Первичные изм. преобразователи. Часть 1
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Наиболее распространенные уравнения пьезоэффекта |
Таблица 4.2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Выбираемые величины |
Дифференциалы |
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнения |
|
Термодинамические |
Соотношение |
Уравнение |
|||||||||||||||||||||||||||
|
Независимые |
Функции |
функций |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для |
|
|
функции |
взаимосвязей |
пьезоэффекта |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
определения |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
производных |
|
|
|
|
|||
|
δi |
εj |
dε |
|
= |
|
∂ε j |
|
dδ |
|
|
+ |
|
|
∂ε j |
|
|
dE |
|
дεj /дδi = SijE |
H = V – D mEm - δiεj |
|
εi = SijEδi + |
|||||||||||||||||||
|
|
|
j |
|
∂δi |
i |
|
∂Em |
|
m |
|
|
|
|
|
|
дεi/дЕm=дDm/дδi= |
dmiЕm |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Еm |
Dm |
dDm |
|
= |
|
|
|
∂Dm |
dδi |
+ |
|
∂Dm |
|
dEm |
дDm |
/дЕm |
= |
dH = - εjdδi – DmdЕm |
dmi |
Dm=εδmnEm+dni |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂δ |
|
|
|
|
|
|
∂δ |
|
|
|
ε |
δ |
|
|
|
|
|
δ |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
mn |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
||||||
|
εj |
δi |
dδi |
= |
|
∂δi |
|
|
∂ε j + |
|
|
∂δi |
|
|
dEm |
|
дδi |
/ дεj |
= |
H2 = V – E mDm |
|
δi = CijE εi + |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
emiЕm |
||||||||||||||||
|
|
|
∂ε j |
|
∂Em |
|
|
|
|
|
|
|
|
дδi /дЕ=дDm/дεi |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cij |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
|
|
Еm |
Dm |
|
|
|
|
|
|
|
∂Dm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂Dm |
|
|
|
|
|
дDm |
/дЕm |
= |
dH2 = δidεj – DmdЕm |
|
|||||||||||
150 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= - emi |
ε |
||||||||||||||||||
|
|
dDm |
|
= |
|
|
|
∂ε j |
∂ε j |
|
+ |
|
∂Em |
|
|
dEm |
|
ε |
|
|
|
|
|
Dn=ε mnEm+eni |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε mn |
|
|
|
|
|
εi |
||||||||||
|
δi |
εj |
dε j |
= |
|
∂ε j |
|
|
∂δi + |
|
|
∂ε j |
|
|
dDm |
дεj |
/дδi = - |
H1 = V – εjδi |
|
εi = SijDδj + |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
SijD |
|
|
|
|
|
gmiDn |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂δi |
|
|
∂Dm |
|
|
|
|
|
дεi/дDm = |
||||||||||||||||||||||||||||
|
D |
Е |
|
|
|
|
|
|
|
∂D |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂E |
m |
|
|
|
|
|
дЕ / дD = |
dH = - ε dδ + Е dD |
дЕm/дδi= - gmi |
Em= βmnDn - |
|||||||||||
|
m |
m |
dEm |
|
= |
|
|
|
|
|
∂δi |
|
+ |
|
|
|
|
|
dDm |
|
δ m |
m |
|
1 |
j i m m |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂δi |
|
|
|
∂Dm |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β mn |
|
|
|
|
|
gmj δj |
||||||||||||
|
εj |
δi |
dδi |
= |
|
∂δi |
|
|
dε j + |
|
|
|
∂δi |
|
|
dDm |
дδi |
/ дεj |
= |
A= v |
|
|
δi = CijD εi - |
|||||||||||||||||||
|
|
|
∂ε j |
|
|
|
∂Dm |
|
|
D |
|
|
|
|
дδi/дDm = дЕm/дεi |
hnjDn |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cij |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= - hmi |
