Высшая матматика том2

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 2.”

В то же время	yi =		f (xi ) − f (xi−1 )
			xi
	xi
Тогда можно показать (см. Интегрируемая функция.), что
					n	b		dy			2
			S = maxlimxi →0		∑	Si = ∫	1	+			dx
					i=1	a		dx
b	′	2	dx
Т.е. S = ∫ 1+ (f (x))

a

Если уравнение кривой задано параметрически, то с учетом правил вычисления производной параметрически заданной функции (см. Производная фунции, заданной параметрически.), получаем

β	[ϕ′(t)]2 +[ψ′(t)]2 dt ,
S = ∫
α

где х = ϕ(t) и у = ψ(t).

Если задана пространственная кривая, и х = ϕ(t), у = ψ(t) и z = Z(t), то

β	[ϕ′(t)]2 +[ψ′(t)]2 +[Z ′(t)]2 dt
S = ∫
α

Если кривая задана в полярных координатах, то

β

S = ∫ ρ′2 + ρ2 dϕ, ρ = f(ϕ).

α

Пример: Найти длину окружности, заданной уравнением x2 + y2 = r2.

1 способ. Выразим из уравнения переменную у. y = r 2 − x2

Найдем производную y′ = −

x

r 2

− x2

1

r

x2

r

r

x

r

π

Тогда

S = ∫

1

+

dx = ∫

dx = r arcsin

= r

2

2

2

2

4

r

− x

r

− x

r 0

2

0

0

Тогда S = 2πr. Получили общеизвестную формулу длины окружности.

2 способ. Если представить заданное уравнение в полярной системе координат, то

	2	2	2 2	2	′		df (ϕ)
получим: r		cos	ϕ + r sin	ϕ = r , т.е. функция ρ = f(ϕ) = r, ρ		=		= 0 тогда
							dϕ
S = 2∫π	0 + r 2 dϕ = r2∫πdϕ = 2πr
0			0

91

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 2.”

Вычисление объемов тел.

Вычисление объема тела по известным площадям его параллельных сечений.

Q(xi-1)

Q(xi)

a

xi-1

xi

b

x

Пусть имеется тело объема V. Площадь любого поперечного сечения тела Q, известна как непрерывная функция Q = Q(x). Разобьем тело на “слои” поперечными сечениями, проходящими через точки хi разбиения отрезка [a, b]. Т.к. на какомлибо промежуточном отрезке разбиения [xi-1, xi] функция Q(x) непрерывна, то принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Обозначим их соответственно Mi и mi.

Если на этих наибольшем и наименьшем сечениях построить цилиндры с образующими, параллельными оси х, то объемы этих цилиндров будут соответственно

равны Mi xi и mi xi здесь xi = xi - xi-1.

Произведя такие построения для всех отрезков разбиения, получим цилиндры,

n	n
объемы которых равны соответственно ∑M i	xi и ∑mi xi .
i=1	i=1

При стремлении к нулю шага разбиения λ, эти суммы имеют общий предел:

	n		n	b
limλ→0	∑M i	xi = limλ→0	∑mi	xi = ∫Q(x)dx
	i=1		i=1	a

Таким образом, объем тела может быть найден по формуле:

V = ∫b Q(x)dx

a

Недостатком этой формулы является то, что для нахождения объема необходимо знать функцию Q(x), что весьма проблематично для сложных тел.

Пример: Найти объем шара радиуса R.

y

R y

-R

0

x R

x

92

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 2.”

В поперечных сечениях шара получаются окружности переменного радиуса у. В зависимости от текущей координаты х этот радиус выражается по формуле R2 − x2 . Тогда функция площадей сечений имеет вид: Q(x) = π(R2 − x2 ).

Получаем объем шара:

R								x	3		R				R	3						R	3			4πR	3
V = ∫		2		2		2							3							3
	π(R		− x		)dx = π(R		x −			)		= π R		−				− π	− R		+				=			.
								3							3							3				3
−R										−R

Пример: Найти объем произвольной пирамиды с высотой Н и площадью основания S.

Q S

x

H

x

При пересечении пирамиды плоскостями, перпендикулярными высоте, в сечении получаем фигуры, подобные основанию. Коэффициент подобия этих фигур равен отношению x/H, где х – расстояние от плоскости сечения до вершины пирамиды.

Из геометрии известно, что отношение площадей подобных фигур равно коэффициенту подобия в квадрате, т.е.

