ЛП_КомпГеом_1

5. Кривые в пространстве

Цель работы состоит в освоении технологий решения типовых задач по теме «Кривые в пространстве». Основные задачи:

1)Определение кривой с помощью функций и уравнений;

2)Получение изображения кривой на основе аналитического описания.

Key words: Plot3D, ContourPlot3D, ParametricPlot3D, Solve, NSolve.

Возможные пути к ресурсам из окна Documentation Center:

1)Visualization and Graphics → Function Visualization.

2)Visualization and Graphics → Graphics Options & Styling.

3)Mathematics and Algoritms → Equations Solving.

Основные способы задания кривых (линий) в пространстве.

Общая кривая Γ вводится в пространстве как линия пересечения 2-х общих поверхностей 1 и 2 (определяемых неоднозначно), т. е. заданием системы двух уравнений

			Φ1 , , = 1,		Φ2 , , = 2,
где Φ	, , и Φ	2	, ,	- некие гладкие функции, а - фиксированные
1

числа. Фактически кривая Γ = 1 ∩ 2 состоит из таких точек = ( , , ) в пространстве, координаты которых удовлетворяют данным двум уравнениям.

Параметризованная кривая (путь) в пространстве состоит из таких точек = ( , , ), координаты которых вычисляются по формулам (в зависимости от 1-го параметра ):

= , = , = ,

где 1 ≤ ≤ 2, а , , - заданные гладкие функции (координатные функции).

Кривая на поверхности. Пусть имеется некоторая параметризованная поверхность в пространстве, заданная уравнениями:

= , , = , , = , ,

где ( , ) , а , , , , , - гладкие функции. Какая-либо кривая (линия) Γ на поверхности может быть определена с использованием параметризации вида

31

= , = ( ).

где 1 ≤ ≤ 2, а , - заданные гладкие функции. Пространственная параметризация кривой Γ реализуется по формулам:

= , ( ) , = , ( ) , = , ( ) .

Рекомендуемые средства системы Wolfram Mathematica 7:

Имя функции	Выполняемые действия
Plot3D	Строит поверхность как график функции = ( , ).
ContourPlot3D	Строит общую поверхность , , = .
ParametricPlot3D	Строит параметризованную поверхность или кривую.
Solve	Поиск точного решения системы уравнений.
NSolve	Поиск приближенного решения системы уравнений.

Задания по теме «Кривые в пространстве»

5.1.Получить изображение края участка плоскости + + = , вырезаемого цилиндром 2 = .

5.2.Получить изображение края участка поверхности конуса 2 + 2 = 2, вырезаемого цилиндром 2 = 2 ( > 0).

5.3.Получить изображение линии пересечения цилиндров 2 = и2 = ( > 0).

5.4.Получить изображение края участка поверхности конуса 2 + 2 = 2, вырезаемого плоскостью: а) = 0; б) + = 2 ; в) = 0.

5.5.Получить изображение линии пересечения конуса 2 + 2 = 2 и цилиндра 2 = 2 (2 − ).

5.6.Получить изображение линий пересечения сферы 2 + 2 + 2 = 2 2 и конуса 2 = 2 + 2.

5.7.Получить изображение линии пересечения параболоида = 2 − 2 с другим параболоидом: а) = 3 2 + 2 − 2; б) = 3 2 + 2 − 4.

5.8.Получить изображение линии пересечения сферы 2 + 2 + 2 = 2 и цилиндра с образующими, параллельными оси , направляющей которого служит 3-лепестковая роза = sin 3 .

32

5.9.Получить изображение линии пересечения винтовой поверхности

= arctg( / ) с цилиндром 2 + 2 = 2.

5.10.Получить изображение линии пересечения сферы 2 + 2 + 2 = 1 с

плоскостью: а) 3 = ; б) = .

В каждом из следующих заданий взять 1-ую поверхность 1 в качестве базовой. Требуется получить на данной поверхности 1 изображения линий пересечения с остальными поверхностями.

