Glava10

Прохождение сигнала и шума через тракт РПУ

10-11

				V	−	V 2
		= 0 I0	(0) = 1 w(V ) =
	1) Uc				e 2Uш2		– распределение Релея.
			U 2
				ш

Это естественный результат, поскольку в отсутствие сигнала остаётся один шум.

2)

a =

Uс

→ ∞ I

(x) →

e

x

w(V ) →

V

1

VUс

−V 2 +Uс2

=

e

Uш2

e

2Uш2

Uш

0

2πx

Uш2

2π

VU

с

U 2

ш

1

−

(V −Uс )2

V

2

=

e

2Uш .

U

с

U

ш

2π

Плотность вероятности нормального распределения практически полностью сосредоточена на интервале [Uс − 3Uш , Uс + 3Uш ]. А по-

скольку U

U

, то здесь

V

≈ 1.

с

ш

Uс

Поэтому окончательно

w(V ) →

1

−

(V −Uс )2

2

e

2Uш

– нормальное распределение со средним

U

ш

2π

= 1 для различных

U

с

и дисперсией U 2

. Распределение Райса при U

ш

ш

значений Uс показано на рис. 10.3.

Рис. 10.3. Плотность вероятности распределения Райса при Uш = 1

Переход распределения Райса в нормальное распределение при большом отношении сигнал/шум качественно можно объяснить с помощью векторной диаграммы, изображённой на

рис. 10.4. При a = Uс 1

Uш

синусная составляющая шума практически не влияет на огибающую

Прохождение сигнала и шума через тракт РПУ

10-12

	суммы сигнала и шума, и поэтому	V (t) =	&	с+ш (t)	≈ U	с + U	c	(t) . А по-
			U
							ш

скольку косинусная составляющая шума Uшc (t) имеет нормальное рас-

пределение с нулевым средним и дисперсией Uш2 , то огибающая V при a 1 имеет также нормальное распределение со средним значением

U	с	и дисперсией U 2 .
		ш
		&	(t)
		Uс+ш			s
			&	ш (t) jU		(t)
			U
					ш

&	U	c	(t)
Uс		ш

Рис. 10.4. Векторная диаграмма комплексной огибающей суммы сигнала и шума при a 1

Математическое ожидание (среднее значение) огибающей суммы сигнала и шума в общем случае равно

∞

V = ∫VwРайса (V )dV = UшМ (a) ,

				0
где
		−	a2			a	2				a	2			a	2		a	2
M (a) =	πe 4			1	+			I						+			I1			.
									0
	2					2					4			2				4

Для удобства определения V используется график функции M (a), изображённый на рис. 10.5. Пунктирной линией показана асимптота кривой.

Рис. 10.5. График функции M(a)

Прохождение сигнала и шума через тракт РПУ

10-13

При a > 1 M (a) ≈ a2 + 1 (при a = 2 относительная погрешность

	составляет около 2%), а при a >> 1 (практически при							a > 3)
	M (a) ≈ a =	Uс	. Следовательно, в этом случае		≈ U		. При a = 3	отно-
				V		с
	Uш

сительная погрешность этого приближённого равенства составляет около 10%.

Дисперсия огибающей суммы сигнала и шума равна

∞

σV2 = ∫(V − V )2 wРайса (V )dV = Uш2 N 2 (a) ,

0

где N (a) = 2 + a2 − M 2 (a) . График функции N (a) приведён на рис. 10.6.

Рис. 10.6. График функции N(a)

	При a >> 1 (практически при a ³ 5 ) N (a) ≈ 1*) и, следовательно,
σ2	≈ U 2 .
V	ш

Теперь рассмотрим автокорреляционную функцию огибающей, которая в дальнейшем будет использована для определения энергетического спектра. Прежде всего отметим, что вид АКФ зависит от отношения сигнал/шум. Действительно, если сигнал отсутствует (а=0), то нормированная АКФ огибающей шума равна

ρV (τ) ≈ ψ2 (τ) .

