Физика 1 семестр - Колебания и волны

Конспект лекций по Физике для студенческих групп

Z3111, Z3221, Z3442k, Z3532k

11

называются сферическими, плоскими и цилиндрическими. Форма волновой поверхности формой источника и свойствами среды.

Расстояние между соседними волновыми поверхностями с разностью фаз ϕ = 2π называется длиной волны. Таким образом. Длина волны – это расстояние, которое волна пробегает за один период колебаний Т

λ = υT .

(44)

Здесь λ – длина волны, υ – скорость волны. Если в этом соотношении выра-

зить период через частоту T = 1ν , то формулу можно переписать в виде

λν = υ .

(45)

Дифракция волн.

Для решения различных задач нужен метод построения фронта волны в любой момент времени по известному фронту в предыдущий момент. Такой метод сформулирован Гюйгенсом и называется принципом Гюйгенса.

Каждая точка волнового фронта является источником вторичных сферических волн. Новый волновой фронт находится, как огибающая волновых фронтов этих вторичных волн.

Автор использовал его без доказательства. Ему было достаточно того, что все построения по этому принципу оказывались верными. В настоящее время принцип Гюйгенса обоснован в рамках общей теории упругости.

На рисунках 8 – 10 показаны примеры использования принципа Гюй-

генса.

Рис. 8. Малое отверстие в преграде	Рис. 9. Построение нового фронта
– источник сферических волн.	волны по принципу Гюйгенса

Конспект лекций по Физике для студенческих групп	Z3111, Z3221, Z3442k, Z3532k 12
а	б

Рис. 10. Построения Гюйгенса для сферической (а) и плоской (б) волн.

В однородной изотропной среде волновой фронт всегда, перемещаясь, остается подобным самому себе.

Рассмотрим теперь прохождение волны сквозь отверстие, размеры которого существенно больше длины волны. Пусть на такое отверстие слева падает плоская волна. Справа напротив отверстия фронт волны тоже плоский.

Рис. 11. Дифракция на краю отверстия

С краев волновой фронт искривляется, волна загибается и отклоняется от первоначального направления. Описанное явление называется дифракцией.

Дифракция – это отклонение волны от направления своего распространения и проникновение волны в область геометрической тени.

Конспект лекций по Физике для студенческих групп

Z3111, Z3221, Z3442k, Z3532k

13

Уравнение бегущей волны.

Пусть в точке 0 на оси х находится источник, который колеблется по

закону

ξ (t) = A ×cos(ωt +ϕ0 ) .

(46)

В этой формуле ξ – смещение источника относительно положения равновесия. Если вдоль оси бежит волна, то любая точка х тоже совершает колеба-

ния, но они происходят с задержкой по времени τ. Эта задержка равна времени, пока волна добегает от источника до точки х.

x

ω x

ξ (x,t) = A ×cos (ω(t -τ ) +ϕ 0 ) = A ×cos

ω t -

+ϕ

0

=

A ×cos

ω t -

+ϕ

0

υ

υ

Учтем, что ω = 2π T ,

λ = υT , и продолжим выкладки:

2π x

2π

ξ (x,t) = A ×cos ωt -

+ϕ 0

= A ×cos ω t

-

× x

+ϕ

0 .

Tυ

λ

Введем волновое число

k = 2π λ, и запишем в окончательном виде:

ξ (x,t) = A ×cos (ω t - k x +ϕ 0 ).

(47)

Мы получили уравнение волны, бегущей вдоль оси х. Оно задает закон колебания сразу всех точек на оси х. Если волна бежит в обратную сторону против направления оси, то перед х надо поменять знак.

В трехмерном случае уравнение волны, бегущей в произвольном направлении, запишется в следующем виде:

R	R	R	+ ϕ 0 ).
ξ (r , t) = A × cos (ω t - k		×r		(48)

В этой формуле r – радиус-вектор, проведенный из источника в интере-

сующую нас точку, k – волновой вектор. Его длина – волновое число, а направление совпадает с направлением скорости волны.

Для плоской волны амплитуда постоянна, А – const.

Для сферической волны A(r) r −1 . Для цилиндрической волны A(r) r−12 .

Конспект лекций по Физике для студенческих групп				Z3111, Z3221,	Z3442k,			Z3532k	14
Вернемся к уравнению (47). Запишем фазу волну и продифференци-
руем ее, а потом зафиксируем (ϕ − const,			dϕ = 0).
ϕ = ω t − k x + ϕ		; dϕ = ωdt − kd x;	dϕ = 0; ωdt = kd x;			d x	= ω .
	0
						dt		k
Получилось выражение для фазовой скорости волны, т.е. для скорости, с ко-
торой перемещается зафиксированная фаза
		υ = ω k.						(49)
Здесь ω – циклическая частота колебаний, а k –				волновое число.

Интерференция волн.

Пусть имеются два точечных источника волн, которые колеблются синхронно, т.е. на одинаковых частота, всегда в одинаковых фазах. Эти источники являются когерентными. Расстояние между источниками – b.

	r
1
b
2	r1

r2

В

Рис. 12. Интерференция от двух источников.

Волны от обоих источников доходят до точки В. Амплитуда первой волны равна А1, второй волны – А2. Обратим внимание на то, что пути, пройденные первой и второй волнами – r1 и r2 разные. Сказанное значит, что волны приходят в точку B в разных фазах. Разность хода волн отмечена на рисунке.

r = r1 − r2	(50)
Пусть разность хода составляет целое число длин волн
r = mλ, где m – целое число.	(51)

В таком случае колебания от обеих волн в точке B происходят синхронно, они складываются друг с другом. Амплитуда результирующего колебания

A = A1 + A2 .