(Указания. Сначала получить на поверхности S1 изображение каждой линии в отдельности, а потом объединить полученные изображения. По умолчанию все параметры принимают положительные значения.)

5.11.	( / )2 + ( / )2 = 1, ( / )2			+ ( / )2 = 1.
	2 − 2	= 2,	2 − 2 = 2,
5.12.				= 2			( > 0).
5.13.	= 2,	= ,	+ = 2.
5.14.	2 − 2	= 2 ,	2 + 2 = 2, = 0				( > 0).
5.15.	2 + 2	− 2 2 = −2, 2( 2 + 2) − 2					= 2 ( > 0).
5.16.	= exp(−(( / )2 + ( / )2)), ( / )2						+ ( / )2 = 1 ( > 0).
5.17.	2 + 2	= 2,	2 + 2 − 2 2	= −2 ( > 0).
5.18.	( / )2 + ( / )2 + ( / )2 = 1,			( / )2 + ( / )2				= ( / )2.
5.19.	= ,	= 1, = 2, 2		= , 2 = 3 .
5.20.	= 2 + 2, = 1, = 2, = ,						= 2 ,	= 0.

5.21. Пусть имеется параметризованная поверхность. Требуется на данной поверхности получить изображение линии: а) + = ; б) = 2;

в) 2 + 2 = 1; г) 2 − 2 = 1.

(Указание: Использовать свой индивидуальный вариант задания 4.4.)

33

6. Области в пространстве

Цель работы состоит в освоении технологий решения типовых задач по теме «Области в пространстве». Основные задачи:

1)Определение области с использованием функций и неравенств;

2)Получение изображения области на основе аналитического описания.

Key words: Plot3D, ContourPlot3D, ParametricPlot3D, RegionPlot3D, RevolutionPlot3D, And(&&, ), Or(||, ), Not(!), Equal(==), Unequal(!=), Boole.

Возможные пути к ресурсам из окна Documentation Center:

1)Visualization and Graphics → Function Visualization.

2)Visualization and Graphics → Graphics Options & Styling.

2)Mathemathics and Algorithms → Logic & Boolean Algebra.

Здесь и ниже всякая область (тело) в пространстве рассматривается как связное множество точек, граница которого составлена из каких-то гладких поверхностей. При этом область обязательно должна иметь внутренние точки. Граница области (поверхность тела) может быть несвязной, т. е. может иметь компоненты связности.

Простые области имеют наиболее простое строение. Каждая простая область определяется условием с использованием ровно одного неравенства:

Φ; { , , : Φ , , ≤ } или Φ; { , , : Φ , , ≥ },

где = const. Примерами простых областей могут служить:

●полупространство + + ≤ ;

●шар ( − 0)2 + ( − 0)2 + ( − 0)2 ≤ 2.

Составные области могут быть получены из каких-то простых областей с помощью теоретико-множественных операций (∩, , \). В частности, сюда относятся «подграфик» ( ) и «надграфик» ( ) какой-либо функции , :

{ , , : ≤ , , ( , ) };

{ , , : ≥ , , ( , ) }.

Область «междуграфика» для функций 1 и 2, определяемая неравенствами1( , ) ≤ ≤ 2( , ), может быть получена как пересечение:

1 ∩ 2 .

Вряде других случаев непустое пересечение вида

Φ1; 1 ∩ Φ2; 2

34

может оказаться областью, граница которой составлена из поверхностей (общих поверхностей) Φ1 , , = 1 и Φ2 , , = 2.

Метод характеристических функций. Нередко описание какой-либо области Ω в пространстве формулируется как логическое выражение (или предикат) Ω ( , , ) о взаимном расположении точки ( , , ) и области Ω:

, , Ω Ω , , = True.

Тогда для такой области Ω можно ввести ее характеристическую функциюΩ , , формулами

	Ω	, ,	Boole Ω	, , =	1, Ω	, ,	= True,
					0, Ω	, ,	= False.