|
||||||||||||
|
Dm |
Еm |
|
|
|
|
|
|
|
∂Em |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂Em |
|
|
|
|
|
дЕm / дDm = |
dA = δidεj + DmdЕm |
ε |
||||||||||||||
|
|
|
dEm |
|
= |
|
|
|
∂ε j |
dε j |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
dDm |
|
ε |
|
|
|
|
|
Em= β mnDn- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂Dm |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β mn |
|
|
|
|
|
hmi εi |
||||||||||||
|
εj |
δi |
dδ |
|
|
= |
|
|
∂δi |
|
|
∂ε |
|
|
+ |
|
|
∂δi |
|
|
dB |
|
|
|
дδi |
/ дεj |
= |
dv= δidεj + HmdBm |
|
δi = Cijβεi - |
||||||||||||
|
|
|
j |
|
|
|
∂ε j |
|
|
j |
|
|
∂Bm |
|
m |
Cijβ |
|
|
|
|
дδi/дBm=дHm/дεi |
£njBn |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Bm |
Hm |
dH m = |
|
∂H m |
dε j |
+ |
∂H m |
dBm |
дHm |
/дBm |
= |
|
|
= - £mi |
Hm= 1/µSmn Bn |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂ε j |
∂Bm |
|
S |
|
|
|
|
|
- £mi εi |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/µ mn |
|
|
|
|
Из певого уравнения системы можно записать
δ xx = C E . |
(4.4.45) |
ε xx |
|
11 |
|
Подставим (4.4.44) и (4.4.45) в первое уравнение системы (4.4.43)
δ xx |
= |
C11E + e112 |
= C D . |
(4.4.46) |
|
|
ε ε |
||||
ε |
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xx |
11 |
|
|
Отсюда CD11>CE11, т.е. модуль упругости измерений при постоянном поле, меньше, чем модуль упругости, измеренный при постоянной индукции.
Теперь допустим, что δxx = 0. Из уравнения (4.4.43) находим
ε |
|
= |
e2 |
E |
x |
|
(4.4.47) |
xx |
11 |
|
. |
||||
C E |
|
||||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
11 |
|
|
|
Подставим (4.4.47) во второе уравнение системы (4.4.43)
D |
ε ε |
+ e2 |
= ε δ . |
||
|
x |
= |
11 |
11 |
|
E |
|
|
C E |
11 |
|
x |
|
||||
|
|
11 |
|
Перепишем уравнения (4.4.46) и (4.4.48) следующим образом:
|
|
1 + e2 |
|
|
|
||
C11D = |
11 |
|
C11E |
, |
|||
C Eε ε |
|
||||||
|
|
|
|
|
|||
|
11 11 |
|
|||||
|
1 + e2 |
|
|
||||
|
|
||||||
ε11δ |
= |
|
11 |
|
ε11ε . |
|
|
|
E δ |
||||||
|
C11ε11 |
|
|
(4.4.48)
(4.4.49)
Если систему (4.4.49) разрешить по отношению к множителю в скобках и приравнять левые части полученных уравнений, тогда
|
|
C Dε ε |
|
= C Eε δ . |
|
|
(4.4.50) |
||||||
|
|
|
11 |
11 |
|
|
11 |
11 |
|
|
|
||
Обозначим выражение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e2 |
|
|
|
|
e2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= K11 . |
|
|
(4.4.51) |
|
|
C Eε ε |
|
C Eε δ |
|
|
||||||||
11 |
11 |
|
|
|
11 |
11 |
|
|
|
|
|
||
С учетом выражения (4.4.51) уравнение (4.4.49) перепишем в виде |
|
||||||||||||
|
|
|
C D |
= C E (1 + K 2 |
), |
|
|||||||
|
|
|
|
11 |
|
|
11 |
11 |
|
|
(4.4.52) |
||
|
|
|
ε δ = ε ε (1 + K 2 ). |
, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
11 |
|
|
11 |
|
11 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
151 |
|
|
|
|
где К11 - коэффициент электромеханической связи. Первый индекс при коэффициент электромеханической связи указывает на направление распространения энергии, второй соответствует той деформации, при которой эта энергия накопилась.
