Теория вероятностей - Учебник

P(A + B)= P(A)+ P(B)− P(AB).

n ≥ log0,5 0,05 = lnln0,050,5 ≈ 4,32 . Таким образом, требуется минимум 5 стрел-

ков.

Пример: Один дуэлянт попадает в цель с вероятностью 50%, а второй с вероятностью 75%. Как должно соотноситься количество выстрелов первого и второго дуэлянтов для того, чтобы шансы были равны?

Пусть первый дуэлянт производит n выстрелов. Его вероятность не попасть после n выстрелов 0,5n . Второй дуэлянт производит m выстрелов. Он не попадет после m выстрелов с вероятностью 0,25m . Остается определить при каком соотношении между n и m их шансы равны. Приравняем 0,5n = 0,25m или 0,5n = 0,52m . Отсюда, n / m = 2 , то есть соотношение выстрелов должно быть 2:1.

§5.7. Теорема сложения вероятностей совместных событий

Теорема: Вероятность появления хотя бы одного из совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного появления:

Без доказательства.

Замечание: В случае несовместных событий P(AB)=0 и мы получаем

формулу для вероятности суммы несовместных событий.

Пример: Даются 2 задачи. Зачет ставится при решении хотя бы одной. Какова вероятность получить зачет, если вероятность решить первую задачу

– 0,5; вторую – 0,7?

Пусть событие A состоит в том, что решена первая задача, а событие B – вторая. События независимы, поэтому вероятность решения хотя бы одной из задач по теореме о наступлении хотя бы одного из независимых событий

P(A + B)=1− P(A)P(B )=1−(1− P(A))(1− P(B))=1−0,5 0,3 = 0,85.

Использую теорему о сумме совместных событий получаем тот же ответ:

P(A + B)= P(A)+ P(B)− P(AB)= P(A)+ P(B)− P(A)P(B)=

= 0,5 + 0,7 −0,5 0,7 = 0,85 .

Пример: Вероятность попасть в цель равна 0,5. Какова вероятность попасть с двух выстрелов?

Пусть событие A заключается в том, что мишень поражена с первого выстрела, а событие B – со второго. События независимы, поэтому вероят-

71

ность попадания хотя бы с одного выстрела по теореме о наступлении хотя бы одного из независимых событий

P(A + B)=1− P(A)P(B)=1−(1− P(A))(1− P(B))=1−0,5 0,5 = 0,75 .

Использую теорему о сумме совместных событий получаем тот же ответ:

P(A + B)= P(A)+ P(B)− P(AB)= P(A)+ P(B)− P(A)P(B)=

= 0,5 + 0,5 −0,5 0,5 = 0,75.

§5.8. Формула полной вероятности и формулы Байеса

Пусть имеется полная группа несовместных событий B1, B2 ,…, Bn – гипоте-

зы. Пусть некоторое событие A может наступить при условии появления одного из этих событий с известными условными вероятностями: PB1 (A) ,

PB2 (A) ,…, PBn (A) . Возникает вопрос, как посчитать безусловную вероят-

ность события A. Ответ дает следующая теорема.

Теорема (формула полной вероятности): Пусть B1, B2 ,…, Bn – полная

группа несовместных событий (гипотезы). Если известны условные вероятности PB1 (A) , PB2 (A) ,…, PBn (A) , то безусловную вероятность наступле-

ния события A можно посчитать по формуле:

P( A) = ∑n PBj (A)P(Bj )= PB1 (A)P(B1 )+ PB2 (A)P(B2 )+…+ PBn (A)P(Bn ).

j=1

Без доказательства.

Пример: Вам надо купить определенную книгу. Всего 3 магазина. Вероятность того, что книга будет куплена в первом магазине – 50%, во втором – 30%, в третьем – 20%. В первом магазине 40% книг пиратского издания, во втором 50% пиратских книг и в третьем – 20%. Какова вероятность, что купленная вами книга окажется пиратского издания?

Обозначим через B1 , B2 , B3 – события, заключающиеся в том, что мы по-
пали в первый, второй и третий магазины соответственно, а событие A то ,
что купленная книга пиратская.		По условию	P(B1 )=0,5 ,	P(B2 )=0,3 и
P(B3 )=0,2 . События B1 , B2 ,	B3	несовместны и образуют полную группу.
Из условия известно также,	что	PB (A)= 0,4 ,	PB (A)= 0,5,	PB (A)= 0,2 .
		1	2	3

Используя формулу полной вероятности, найдем, что вероятность купить пиратскую книгу (не важно в каком магазине) равна

P( A) = PB1 (A)P(B1 )+ PB2 (A)P (B2 )+ PB3 (A)P(B3 )= = 0,5 0, 4 +0,3 0,5 +0, 2 0, 2 = 0,39 .