С использованием своей характеристической функции область Ω может быть задана уравнением:

Ω , , = 1.

Например, область вида Ω = Φ1; 1 ∩ Φ2; 2 имеет предикат:

Ω , , = Φ1 , , ≥ 1 && Φ2 , , ≤ 2 .

Задания на получение изображения тела вращения:

6.1.Получить изображение области, образованной вращением дуги цепной линии 2 = ch 2 (0 ≤ ≤ 3) вокруг оси .

6.2.Получить изображение тела эллипсоида, образованного вращением эллипса 4 2 + 2 = 4 вокруг: а) оси ; б) оси .

6.3.Получить изображение области, образованной вращением вокруг оси дуги кривой 3 = 3 от = −1 до = 1.

6.4.Получить изображение области, образованной вращением вокруг оси дуги кривой 6 = ( − 12) между точками пересечения с осью .

6.5.Получить изображение области, образованной вращением вокруг оси дуги полукубической параболы 9 2 = 4 3, отсекаемой прямой = .

6.7. Получить изображение области, образованной вращением петли кривой 9 2 = (3 − )2 вокруг: а) оси ; б) оси .

35

6.8.Получить изображение области, образованной вращением дуги кривой= exp(−/2) вокруг: а) оси ; б) оси .

6.9.Получить изображение области, образованной вращением дуги кривой

= (3 cos − cos 3 ), = (3 sin − sin 3 ), 0 ≤ ≤ /2, вокруг:

а) оси ; б) оси .

6.10.Получить изображение области, образованной вращением петли кривой = ( 2 + 1), = (1 − 2/3) вокруг оси .

6.11.Получить изображение области, образованной вращением одной арки циклоиды = ( − sin ), = (1 − cos ) вокруг ее оси симметрии.

6.12.Получить изображение области, образованной вращением окружности= 2 sin вокруг полярной оси.

6.13.Получить изображение области, образованной вращением кардиоиды= (1 + cos ) вокруг касательной в ее вершине (2 , 0).

6.14.Получить изображение области, образованной вращением кардиоиды= (1 + cos ) вокруг полярной оси.

6.15.Получить изображение области, образованной вращением одной арки циклоиды = ( − sin ), = (1 − cos ) вокруг оси .

6.16.Получить изображение области, образованной вращением лемнискаты2 = 2 sin 2 ) вокруг полярной оси.

6.17.Получить изображение поверхности тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной двумя линиями 2 = 2 и

2 + 2 − 3 = 0.

6.18.Получить изображение тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями = exp(−2 ) − 1, = exp(−) + 1,

= 0.

6.19.Получить изображение тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями = , = + sin2 (0 ≤ ≤ ).

6.20.Получить изображение тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями = 0.5 2 + 2 + 2, = 2.

36

6.21.Получить изображение тела, образованного вращением параболического сегмента с основанием 2 и высотой вокруг высоты.

6.22.Получить изображение тела, образованного вращением фигуры, ограниченной параметризованной кривой = 2, = ln ( > 0) и осями координат вокруг: а) оси ; б) оси .

6.23.Получить изображение тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной параметризованной кривой = cos , =

sin 2 и осью (0 ≤ ≤ ).

6.24.Получить изображение области, образованной вращением астроиды= cos3 , = sin3 вокруг прямой = .

6.25.Получить изображение области, образованной вращением кривой= cos2 вокруг полярной оси.

6.26.Получить изображение области, образованной вращением лемнискаты Бернулли 2 = 2 cos 2 вокруг полярной оси.

6.27.Получить изображение тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной кривой = (sin )/ и осью .

Задания на получения изображения тела общего вида:

В следующих заданиях требуется получить изображения областей (тел), ограниченных указанными поверхностями.