Q

x 2

=

S

H

S

Отсюда получаем функцию площадей сечений: Q(x) =

x2 .

H 2

H

S

3

H

Находим объем пирамиды: V = ∫

x2 dx =

Sx

=

1

SH

2

2

0

H

3H

0

3

Объем тел вращения.

Рассмотрим кривую, заданную уравнением y = f(x). Предположим, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Если соответствующую ей криволинейную трапецию с основаниями а и b вращать вокруг оси Ох, то получим так называемое тело вращения.

y = f(x)

x

93

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 2.”

Т.к. каждое сечение тела плоскостью x = const представляет собой круг радиуса R = f (x) , то объем тела вращения может быть легко найден по полученной выше

формуле:

V = π∫b f 2 (x)dx

a

Площадь поверхности тела вращения.

Мi B

А

х

xi

Определение: Площадью поверхности вращения кривой АВ вокруг данной оси называют предел, к которому стремятся площади поверхностей вращения ломаных, вписанных в кривую АВ, при стремлении к нулю наибольших из длин звеньев этих ломаных.

Разобьем дугу АВ на n частей точками M0, M1, M2, … , Mn. Координаты вершин полученной ломаной имеют координаты xi и yi. При вращении ломаной вокруг оси получим поверхность, состоящую из боковых поверхностей усеченных конусов, площадь которых равна Pi. Эта площадь может быть найдена по формуле:

	P =		2π	yi−1 + yi				S	i
	i				2
Здесь Si – длина каждой хорды.
									2
Si =	2	+	2		=				yi	xi
	xi		yi			1+
									xi

Применяем теорему Лагранжа (см. Теорема Лагранжа.) к отношению

Получаем:	yi =		f (xi ) − f (xi−1 )			= f (εi ),	xi−1 < ε < xi
	xi		xi − xi−1
Тогда Si	= 1+ f ′2 (εi )				xi
Pi	= 2π	yi−1 + yi			1+ f ′2 (εi ) xi
			2

Площадь поверхности, описанной ломаной равна:

n

Pn = π∑(f (xi−1 ) + f (xi )) 1+ f ′2 (εi ) xi

i=1

yi . xi

94

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 2.”

Эта сумма не является интегральной, но можно показать, что

P =

lim

π

n

(f (x

i−1

) + f (x

)) 1+ f ′2 (ε

)

x

i

=

lim

π n

2 f (ε

)

1+ f ′2 (ε

)

x

i

max x →0

∑

i

i

max x →0

∑

i

i

i

i=1

i

i=1

Тогда

P = 2π∫b

f (x)

1+ f ′2 (x)dx

- формула вычисления площади поверхности тела

a

вращения.

Функции нескольких переменных

При рассмотрении функций нескольких переменных ограничимся подробным описанием функций двух переменных, т.к. все полученные результаты будут справедливы для функций произвольного числа переменных.

Определение: Если каждой паре независимых друг от друга чисел (х, у) из некоторого множества по какому - либо правилу ставится в соответствие одно или несколько значений переменной z, то переменная z называется функцией двух

переменных.

z = f(x, y)

Определение: Если паре чисел (х, у) соответствует одно значение z, то функция называется однозначной, а если более одного, то – многозначной.

Определение: Областью определения функции z называется совокупность пар (х, у), при которых функция z существует.

Определение: Окрестностью точки М0(х0, у0) радиуса r называется совокупность всех точек (х, у), которые удовлетворяют условию

(x − x0 )2 + (y − y0 )2 < r .

Определение: Число А называется пределом функции f(x, y) при стремлении точки М(х, у) к точке М0(х0, у0), если для каждого числа ε > 0 найдется такое число r >0, что для любой точки М(х, у), для которых верно условие

MM 0 < r

также верно и условие f (x, y) − A < ε .

Записывают: lim f (x, y) = A

x→x0 y→y0

Определение: Пусть точка М0(х0, у0) принадлежит области определения функции f(x, y). Тогда функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке М0(х0, у0), если

lim f (x, y) = f (x0 , y0 )

(1)

x→x0 y→y0

причем точка М(х, у) стремится к точке М0(х0, у0) произвольным образом.

Если в какой – либо точке условие (1) не выполняется, то эта точка называется точкой разрыва функции f(x, y). Это может быть в следующих случаях:

95

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 2.”