(52)

В рассмотренном случае наблюдается максимум интерференции.

Конспект лекций по Физике для студенческих групп	Z3111, Z3221, Z3442k,	Z3532k	15
Если разность хода составляет полуцелое число длин волн
r = (m +1 2)λ,	где m – целое число,	(53)

то колебания в точке B происходят в противофазе, они вычитаются друг из друга. Амплитуда результирующего колебания в таком случае равна

A =		A1 − A2		.	(54)

На практике амплитуда в этом случае часто оказывается близкой к нулю. В этом случае наблюдается минимум интерференции.

Разумеется, возможны случаи, когда не выполняется условие ни для максимума, ни для минимума. В таком случае амплитуда колебаний принимает промежуточное значение между (52) и (54).

Явление сложения колебаний от когерентных источников, при котором в пространстве образуются стационарные области, где эти колебания усиливают или ослабляют друг друга, называется интерференцией.

Стоячие волны.

Рассмотрим волну, бегущую вдоль шнура слева направо. Шнур закреплен на стене. Волны не могут бежать дальше, они отражаются в обратном направлении. В шнуре возникает наложение бегущей и отраженной волны.

		х	0
– падающая волна,		– отраженная волна
Рис.	13. Образование стоячей волны
ξпад	( x, t ) = A × cos(ωt - kx).		(55)

Считаем, что волна полностью, без потерь отражается от стены. Это значит, что амплитуды падающей и отраженной волн одинаковы. Фаза отраженной волны может отличаться от фазы падающей волны на α.

ξотр ( x, t ) = A × cos(ω t + kx + α ).

(56)

Конспект лекций по Физике для студенческих групп

Z3111, Z3221, Z3442k, Z3532k

16

Найдем сумму падающей и отраженной волн как сумму косинусов:

ξ ( x, t) = ξпад ( x, t) + ξотр ( x, t) =

A cos(ωt − kx) + A cos(ωt + kx + α ) =

=

A

(ωt − kx) − (ωt + kx + α )

(ωt − kx) + (ωt + kx + α )

=

cos

cos

2

2

2

=

A

ωt − kx − ωt − kx − α

ωt − kx + ωt + kx + α

=

(57)

cos

cos

2

2

2

=	A		−kx −	α
		cos
	2			2

		ωt +	α
cos
			2

=

A		α			ωt +	α
	cos kx +		cos
2		2				2

.

Поскольку шнур закреплен на стене в точке х = 0, эта точка должна всегда оставаться неподвижной.

ξ (0, t ) = 0;

cos (kx + α 2);

α = ± π .

(58)

Физически −π и +π –

это одно и то же, волна отражается в противофазе.

Поэтому, выберем то, что удобнее, а именно:

α = − π , и воспользуемся тем,

что косинус – четная функция.

A

π

π

A

π

ξ ( x, t) =

cos kx

−

cos ωt −

=

sin (kx) cos ωt −

.

(59)

2

2

2

2

2

Получившееся выражение не является бегущей волной (сравни с (47)).

В нем множитель cos (ωt − π 2) задает закон гармонических колебаний, а

множитель ( A2)×sin (kx) – амплитуду, зависящую от координаты. Ампли-

туда должна быть всегда положительной, значит, sin (kx) нужно взять по

модулю. Но в таком случае получится выражение отличное от (59). Оно будет неверным каждый второй полупериод. Чтобы исправить ошибку, одно-

временно с модулем поставим перед π/2 двойной знак M . В случае, когда sin (kx) > 0 , во втором сомножителе работает знак “ минус”, а когда

sin (kx) < 0 , – знак “ плюс”. Кроме того введем обозначение A 2 ≡ A0					и запи-
шем в окончательном виде:
ξ ( x, t) = A0		sin (kx)		cos (ωt M π 2).	(60)

Сравним получившееся выражение с уравнением бегущей волны (47). На рис.14 показаны мгновенные изображения бегущей (а) и стоячей (б) волн. Пунктиром показаны те же волны спустя малый промежуток времени.

Конспект лекций по Физике для студенческих групп	Z3111, Z3221, Z3442k, Z3532k 17
ξ	а
	х

ξ

б

Рис. 14. Мгновенные изображения бегущей и стоячей волн.

Из рисунка видно, что:

–бегущая волна за время наблюдения убежала слева направо, а стоячая – осталась на месте;

–соседние точки бегущей волны колеблются в разных фазах, а соседние точки в стоячей – в одинаковых.

Посмотрим подробнее, как происходят колебания в стоячей волне.

ξ

						х
Рис. 15. Стоячая волна.
На рис.15 пунктирной линией показана функция ± A(x)						амплитуда, в за-
висимости от координаты	A(x) = A0		sin (kx)		.	(61)

Эта функция имеет узлы и пучности. Найдем координаты узлов, т.е. нулей:

sin (kx) = 0; kx = π m;		2π x	= π m;
x = λ × m,		λ
	где m – целое число.			(62)
2

∙Все точки, расположенные между соседними узлами, колеблются в одинаковых фазах.

∙Все точки, расположенные по разные стороны от узла, колеблются в противоположных фазах.

Измерив на опыте расстояние между соседними узлами. Можно найти длину волны.