И, наконец, для прямого пьезоэффекта можно записать:
Pxx = e11 εxx + e12 εyy + e13 εzz + e14 εyz + e15 εxz + e16 εxy,
Pyy = e21 εxx + e22 εyy + e23 εzz + e24 εyz + e25 εxz + e26 εxy, |
(4.4.53) |
Pzz = e31 εxx + e32 εyy + e33 εzz + e34 εyz + e35 εxz + e36 εx.;
Или в другой форме
- Pxx = d11 δxx + d12 δyy + d13 δzz + d14 δzy + d15 δzx + d16 δxy,
- Pyy = d21 δxx + d22 δyy + d23 δzz + d24 δzy + d25 δzx + d26 δxy, |
(4.4.54) |
- Pzz = d31 δxx + d32 δyy + d33 δzz + d34 δzy + d35 δzx + d26 δxy.
Подобным образом могут быть записаны для обратного пьезоэффекта:
-δxx = e11 Еx + e21 Еy + e31 Еz,
-δyy = e12 Еx + e22 Еy + e32 Еz,
-δzz = e13 Еx + e23 Еy + e33 Еz,
- δzy = e14 Еx + e24 Еy + e34 Еz, |
(4.4.55) |
-δzx = e15 Еx + e25 Еy + e35 Еz,
-δxy = e16 Еx + e26 Еy + e36 Еz.
Уравнения для деформации имеют вид
εxx = d11 Еx + d21 Еy + d31 Еz,
εyy = d12 Еx + d22 Еy + d32 Еz,
εzz = d13 Еx + d23 Еy + d33 Еz,
ε yz = d14 Еx + d24 Еy + d34 Еz, |
(4.4.56) |
εxz = d15 Еx + d25 Еy + d35 Еz,
εxy = d16 Еx + d26 Еy + d36 Еz.
152
Составим матрицу для пьезомодулей уравнения (4.4.55)
e11 e12 e13 e14 e15 e16,
e21 e22 e23 e24 e25 e26, , |
(4.4.57) |
e31 e32 e33 e34 e35 e36.
где строки - это направление поля, столбцы - деформации. Пьезоэлектрические уравнения позволяют описать работу
преобразователей в режимах приема и излучения. Результаты приведенных исследований представляют интерес для изучения колебательных систем, имеющих форму различных геометрических тел таких как стержни, пластины, кольца.
4.5. Колебания стержня в электрическом поле, параллельном его толщине. Продольный пьезоэффект
Колебания, обусловленные деформацией растяжение-сжатие (продольные), имеют простую зависимость с постоянными кристалла. Рассмотрим пьезоэлектрический стержень (рис.4.5.1,а), толщина которого выбирается вдоль оси Х, длина - вдоль оси Z, ширина вдоль оси Y. Если на поверхности, перпендикулярной оси X нанести электроды, то единственной компонентой поля, отличной от нуля, будет Еx. При этом
Еy = Еz = 0, |
(4.5.1) |
поскольку к другим поверхностям электрическое напряжение не подводится. Электроды являются эквипотенциальными поверхностям, а поэтому в качестве электрических граничных условий примем постоянство поля Е. В свою очередь, эти граничные условия определяют выбор независимых переменных. В данном случае первой независимой переменной является Е.
Предположим, что длина стержня много больше, чем два других поперечных размера, а поэтому для плоской волны, распространяющейся вдоль оси X характерно постоянство деформаций. Тогда в качестве второй независимой переменной примем ε.