Пример: К больному с приступом аппендицита приехала скорая помощь. В городе четыре больницы (№1, №2, №3, №4). Вероятность попасть в первую больницу – 10%, во вторую – 20%, в третью – 30% , в четвертую – 40%. В первой больнице вероятность послеоперационного осложнения – 50%, во второй – 30%, в третьей – 20%, в четвертой – 5%. Какова вероятность, что у больного операция пройдет без осложнений?

72

Обозначим через B1 , B2 , B3 и B4 события, заключающиеся в попадании в

больницы №1, №2, №3 и №4, соответственно, причем их вероятности по
условию равны P(B1 )=0,1, P(B2 )=0,2 , P(B3 )=0,3 и P(B4 )=0,4 . Пусть
A это событие «операция прошла без осложнений» и как следует из усло-
вия PB (A)= 0,5 ,		PB (A)= 0,7 ,	PB (A)= 0,8 ,	PB (A)= 0,95. По формуле
1		2	3	4
полной вероятности имеем:
P( A) = ∑4	PBj (A)P(Bj )=0,5 0,1+0,7 0,2 +0,8 0,3 +0,95 0,4 =0,81.
j=1

Теорема (формулы Байеса): Пусть A может наступить при условии появления одного из несовместных событий B1, B2 ,…, Bn , образующих полную

группу. Допустим, что произведено испытание, в результате которого произошло событие A. Тогда вероятность того, что реализовалась гипотеза Bi , если известно, что событие A произошло может быть вычислена по

формулам:

P	(B )=	PB (A)P(Bi )	=	PB		(	A)P(Bi )	.
		i			i
		P(A)		∑n
A	i				PBj (A)P(Bj )
				j=1

Доказательство: По теореме умножения вероятностей

P(ABi )= P(A)PA (Bi )= P(Bi )PBi (A).

Выражая PA (Bi ), найдем

PA (Bi )= P(Bi )(PBi)(A). P A

Знаменатель можно представить, используя формулу полной вероятности. Теорема доказана.

Пример: Вернемся к задаче с аппендицитом. Допустим, известно, что некоторый человек был отвезен скорой в некоторую клинику и прооперирован удачно. Какова вероятность того, что операция производилась в 1,2,3 и 4 клиниках?

Сохраняя прежние обозначения, и используя найденное выше P( A) =0,81, по формулам Байеса имеем:

P (B ) =						P(B1)PB		( A)					=		0,1 0,5		≈ 0,062 ,
							1
A	1					P( A)									0,81
P (B ) =					P(B2 )PB		( A)				=			0,2 0,7			≈ 0,173	,
				2
A	2					P( A)									0,81
P (B ) =					P(B3 )PB		( A)			=				0,3 0,8		≈ 0,296		,
					3
A	3					P( A)									0,81
P (B ) =			P(B4 )PB ( A)							=				0,4 0,95			≈ 0,469 .
				4
A	4					P( A)									0,81

Пример: То же, но операция прошла неудачно. 73

Безусловная вероятность

того,

что операция прошла неудачно

P(

)=1− P(A)=0,19 . Используя формулы Байеса, получим:

A

P(B1 )PB

(

)

P

(B )=

A

= 0,1

0,5 ≈ 0,263,

1

A

1

P(A)

0,19

P(B2 )PB

(

)

P

(B )=

A

= 0,2

0,3 ≈ 0,316 ,

2

A

2

P(A)

0,19

(B )=

P(B3 )PB3 (

)

= 0,3 0,2 ≈0,316 ,

P

A

A

3

P(A)

0,19

P(B4 )PB (

)

P

(B )=

A

= 0,4

0,05 ≈ 0,105 .

4

A

4

P(A)

0,19

Пример: Вернемся к задаче с книжными магазинами и пиратскими изданиями. Вы купили пиратскую книгу в каком то из трех магазинов. Какова вероятность, что в 1-ом магазине, 2-ом, 3-ем?