*) Оценивая асимптотическое поведение N (a) , нужно считать, что M 2 (a) ≈ a2 +1 .

Прохождение сигнала и шума через тракт РПУ

10-14

В другом предельном случае, когда отношение сигнал/шум велико ( a 1), огибающая суммы сигнала и шума приближённо равна

V (t) » Uс +Uшc (t)

и, следовательно,

ρV (τ) ≈ ρUшc (τ) = ψ(τ) .

Таким образом, при большом отношении сигнал/шум нормированная АКФ огибающей приближённо равна огибающей нормированной АКФ узкополосного шума.

Можно показать, что при средних значениях отношения сигнал/шум АКФ огибающей приближённо равна взвешенной сумме АКФ в указанных предельных случаях:

(t) »

4 − π

2

( f ) × y

2

KU

U

2

ш

b1 (a) × y(t) + b2

(t) .

Заметим, что в соответствии с этой формулой при a >> 1

диспер-

сия огибающей равна s2

= K

(0) »

4 - p

×

8

U

2 »

Uш2

=1,09U

2

вместо

0,915

V

U

2 p

ш

ш

Uш2 . Это связано с приближенным характером формулы.

Зависимость коэффициентов b1 и b2 от отношения сигнал/шум определяется следующими выражениями [2, с. 497, формула (11.52)]:

						a2					a			2				a				2					2
					−
b1 (a) =		ae				4 I0										+ I1									,
																				4
											4
		−	a2							2			2				−	a2						a		2		2
b2	(a) = e 4				I	0		a						+		e 4				I1								,
									4															4

где I0 (×), I1 (×) – модифицированная функция Бесселя 0-го и 1-го порядка соответственно.

Теперь рассмотрим спектральные характеристики огибающей смеси сигнала и шума. Мы знаем, что АКФ огибающей шума равна

KU (t) = sU2 r(t) » 4 − πUш2 y2 (t) . 2

Прохождение сигнала и шума через тракт РПУ

10-15

Найдём физический (односторонний) энергетический спектр огибающей. Для этого сначала, используя теорему Винера-Хинчина, преобразуем выражение для математического (двустороннего) спектра с учетом чётности функций K (τ) и cos(ωτ) и нечётности функции sin(ωτ) :

∞	∞	∞
Gм (w) = ∫ K (t)e− jωτd t = ∫ K (t)[cos(wt) - j sin(wt)]d t = 2∫ K (t)cos(wt)d t
−∞	−∞	0

Физический спектр равен

∞

Gф ( f ) = 2Gм (2pf ) = 4∫ K (t)cos (2pf t)d t.

0

Подставляя в эту формулу приближенное выражение для АКФ огибающей, получим:

			4 - p			∞	∞
	GU	( f ) » 4 ×		U	ш2	∫ Y2 (t) cos(2pf t)d t = 2(4 - p)Uш2	∫ Y2 (t) cos(2pf t)d t.
		2				0	0

Для практических расчётов удобно выразить дисперсию шума Uш2 через спектральную плотность шума на входе БВЧ:

U 2	= G П	ш	K 2	.
ш	0		0.БВЧ
Тогда			∞
GU ( f ) » 2(4 - p)G0 Пш K0.2		БВЧ ∫ Y2		(t)cos(2pf t)d t .
			0

Например, для прямоугольной АХЧ БВЧ

Y(t) = sin(πПшτ) . pПшt

	2	∞ sin2 (pПшt)
Тогда GU ( f ) » 2(4 - p)G0П	ш K0.БВЧ ∫				cos(2pf t)d t .
			(pПшt)	2
		0

Можно показать [2, с. 411], что это выражение приводится к виду

GU ( f ) » GU (0) Пш − f , f Î[0, Пш ] ,

Пш

где GU (0) = (4 - p)G0 Пш K0.2БВЧ .

