Таблица.
1 |
|
0dx C |
|
2. 1dx 1 C
10. |
|
shxdx chx C |
11. |
|
chxdx shx C |
|
3. |
|
|
|
|
|
x |
n 1 |
|
x |
n |
dx |
|
C, n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
12. |
|
|
|
|
dx |
|
|
1 |
arctg |
x |
C |
|
x |
2 |
a |
2 |
a |
a |
||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
4. |
|
dx |
|
ln |
| x | C |
|
|
13. |
|
|
|
dx |
|
|
|
arcsin |
x |
C |
|
|
|
|
||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
a |
2 |
x |
2 |
a |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
a |
x |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
1 |
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x |
dx |
C |
|
|
14. |
|
|
|
|
ln |
C |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
x |
2 |
|
2a |
x a |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
5. |
|
|
|
|
|
|
|
ln a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
x |
dx e |
x |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
6. |
sin xdx cos x C |
|
|
15. |
|
|
|
dx |
|
|
|
ln(x |
|
x |
2 |
a |
2 |
) C |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
|
cos x sin x C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8. |
|
|
dx |
|
tgx C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
cos |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
9. |
|
|
dx |
|
ctgx C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
sin |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1-3,5-11-следствие таблицы производных. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
(tgx)' |
|
1 |
|
|
|
|
dx |
tgx C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
cos 2 |
|
x |
cos 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
если x>0, то |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||
4. |
|
ln x C , если x<0, то |x|=-x (ln | x |)' |
(ln( x))' |
|
( 1) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
x |
x |
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
формула 4 записывается в виде |
dx |
ln | x | C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43
12. |
|
|
dx |
arctgx C |
1 x |
|
2 |
|
13.
|
dx |
|
1 |
x |
|
|
|
2 |
arcsin
x
C
.
Т.к.
( |
f |
операции дифференцирования и интегрирования взаимно обратны , то
(x)dx)' |
f (x) |
|
f '(x)dx |
f (x) |
|
Основные правила интегрирования.
1. Интеграл от суммы нескольких функций равен сумме интегралов от этих функций
|
|
|
|
|
|
|
|
( )dx |
|
dx |
dx |
|
dx |
Доказательство. Левая часть представляет собой первообразную от функции . Найдѐм первообразную правой части.
( dx dx dx)' ( dx)' ( dx)' ( dx)' , т.е. правая часть
представляет собой первообразную функции . Т.к. две первообразные отличаются друг от друга на постоянную, то равенство верное.
Замечание. Константа содержится ухе в знаке интеграла.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла
kf (x)dx k f (x)dx
Доказательство. Левая часть первообразная функции f(x),
первообразная той же функции. (k |
|
f (x)dx)' k( |
|
f (x)dx)' |
|
|
покажем, что правая частьkf (x) ,т.е. правая часть
представляет собой первообразную функции kf(x), т.к. две первообразные отличаются друг от друга на постоянную, то равенство верное.
1 и 2 линейностью.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( )dx |
|
dx |
|
dx |
|
dx |
||||
3. Вид формулы интегрирования не измениться , если вместо независимой |
|||||||||||
|
переменной x будет дифференцируемая функция x=x(t). |
||||||||||
|
|
f (x)dx |
|
f (x(t))x'(t)dt |
|
g(t)dt инвариантность. |
|||||
|
|
|
|
||||||||
Доказательство. |
|
f (x)dx F(x) C здесь F(x) – первообразная функции f(x). |
|||||||||
|
|||||||||||
|
f (x(t))dx F(x(t)) C |
. Вычисляем (F(x(t)))' F' x'(t) f (x)x '(t) f (x(t))x'(t) , т.е. |
|||||||||
|
f (x(t))x'(t)dt - множество первообразных функции f(x(t)), которую мы обозначали |
||||||||||
|
ранее F(x(t)) следовательно формула верна. Примеры.
1. |
|
|
|
2. |
|
|
|
|
|
|
(x |
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
(x 2) |
2 |
dx |
2 |
4x 4)dx |
|
4 |
|
4x C |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
x 2 t |
t |
|
|
|
t |
2005 |
|
|
|
(x |
2) |
2005 |
|
||
(x 2) |
2004 |
dx |
2004 |
|
|
|
C |
|
C |
||||||||||
|
|
dx dt |
dt |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2005 |
|
|
2005 |
|
3.(12)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
1 |
|
|
adt |
|
1 |
|
1 |
|
x |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x at |
|
|
|
|
arctgt C |
arctg |
C |
||||||||||||
x |
2 |
a |
2 |
2 |
|
x |
|
2 |
1) |
a |
2 |
t |
2 |
1 |
a |
a |
a |
||||||||||
|
|
|
a |
(( |
) |
dx adt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x t
4.а) sin 2xdx x |
t |
|
|
1 |
sin tdt |
1 |
cos t C |
1 |
cos 2x C |
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
||
dx |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
44
|
|
|
|
|
|
sin x t |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
sin 2xdx |
2sin x cos xdx |
|
2 |
tdt 2 |
|
C t |
2 |
C sin |
2 |
x C1 |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
cos xdx |
|
2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в) |
|
|
|
|
cos x t |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
sin 2xdx 2sin x cos xdx |
|
|
2 tdt 2 |
2 |
C t |
|
C cos |
|
x C2 |
|||||||||
|
|
|
2 |
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
sin xdx dt |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Это три первообразные одной и той же функции.
5.
6.
|
dx |
|
|
|
1 |
|
(x 2) (x 3) |
dx |
|
1 |
|
dx |
|
1 |
|
dx |
|
|||
(x 2)(x |
|
|
(x 2)(x |
|
|
x 3 |
|
x |
||||||||||||
3) |
|
5 |
|
3) |
|
|
5 |
|
|
5 |
|
2 |
||||||||
1 |
ln x 3 |
|
1 |
ln x |
|
2 C |
1 |
ln |
x 3 |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|||
5 |
5 |
5 |
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
x |
1 |
t |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
t |
|
|
|
2 |
|
|
2(x |
1/ 2) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
C |
|
arctg |
C |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
x2 x 1 |
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
3 |
3 |
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(x |
|
) |
|
|
|
|
dx dt |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
|
|
|
8. |
|
|
|
9. |
|
tgxdx
ctgxdx
sin xdx |
|
cos x t |
|
||
|
cos x |
sin xdx |
|||
|
|
||||
|
cos xdx |
|
sin x t |
|
|
sin x |
|
cos xdx |
|
||
|
|
|
|
dt |
ln t C ln cos x C |
||
|
|
|||
dt |
|
|
t |
|
|
dt |
ln t C ln sin x C |
||
|
|
|||
dt |
t |
|
|
|
|
dx |
|
|
(sin |
2 |
|
x / 2 cos |
2 |
x / 2)dx |
|
1 |
||
|
|
|
|
|
|||||||||
sin x |
|
2sin x / 2 cos x / 2 |
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
ln cos t ln |
| sin t | C ln | tgt | C |
||||||||||||
|
10. |
|
|
dx |
|
|
|
dx |
|
ln | tg ( |
x |
||
|
cos x |
|
|
|
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
sin(x |
) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
1 |
|
x |
|
x |
t |
|
1 |
|
1 |
|
|
tg |
dx |
ctg |
dx |
2 |
|
tgtdt |
ctgtdt |
|||||||||
2 |
2 |
2 |
|
2 |
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
2dt |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ln | tg |
x |
| C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) | C 4
45
46