153
Рис.4.5.1. Схема стержня в электрическом поле, параллельном его
толщине:
а – к общей постановке задачи; б – с учетом граничных условий; в – электромеханическая схема
При указанных граничных условиях уравнения пьезоэффекта можно записать следующим образом:
E |
|
|
|
|
|
|
|
δ xx = C11ε xx − e11Ex |
, |
(4.5.2) |
|||||
D = ε ε |
|
|
+ e ε |
|
|
|
|
E |
x |
xx |
. |
|
|||
x 11 |
|
11 |
|
|
|
В стержне выделим элементарный объем с ребрами dx, dy, dz. Согласно закону Ньютона для такого объема можно составить уравнение движения:
ρdxdydz ∂2ξ = F , |
(4.5.3) |
dt2 x
где ρ - плотность; ξ - смещение вдоль оси X; Fx - компоненты сил, действующих на элементарный объем вдоль оси X. Равнодействующая сил, действующих на элементарный объем, может быть получена из соотношений
154
F = |
¶δ xx |
+ |
¶δ yx |
+ |
¶δ zx |
. |
(4.5.4) |
|
|
|
|||||
x |
¶x |
¶y |
¶z |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
В данном случае рассматривается элементарный объем, в котором волна распространяется вдоль оси Х. Тогда уравнение движения можно представить в виде
ρ × ¶2ξ = ¶δ xx . ¶t 2 ¶x
Продифференцируем уравнения (4.5.2) и получим
¶δ xx |
E ¶ε xx |
|
|
¶Ex |
|
||||||
|
|
= C11 |
|
|
- e11 |
|
|
, |
|||
¶x |
¶x |
¶x |
|||||||||
¶Dx |
|
|
¶Ex |
|
|
¶ε11 |
|
|
|||
= ε ε |
+ e |
. |
|
||||||||
|
|
|
|||||||||
¶x |
|
|
¶x |
|
¶x |
|
|||||
|
|
11 |
|
|
|
11 |
|
|
|
|
Так как внутри элементарного объема dv D = 0, т.е.
∂Dx = 0 ,
¶x
то из уравнения (4.5.6) находим
∂Ex = - e11 × ∂ε xx .
¶x ε11ε ¶x
Подставим выражение (4.5.8) в первое уравнение системы (4.5.6):
(4.5.5)
(4.5.6)
(4.5.7)
(4.5.8)
¶δ xx |
2 |
|
¶ε xx |
|
¶ε xx |
|
2 |
|
||||
= C11E |
¶ε xx |
+ |
e11 |
× |
= |
C11E |
+ |
e11 |
. |
|||
¶x |
|
|
|
|
ε11ε |
|||||||
|
¶x ε11ε |
|
¶x |
¶x |
|
|
Выражение в квадратных скобках обозначим как C11D и учтем, что
¶ε xx = ¶2ξ , ¶x ¶x2
(4.5.9)
(4.5.10)
так как ε xx |
= |
∂ξ . Тогда уравнение движения для рассматриваемого случая |
|||
|
|
¶x |
|
|
|
с учетом (4.5.5) и (4.5.9) запишется в виде |
|
||||
|
|
¶2ξ |
C D |
¶2ξ |
|
|
|
¶t 2 = |
11 |
× ¶x2 . |
(4.5.11) |
|
|
ρ |
Из уравнения (4.5.11) скорость продольной волны может быть определена как
155
V D = |
C11D |
. |
(4.5.12) |
|
|||
|
ρ |
|
Решение уравнения (4.5.11) будем искать в виде стоячей волны:
|
|
ξ = |
|
A sin |
Ω |
x + A cos |
Ω |
x |
e jΩt , |
(4.5.13) |
|||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
1 |
|
V |
D |
2 |
V |
D |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
Ω |
= K . Множитель |
e jΩt |
|
отбросим, так как нас интересуют только |
||||||||
|
|
||||||||||||
V D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
амплитудные значения переменных величин. Определим произвольные постоянные А1 и A2. Предположим, что стержень находится в среде и граничные условия можно представить в виде схемы, приведенной на рис. 4.5.1,б или следующим образом:
при х = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F1 |
|
|
|
||
ξ |
|
х |
=0 |
= −ξ ; δ |
xx |
|
x=0 |
= −V Z − |
|
, |
|
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 1 |
|
|
Scm |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.5.14) |
|||||
при х = t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ξ |
|
|
|
= ξ |
|
δ |
|
|
|
|
|
= −V Z |
|
− |
F2 |
|
|
|
|
||||
|
х |
=t |
; |
xx |
x=0 |
2 |
. |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
S |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cm |
|
|
||
где V1 = jΩ ξi – |
|
колебательная |
скорость; |
Z1 |
= ρ1V1Scm; Z2 = ρ2V2Scm – |
механическое сопротивление; Scm – площадь стержня.