Прохождение сигнала и шума через тракт РПУ

10-16

Формулу для энергетического спектра огибающей шума в случае прямоугольного спектра шума можно получить и на основе более наглядных рассуждений.

Вспомним, что АКФ косинусной составляющей узкополосного шума равна

K С	= U 2	Ψ(τ) .
Uш	ш

Следовательно, Ψ(τ) – нормированная АКФ косинусной состав-

ляющей

Ψ(τ) = ρUШС (τ) .

Косинусная составляющая – это НЧ процесс. Его математический (двусторонний) энергетический спектр получается сдвигом спектра узкополосного шума на нулевую частоту:

Физический (односторонний) спектр узкополосного шума

Математический ((двусторонний) спектр узкополосного шума

Физический спектр косинусной составляющей.

Т.о. Ψ(τ) GUшС.м (Ω) .

По теореме о свёртке квадрату АКФ Ψ2 (τ) соответствует свёртка

GUшС.м (Ω) с самим собой:

Ψ2 (τ) (GUшС.м GUшС.м )(Ω) .

Для прямоугольного спектра эта свёртка имеет вид треугольника:

Найдём GU (0) . Для этого приравняем два выражения для дисперсии огибающей шума. С одной стороны,

	∞		1
	σU2 = ∫GU	(F )dF =		ПшGU (0) ,
	0	2

с другой стороны,

Прохождение сигнала и шума через тракт РПУ

10-17

10.3. Прохождение сигнала и шума через ЧД

Для анализа прохождения смеси сигнала и шума через ЧД нужно определить статистические характеристики мгновенной частоты этой смеси. Для этого коротко, на качественном уровне, рассмотрим статистические свойства мгновенной частоты суммы немодулированного гармонического сигнала и узкополосного шума. При этом так же, как и ранее, будем считать, что частота сигнала совпадает с центральной частотой спектра шума ω0. Плотность вероятности мгновенной частоты в общем случае имеет сложный вид. В отсутствие сигнала она равна

w(ω) =

−ψ′′

0

,

′′

3/ 2

2

(ω − ω0 )

2

− ψ0

′′

=

d 2

ψ

. Плотность вероятности симметрична относительно

где ψ0

d τ2

τ=0

ω0, поэтому среднее значение ω = ω0 .

С увеличением отношения С/Ш концентрация плотности вероят-

ности вокруг ω0 возрастает:

W(ω)

С/Ш

ω

∞

σω2 = ∫ (ω − ω0 )2 w(ω)dω → ∞ , т.е. дисперсия мгновенной частоты не су-

−∞

ществует (бесконечно велика). Это обусловлено резкими изменениями (перескоками) фазы смеси С+Ш, которым соответствуют выбросы мгновенной частоты (это явление мы рассмотрим позднее). Поэтому интенсивность флуктуаций мгновенной частоты характеризуется сред-

ним абсолютным отклонением

∞

Sω = ω − ω0 = ∫ ω − ω0 w(ω)dω < ∞ .

0

Рассмотрим автокорреляционную функцию и энергетический спектр отклонения мгновенной частоты смеси сигнала и шума от ω0.

Отклонение мгновенной частоты равно

Прохождение сигнала и шума через тракт РПУ

10-18

Δω(t) = ω(t) − ω0 = dθ(t) , dt

где θ(t) – фаза смеси сигнала и шума. Из векторной диаграммы

θ		U Ш (t)
			U S	(t)
			Ш
U	C	U C	(t)
		Ш

следует, что θ(t) = arctg		U S		(t)		.
			Ш
			+ U С
U		C			(t)
				Ш

Рассмотрим предельный случай большого отклонения С/Ш : a = UC 1.

U Ш

Мы ограничимся только этим случаем, поскольку:

1.при этом получаются простые выражения для АКФ и энергетического спектра;

2.только в этом случае приемник ЧМ сигналов обеспечивает высокое

качество приема.