Сохраняя прежние обозначения, применим формулы Байеса:

P (B ) =			P(B1)PB ( A)			=	0,5 0,4	≈0,513	,
		1
A	1		P( A)				0,39
P (B ) =			P(B2 )PB	( A)		=	0,3 0,5	≈ 0,385,
		2
A	2		P( A)				0,39
P	(B ) =		P(B3 )PB	( A)		=	0,2 0,2	≈0,103.
			3
A	3		P( A)				0,39

§5.9. Повторение испытаний. Формула Бернулли. Локальная предельная теорема Лапласа

Пусть проводится n независимых испытаний, в каждом из которых событие A может появиться с вероятностью p и не появиться с вероятностью

q =1− p . Обычно, первый из двух возможных исходов называют удачей, а

второй – неудачей. Поставим задачу, выяснить вероятность того, что за n испытаний произошло ровно k удач не важно в какой последовательности

( k ≤ n ).

При заданной последовательности удач и неудач вероятность равна pk qn−k

(испытания независимы). Число различных способов, каким могут быть расположены k удач из n испытаний всего по формулам комбинаторики

равно Cnk . По формуле для вероятности суммы несовместных событий, для

вероятности ровно k удач из n испытаний всего получаем (формула Бернулли):

P	(k )=Ck pk qn−k =	n!	pk qn−k .
n	n

k!(n −k)!

Рассмотрим несколько предельных случаев: 74

1)Pn (n)=Cnn pnq0 = nn!0!! pn = pn ,

2)Pn (0)=Cn0 p0qn = 0!nn!!qn = qn ,

	3) Pn (1)=Cn1 pqn−1 =	n!		pqn−1 = npqn−1 .
		(n −1)!1!

Пример: Кубик бросается 10 раз. Какова вероятность того, что 3 раза выпадет единица?

Вероятность удачи		(выпала		единица)					p =1/ 6 ,					вероятность неудачи
q =5/ 6 . По формуле Бернулли
	P	(3)=C3	1	3		5	7 =	10! 1			3		5	7 =
	10	10				6							6
			6					3!7! 6
=	8 9 10 1		3	5 7		=120			1 3	5 7			≈0,155
	2 3 6			6					6	6

Пример: Тест состоит из 10 вопросов, по 4 варианта ответа на каждый вопрос. Один ответ верный, остальные – нет. Какова вероятность случайно ответить верно не менее, чем на 1 вопрос, 2 вопроса, 3,4,5…?

Вероятность удачи (верного ответа) p = 0,25 , вероятность неудачи q = 0,75 . По формуле Бернулли вычислим вероятности ответить ровно на 1 вопрос, ровно на 2 вопроса и т.д.

				P	(0)=C			0 p0q10 = 0,7510 ≈ 0,056 ,
				10			10
			P10 (1)=C101 pq9 =10 0,25 0,759 ≈ 0,188,
	P		(2)=C			2	p2q8	= 9 10 0,252 0,758 ≈ 0,282 ,
	10				10			2
	P	(3)=C3					p3q7	= 8 9 10 0,253 0,757 ≈ 0,25 ,
	10				10			2 3
P	(4)=C				4 p4q6 = 7 8 9 10 0,254 0,756 ≈0,146 ,
10				10				2 3 4
P	(5)		=C5		p5q5 = 6 7 8 9 10 0,255 0,755 ≈0,058 ,
10				10				2 3 4 5
P	(6)			=C6	p6q4 = 7 8 9 10 0,256 0,754 ≈ 0,0162 ,
10				10				2 3 4
P		(	7)=C7			p7q3 = 8 9 10 0,257 0,753 ≈0,003,
	10				10			2 3
P		(8)=C8				p8q2 = 9 10 0, 258 0,752 ≈ 0,00039 ,
	10				10			2
	P			(9)=C9 p9q =10 0,259 0,75 ≈ 0,000029 ,
		10				10

P10 (10)= p10 ≈10−6 .

75

Так как события «ответить правильно ровно на 1 вопрос», «ответить правильно ровно на 2 вопроса» и т.д. несовместны, находим:

P10 (k ≥1) =1− P10 (0) ≈1−0,056 ≈0,944 ,

P10 (k ≥2) =1− P10 (0) − P10 (1) ≈1−0,056 −0,188 ≈0,756 ,

P10 (k ≥3) ≈0,47 , P10 (k ≥4) ≈0,22 , P10 (k ≥5) ≈0,078 .

Вычисления по формулам Бернулли сложны при большом числе испытаний n из-за вычисления больших значений факториала. Имеет место приближенная формула (формула Лапласа):

		P (k )≈		1	e−	(k −np)2
						2npq .
		n		2πnpq
Пример: Вернемся к задаче с тестами.
По формуле Бернулли P10		(2)≈0,282 .
	(2)≈			1			−	(2−2,5)2
По формуле Лапласа P							e	2 10 0,25 0,75	≈ 0,273 .
10			2π 10 0,25 0,75

76