Для определения произвольных коэффициентов из выражения (4.5.13) воспользуемся граничными условиями:
- ξ1 = A2
ξ2 |
= A1 sin |
Ω |
t − ξ1 cos |
Ω |
t . |
(4.5.15) |
||||||||
D |
D |
|||||||||||||
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
||
Из второго уравнения (4.5.15) определим |
|
|
|
|||||||||||
|
|
ξ |
|
+ ξ cos |
Ω |
t |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
A = |
|
2 |
1 |
|
|
V D |
. |
|
|
(4.5.16) |
|||
|
|
|
sin |
|
Ω |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
V D |
|
|
|
Тогда общее решение уравнения движения примет вид
156
|
ξ |
|
+ ξ cos |
Ω |
t |
|
Ω |
|
Ω |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ξ = |
|
2 |
1 |
V |
D |
sin |
x − ξ1 cos |
x . |
(4.5.17) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
sin |
Ω |
|
|
V D |
V D |
|||||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
V D |
|
|
|
|
|
|
|
|
Воспользуемся уравнениями для пьезоэффекта (4.5.2), с учетом граничных условий для напряжений (4.5.14)
- V1 Z1 |
- F1 |
= C E |
εxx Scm – e 11Ex Scm,, |
|
|
|
11 |
|
|
- V2 Z2 |
– F 2 |
= C E |
εxx Scm – e 11Ex Scm.. |
(4.5.18) |
|
|
11 |
|
|
Из уравнения (4.5.8) |
определим Ex с учетом того, что F1 |
и F2 – силы |
давления, созданные на поверхности стержня падающей на него акустической волной:
E |
x |
= − |
e11 |
|
∫ |
∂ε xx |
dx = − |
e11ε xx |
|
+ const . |
(4.5.19) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
ε ε |
∂x |
|
|
|
ε ε |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
Потенциал между |
обкладками |
стержня |
−∫ Ex dx = V . |
Таким образом, |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
можно определить постоянную интегрирования: |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
t |
|
∂ξ − const dx = V . |
|
||||||||||||||||
|
|
−∫ |
e11 |
|
(4.5.20) |
|||||||||||||||||
|
|
|
ε |
|
||||||||||||||||||
|
|
0 ε11 |
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
e11 |
(ξ + ξ |
2 |
) + t const = V . |
(4.5.21) |
|||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
ε ε |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
const = |
V |
+ |
|
e11 |
(ξ + ξ |
|
) . |
|
||||||||||||
|
|
|
ε ε t |
2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.5.22) |
Возвращаясь к уравнению (4.5.19) и подставляя значение произвольной постоянной, можно записать уравнение для напряженности электрического поля:
E |
x x=0 |
= − |
e11ε xx |
+ |
V |
+ e |
ε ε t (ξ + ξ |
|
) = |
V |
− |
e11 |
|
ε |
|
−1 t (ξ + ξ |
|
) |
|
. |
(4.5.23) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
ε |
|
2 |
|
ε |
xx |
2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
11 |
11 1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||
|
x=t |
|
ε11 |
|
t |
|
|
|
|
t ε11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
157
Подставив (4.5.23)
V1Z1 - F1 = C11Eε xx Scm
|
|
e2 |
|
|
= Scmε xx C11E |
+ |
11 |
|
|
ε11ε |
||||
|
|
|
в (4.5.18), найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
V |
|
|
e |
|
ε xx -1 t (ξ1 |
+ ξ2 ) |
|
|
|||||||||
- Scme11 × |
|
|
- |
11 |
|
|
= |
|||||||||||
|
|
ε11ε |
|
|||||||||||||||
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.5.24) |
||||
e S |
|
|
|
|
e2 |
S |
|
|
|
|
|
|
||||||
cm |
|
(ξ1 |
+ ξ2 ) |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
x=0 - |
11 |
V - |
|
|
11 |
cm |
|
x=t . |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
ε |
|
||||||||||||
|
t |
|
|
|
|
|
ε11t |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставим уравнение (4.5.23) во второе уравнение (4.5.18) и получим
-V Z |
2 |
- F = C Eε |
S |
cm |
|
- S |
cm |
e E |
x |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
2 |
|
11 xx |
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e2 |
|
|
|
|
|
|
|
e S |
|
|
|
|
|
|
|
|
e2 |
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.5.25) |
|||||||||||||||||||||||||||
= ε xx Scm |
C11E + |
|
11 |
|
|
|
x=0 - |
|
|
|
11 |
|
|
cm |
|
V |
- |
|
|
11 |
|
|
cm |
(ξ1 |
+ ξ2 ) |
x=t . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε11 |
|
|
|
|
e2 |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε11t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
cm |
|
= ϕ , тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Введем обозначение |
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e112 Scm2 t |
= |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
× |
e112 Scm2 |
|
= ϕ 2C , |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
ε S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε ε S |
|
t |
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cm |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
cm |
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
cm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
ε ε S |
cm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(стержня) при |
|||||
где |
C |
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
– |
|
|
|
емкость |
|
|
|
|
плоского |