1) Функция z = f(x, y) не определена в точке М0(х0, у0).

2) Не существует предел lim f (x, y) .

x→x0 y→y0

3) Этот предел существует, но он не равен f( x0, y0).

Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой и ограниченной области D, то в этой области найдется по крайней мере одна точка N(x0, y0, …), такая, что для остальных точек верно неравенство

f(x0, y0, …) ≥ f(x, y, …)

а также точка N1(x01, y01, …), такая, что для всех остальных точек верно неравенство

f(x01, y01, …) ≤ f(x, y, …)

тогда f(x0, y0, …) = M – наибольшее значение функции, а f(x01, y01, …) = m –

наименьшее значение функции f(x, y, …) в области D.

Непрерывная функция в замкнутой и ограниченной области D достигает по крайней мере один раз наибольшего значения и один раз наименьшего.

Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D, а M и m – соответственно наибольшее и наименьшее значения функции в этой области, то для любой точки μ [m, M] существует точка

N0(x0, y0, …) такая, что f(x0, y0, …) = μ.

Проще говоря, непрерывная функция принимает в области D все промежуточные значения между M и m. Следствием этого свойства может служить заключение, что если числа M и m разных знаков, то в области D функция по крайней мере один раз обращается в ноль.

Свойство. Функция f(x, y, …), непрерывная в замкнутой ограниченной области D, ограничена в этой области, если существует такое число К, что для всех точек

области верно неравенство f (x, y,...) < K .

Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D, то она равномерно непрерывна в этой области, т.е. для любого положительного числа ε существует такое число > 0, что для любых двух точек (х1, y1) и (х2, у2) области, находящихся на расстоянии, меньшем , выполнено неравенство

f (x1 , y1 ) − f (x2 , y2 ) < ε

Приведенные выше свойства аналогичны свойствам функций одной переменной, непрерывных на отрезке. См. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

96

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 2.”

Производные и дифференциалы функций нескольких переменных.

Определение. Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y). Возьмем произвольную точку М(х, у) и зададим приращение х к переменной х. Тогда величина xz = f( x + x, y) – f(x, y) называется частным приращением функции по х.

Можно записать

x z

=

f (x + x, y) − f (x, y)

.

x

x

Тогда lim

x z называется частной производной функции z = f(x, y) по х.

x→0

x

Обозначение: ∂z

;

z′x ;

∂f (x, y) ;

f x′(x, y).

∂x

∂x

Аналогично определяется частная производная функции по у.

∂z

= lim

f (x, y +

y) − f (x, y)

y

∂y

y→0

Геометрическим

смыслом частной

производной (допустим

∂z

) является

∂x

тангенс угла наклона касательной, проведенной в точке N0(x0, y0, z0) к сечению поверхности плоскостью у = у0.

Полное приращение и полный дифференциал.

Определение. Для функции f(x, y) выражение z = f( x + x, y + y) – f(x, y)

называется полным приращением.

Если функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные, то

z = f (x + x, y + y) − f (x, y) + f (x, y + y) − f (x, y + y) = [f (x + x, y + y) − f (x, y + y)]+ +[f (x, y + y) − f (x, y)]

Применим теорему Лагранжа (см. Теорема Лагранжа.) к выражениям, стоящим в

квадратных скобках.
	f (x, y + y) − f (x, y) = y			∂f (x, y)
					∂y
	f (x + x, y + y) − f (x, y + y) = x				∂f (x, y + y)
здесь y ( y, y + y);	x (x, x +	x)			∂x
Тогда получаем		∂f (x, y + y) +		∂f (x, y)
	z = x		y
		∂x			∂y

97

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 2.”

Т.к. частные производные непрерывны, то можно записать равенства:
	lim ∂f (x, y +		y) =	∂f (x, y)
	x→0	∂x			∂x
	y→0
	lim	∂f (x, y)	= ∂f (x, y)
	x→0	∂y		∂y
	y→0
Определение.	Выражение		z =		∂f (x, y)	x +	∂f (x, y)	y + α1 x + α2 y
					∂x		∂y

называется полным приращением функции f(x, y) в некоторой точке (х, у), где α1 и α2

– бесконечно малые функции при	х → 0 и у → 0 соответственно.
Определение: Полным дифференциалом функции z = f(x, y) называется
главная линейная относительно	х и у приращения функции z в точке (х, у).
dz = f x′(x, y)dx + f y′(x, y)dy
Для функции произвольного числа переменных:
df (x, y, z,...,t) = ∂f		dx + ∂f dy +... +	∂f dt
	∂x	∂y	∂t