6.28.	( / )2 + ( / )2 = 1,			( / )2 + ( / )2 = 1.
	2 − 2	= 2,	2 − 2	= 2,
6.29.					= 2		( > 0).
6.30.	= 2,	= ,	+ = 2.
6.31.	2 − 2	= 2 ,	2 + 2 = 2,		= 0		(внутри цилиндра; > 0).
6.32.	2 + 2	− 2 2 = −2,		2( 2 + 2) − 2			= 2 ( > 0).

6.33.= exp(−(( / )2 + ( / )2)), ( / )2 + ( / )2 = 1 ( > 0, > 0,

> 0).

6.34. 2 + 2 = 2,

2 + 2 − 2 2 = −2

( > 0).

37

6.35. ( / )2 + ( / )2 + ( / )2 = 1,	( / )2 + ( / )2 = ( / )2 (внутри
конуса; > 0, > 0, > 0).

6.36.= , = 1, = 2, 2 = , 2 = 3 .

6.37.= 2 + 2, = 1, = 2, = , = 2 , = 0 ( > 0, > 0).

38

7.Числовые характеристики геометрических объектов

впространстве

Цель работы состоит в освоении технологий решения типовых задач по теме «Числовые характеристики геометрических объектов в пространстве».

Основные задачи:

1)Нахождение длины кривой в пространстве;

2)Нахождение площади поверхности вращения;

3)Нахождение объема тела поверхности врвщения

Key words: Plot, ContourPlot, ParametricPlot, PolarPlot, RegionPlot, D( ), Integrate(∫ ), And(&&, ), Or(||, ), Not(!), Equal(==), Boole.

Возможные пути к ресурсам из окна Documentation Center:

1)Visualization and Graphics → Function Visualization;

2)Visualization and Graphics → Graphics Options & Styling;

3)Mathematics and Algorithms → Calculus;

4)Mathematics and Algorithms → Logic & Boolean Algebra.

Длина дуги пространственной кривой, заданной параметрическими уравнениями выражается, формулой

2

= ( ′ ( ))2 + ( ′ ( ))2 + ( ′ ( ))2 .

1

Задания на нахождение длины дуги пространственной кривой:

Требуется найти длины дуг следующих пространственных кривых (а если кривая замкнутая, то - длину всей кривой):

7.1. = 2, = ( + 3/3), = ( − 3/3) от = 0 до =
	3 ( > 0).

7.2.= cos , = sin , = между плоскостями = 0 и =

( > 0).

7.3.2 = 4 , 9 2 = 16 между плоскостями = 0 и = 4.

7.4. = cos , = sin , = от = 0 до произвольного > 0

( > 0).

39

7.5.= − sin , = 1 − cos , = 4 cos( /2) между двумя точками пересечения кривой с плоскостью .

7.6.= sh cos , = sh sin , = от = 0 до = ln 2.

7.7.= 2 , = ln , = 2 от = 1 до = 2.

7.8.= cos3 , = sin3 , = cos 2 (замкнутая кривая).

7.9.= (2 cos + cos 2 )/2, = (2 sin + sin 2 )/2, = 4 cos( /2)

(замкнутая кривая).

7.10.= cos , = sin , = ch от = 0 до = ln .

Площадь поверхности вращения. Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси дуги простой кривой, заданной как график функции, вычисляется по формуле

	2
= 2	( ) 1 + ( ′ ( ))2 .
	1

Если дуга кривой задана параметрическими уравнениями, то

	2
= 2	( ) ( ( ))2 + ( ( ))2 .
	1

Если дуга кривой задана в полярных координатах, то

		2
	= 2		sin	( ( ))2 + ( ′ ( ))2 .
		1

Задания на нахождение площади поверхности вращения:

7.11.Найти площадь поверхности, образованной вращением дуги цепной линии 2 = ch 2 (0 ≤ ≤ 3) вокруг оси .

7.12.Найти площадь поверхности эллипсоида, образованного вращением эллипса 4 2 + 2 = 4 вокруг: а) оси ; б) оси .

7.13.Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси дуги кривой 3 = 3 от = −1 до = 1.

7.14.Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси дуги кривой 6 = ( − 12) между точками ее пересечения с осью

.

40