конденсатора |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
cm |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
отсутствии деформации. Так как смещение ξ = |
V1 |
|
|
; ξ |
|
|
= |
V2 |
и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
jW |
|
|
jW |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C11E + |
e11 |
|
= C11D , то уравнение (4.5.24) может быть переписано в виде |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ε11ε |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
-V1Z1 - F1 = C11Dε xx Scm |
|
-ϕV - |
ϕ |
2 |
|
|
V1 |
+ |
V2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ccm |
jW |
|
|
|
jW |
|
|
||||||||||||||
Или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
C11D Scmε xx |
|
x=0 + j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(V1 +V2 ) + V1Z1 + F1 |
= ϕV , |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CcmW |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.5.26) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
C11 Scmε xx |
|
x=t + j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(V1 + V2 ) +V2Z2 + F2 |
|
= |
ϕV . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CcmW |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Из уравнения (4.5.17) определим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ + ξ |
|
cos |
|
|
|
W |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
¶ξ |
|
|
|
|
W |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ξ1 sin |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
¶x V D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V D |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin V D t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
158
Отсюда
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ω |
|
ξ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ω |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
ε |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ξ ctg |
|
|
|
|
t = |
|
|
||||||||||||
xx |
|
x=0 |
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
Ω |
|
|
D |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin V D t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ξ |
|
|
+ ξ ctg |
|
|
Ω |
t sin |
|
Ω |
t + ξ |
− ξ |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
Ω |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
V |
D |
|
|
V |
D |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
(4.5.27) |
|||||||
V |
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin V D t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
V + V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= |
1 |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
jV tg |
|
|
|
|
|
|
t |
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
Ω |
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
sin V D t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где VD– скорость распространения волны. Аналогичным образом можно получить
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
|
|
= − |
1 |
|
V + V |
− jV tg |
|
Ω |
|
|
|
|
|
(4.5.28) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
1 |
2 |
|
|
|
|
t . |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xx |
x=t |
|
D |
|
|
Ω |
|
|
|
D |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
1 |
|
2V |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin V D t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Если учесть, что Z0 = VDβScm, то из первого выражения системы (4.5.26) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
можно получить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
Z |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
ϕ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ω |
|
|
|
|
|
(4.5.29) |
|||||
|
|
− j |
|
Ω |
|
(V1 |
+ V2 ) + j ΩCcm (V1 + V2 ) + jV1Z0tg 2V D t + V1Z1 + F1 = |
ϕV |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
sin V D t |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Из второго уравнения (4.5.26) с учетом (4.5.28) имеем |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
− j |
|
|
Z |
|
|
|
(V + V |
) + j |
ϕ 2 |
(V + V |
) + jV Z |
tg |
D |
|
t + V Z |
|
+ F = ϕV (4.5.30) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
Ω |
|
|
|
ΩCcm |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
2 0 |
|
2V D |
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|||||||||
|
|
sin V D t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Ток, протекающий через стержень, определяется из уравнения |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i = j Ω ScmDx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.5.31) |
|||||||||
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i = j Ω СcmV + φ(V1 + V2). |
|
|
|
|
|
|
|
(4.5.32) |
||||||||||||||
|
Уравнения (4.5.29), (4.5.30) и (4.5.32) позволяют построить |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
электромеханическую схему стержня (рис.4.5.1,в). |
|
|
|
|
|
|
159