Пример. Найти полный дифференциал функции u = x y2 z .

du = ∂∂ux dx + ∂∂uy dy + ∂∂uz dz

∂u

= y2 zx y2 z−1 ;

∂u

= x y2 z

ln x 2yz;

∂u

= x y2 z ln x y2 ;

∂x

∂y

∂z

du = y 2 zx y2 z−1dx + 2x y2 z yz ln xdy + y2 x y2 z

ln xdz

Пример. Найти полный дифференциал функции z =

y

.

x2 − y2

∂z =

− 2yx

∂z = y (x

− y

∂x

(x2 − y2 )2

+ 2y

=

x

+ y

) − y(−2y)

= x

− y

′

2

2

2

2

2

2

2

∂y

(x2 − y2 )2

(x2 − y2 )2

(x2 − y2 )2

dz = −

2xy

dx +

x2

+ y2

dy

(x

2 − y

2 )

(x2 − y2 )

2

98

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 2.”

Геометрический смысл полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

нормаль

N

ϕN0

касательная плоскость

Пусть N и N0 – точки данной поверхности. Проведем прямую NN0. Плоскость, которая проходит через точку N0, называется касательной плоскостью к поверхности, если угол между секущей NN0 и этой плоскостью стремится к нулю, когда стремится к нулю расстояние NN0.

Определение. Нормалью к поверхности в точке N0 называется прямая, проходящая через точку N0 перпендикулярно касательной плоскости к этой поверхности.

В какой – либо точке поверхность имеет, либо только одну касательную плоскость, либо не имеет ее вовсе.

Если поверхность задана уравнением z = f(x, y), где f(x, y) – функция, дифференцируемая в точке М0(х0, у0), касательная плоскость в точке N0(x0,y0,(x0,y0)) существует и имеет уравнение:

z − f (x0 , y0 ) = f x′(x0 , y0 )(x − x0 ) + f y′(x0 , y0 )( y − y0 ) .

Уравнение нормали к поверхности в этой точке:

x − x0	=	y − y0	= z − z0
f x′(x0 y0 )		f y′(x0 , y0 )		−1

Геометрическим смыслом полного дифференциала функции двух переменных f(x, y) в точке (х0, у0) является приращение аппликаты (координаты z) касательной плоскости к поверхности при переходе от точки (х0, у0) к точке (х0+ х, у0+ у).

Как видно, геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных является пространственным аналогом геометрического смысла дифференциала функции одной переменной.

Пример. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z = x2 − 2xy + y2 − x + 2y

99

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 2.”

в точке М(1, 1, 1).

∂z	= 2x − 2y −1;			∂z		= −2x + 2y + 2
∂x
				∂y
	∂z		= −1;		∂z			= 2;
	∂x				∂y
			M					M

Уравнение касательной плоскости:

z −1 = −(x −1) + 2( y −1); x − 2y + z = 0;

Уравнение нормали:

x−−11 = y 2−1 = z−−11;

Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала.

Пусть функция f(x, y) дифференцируема в точке (х, у). Найдем полное приращение этой функции:

z = f (x + x, y + y) − f (x, y)

f (x + x, y + y) = f (x, y) + z

Если подставить в эту формулу выражение

z ≈ dz =

∂f

x +

∂f

y

∂x

∂y

то получим приближенную формулу:

∂f (x, y) x +

∂f (x, y)

f (x + x, y + y) ≈ f (x, y) +

y

∂x

∂y

Пример. Вычислить приближенно

значение

1,041,99

+ ln1,02 , исходя из

значения функции u = x y + ln z

при x = 1, y = 2, z = 1.

Из заданного выражения определим

x = 1,04 – 1 = 0,04, y = 1,99 – 2 = -0,01,

z = 1,02 – 1 = 0,02.

Найдем значение функции u(x, y, z) =

12 + ln1 =1

Находим частные производные:

∂u

=

y x y−1

=

2 1

=1

∂x

2

x y

2

1

+ ln z

∂u

=

x y ln x

= 0

∂y

2

x y

+ ln z

∂u

1

1

=

z

=

∂z

2 x y + ln z

2

Полный дифференциал функции u равен:

100