Векторная диаграмма имеет следующий вид:

θ(t)

U ШS (t)

U	C	U C	(t)
		Ш

Видно, что на изменение фазы θ(t) в первую очередь влияет изменение синусной составляющей шума:

U S

(t)

U S

(t)

θ(t) ≈ arctg

ш

≈

ш

.

Uс

Uс

Следовательно,

Δω(t) =

dθ(t)

≈

1 dU S (t)

.

ш

dt

Uс

dt

Прохождение сигнала и шума через тракт РПУ

10-19

Таким образом, в данном случае отклонение мгновенной частоты смеси сигнала и шума пропорционально скорости изменения синусной составляющей квазигармонического шума.

Для определения АКФ отклонения мгновенной частоты воспользуемся выражением для АКФ производной случайного процесса. Известно, что она равна 2-й производной АКФ процесса, взятой со знаком "–" ( минус ).

′′	(τ) .
K X ′ (τ) = −K X

Поэтому при a >> 1 АКФ отклонения мгновенной частоты равна

	KΔω (τ) = −Kθ" (τ) ≈	1	K S (τ) = −	1	K " S (τ).
		2		2
			Uш		Uш
		Uс		Uс

Исходя из этого выражения, определим энергетический спектр отклонения мгновенной частоты. Поскольку энергетический спектр (математический!) равен преобразованию Фурье от АКФ:

	Используем букву Ω, чтобы не пу-
KU ШS (τ ) ↔ GU ШS (Ω) ,	тать с мгновенной частотой ω

[ используем букву Ω, чтобы не путать с мгновенной частотой ω] то двукратному дифференцированию АКФ соответствует двукратное

умножение математического энергетического спектра на jΩ, т.е. на

−Ω2 :

K " S	(τ) ↔ ( jΩ)G S	(Ω) = −Ω2G S (Ω) .
Uш	Uш	Uш

Следовательно, при большом отношении С/Ш энергетический спектр мгновенной частоты смеси сигнала и шума пропорционален энергетическому спектру синусной составляющей шума, умноженному на квадрат текущей частоты:

K

(τ) ↔ G

(Ω) =

−

1

−Ω2G S

(Ω)

=

Ω2

G S (Ω)

Δω

2

Δω м

2

Uш

Uш

UC

UC

математические спектры

т.к. GΔω (F ) = 2GΔω м (2πF ) , то

Физические спек-

G	ω	(F ) =	(2πF )2	G	S (F )
		2		U
			UC		Ш

Прохождение сигнала и шума через тракт РПУ		10-20
Поскольку f = Δω	, то для физического энергетического спектра от-
2π

клонение мгновенной частоты при большом отношении С/Ш окончательно получим следующее выражение:

G		(F ) =	1		G (F ) =		F 2	G S (F ) .
	f
			(2π)	2	Δω	2		Uш
						Uс

Используя этот результат, определим форму энергетического спектра отклонения мгновенной частоты в случае прямоугольной АЧХ БВЧ.

G			GUs			F 2
		ПШ
						U 2
						C
		f
				Пш/				F
	f0

Т.о. в данном случае энергетический спектр отклонения мгновенной частоты имеет вид квадратичной параболы, ограниченной частотой

ПШ . При уменьшении отношения С/Ш форма спектра меняется, он

2

обогащается высокочастотными составляющими и увеличивается уровень вблизи нулевой частоты:

G

F

Это связано с тем, что при малом отношении С/Ш происходят аномальные выбросы мгновенной частоты, обусловленные т.н. " перескоками " фазы. Для того чтобы пояснить это явление, рассмотрим траекторию вектора комплексной огибающей суммы сигнала и шума ( ее годограф ) для одной и той же реализации шума сначала при большом отношении С/Ш, а затем - при малом. Исходя из этого годографа, построим графики изменения полной фазы колебания и оценим скорость изменения фазы, которая и определяет мгновенную частоту сигнала.