Курс лекций по высшей математике. 1 часть

Две матрицы считаются равными, если равны их размеры и равны

элементы, стоящие на одинаковых местах.
Определение.				Суммой		A	B матриц A (aij ) и			B (bij ) раз-
мера m	n называется матрица C							(cij )	того же размера, каждый эле-
мент которой равен сумме соответственных элементов матриц A и B:
cij	aij	bij	,	i 1,2, , m, j				1,2, , n.
Произведением					A матрицы			A	(aij ) на число	называется
матрица	B	(bij ) ,		получающаяся из матрицы A умножением всех еѐ
элементов на		:	bij		aij , i 1,2, , m,				j 1,2, , n .
Пример 9. Вычислить 3						A	2	B , если
A	2	1	1	,	B	2	1	0 .
	0	1	4			3	2	0

Решение. Находим 3 A и 2 B , умножая элементы матрицы A на число 3, а элементы матрицы B – на 2. Имеем

3 A	6	3		3	, 2 B		4	2	0 .
	0	3		12			6	4	0
Складывая теперь элементы матриц 3										A и 2		B , стоящие на оди-
наковых местах, получим
3 A 2 B			6	4	3	2	3	0	2		5	3
			0	6	3	4	12 0			6 7		12 .
Определение. Произведением матрицы										A	(aij ) размера m n на
матрицу	B	(bij )	размера			n	k называется матрица C (cij ) размера

m k , элемент которой cij , стоящий в i-ой строке и j-ом столбце, равен

сумме произведений элементов i-ой строки матрицы A и соответствующих элементов j-го столбца матрицы B:

		n
	cij		air	brj , i			1,2, , m,	j 1,2, , k .
		r	1
	Так как в произведении матриц строки и столбцы не равноправны,
	то A B B A .
	Пример 10. Вычислить произведение матриц
		2	3	9			2	1
	A				и	B	4	3 .
		1	4	7
							1	3

Решение. Согласно определению произведение матриц получаем так: умножаем элементы первой строки матрицы A на соответствующие

13

элементы первого столбца матрицы B, произведения складываем и ставим в первую строку и первый столбец матрицы-произведения. Умножаем далее элементы первой строки матрицы A на элементы второго столбца матрицы B, произведения складываем и ставим в первую строку и второй столбец матрицы-произведения и т.д.

				2	3	9	2	1
		A B					4	3
				1	4	7
							1	3
2 2 3 ( 4) 9 1 2 1 3 3 9 ( 3)								25	34 .
1 2 4 ( 4) 7 1 1 1 4 3 7 ( 3)								7	8
Пример 11. Вычислить A B и B A , если
						3
						1
A (2	1	7 8	0) ,		B	2 .
						1
						4
Решение.
A B	(2 3	1 1	7 2 8		( 1)	0 4) (		15) .

Перемножим теперь матрицы в другом порядке.

3	2	3 1	3	( 7)		3 8	3	0
1	2	1 1	1 ( 7)			1 8	1 0
В А 2	2	2 1	2	( 7)		2 8	2	0
1 2		1 1	1 ( 7)			1 8	1 0
4	2	4 1	4	( 7)		4 8	4	0
	6	3		21	24	0
	2	1		7	8	0
	4	2		14	16	0
	2	1		7	8	0
	8	4		28	32	0

Естественно, мы получили разные результаты.

Матрицу, все элементы которой равны нулю, мы будем называть

нулевой.

		1	0	0
	Матрицу E	0	1	0		называют единичной.
		0	0	0	1

14

Если матрицы A и E – квадратные одного размера матрицы, то

A E			E A		A .
Действительно, возьмѐм, например,
A		a11		a12		и	E		1	0	.Умножим A на E справа.
		a21		a22					0	1
A E			a11		a12		1	0		a11		1	a12	0	a11	0	a12	1
			a21		a22		0	1		a21		1	a22	0	a21	0	a22	1
			a11		a12		A.
			a21		a22
Пример 12. Пусть							f	x	x 2		3	x	4 ,	A		1	2 . Найти зна-
																1	4
чение многочлена					f	A .
Решение. Подставим вместо x под знак многочлена матрицу A.
Тогда f			A	A2		3	A	4 E , где A2					A A , а вместо числа 4 мы вве-
ли матрицу 4				E , так как складывать можно только матрицы одинаково-
го размера, но не матрицу с числом.
Вычислим A2 . Имеем
A2		A A			1	2		1	2			1 2		2 8			1 10 .
					1	4		1	4			1	4	2	16		5	14
Далее			3	A	3		1	2			3		6	,
							1	4			3		12
4	E		4	1	0		4	0 .
				0	1		0	4
f	A		A2	3	A	4	E		1	10			3	6		4	0
									5	14			3	12		0	4
									0		4 .
									2		6

2.2. Обратная матрица

Будем называть определителем квадратной матрицы

15

a11 a12 a1n

A	a21	a22	a2n	определитель, составленный из элемен-

an1 an2 ann

тов этой матрицы:

a11 a12 a1n

det A	a21	a22	a2n	.

an1 an2 ann

Определение. Квадратная матрица называется невырожденной (неособенной), если еѐ определитель отличен от нуля, и вырожденной (особенной), если определитель еѐ равен нулю.

Без доказательства примем, что

det(A B) det A det B , то есть определитель произведения квад-

ратных матриц равен произведению определителей этих матриц. Теорема. Если А – невырожденная матрица, то существует и при-

том единственная матрица А-1 такая, что
A A 1	A 1	A E .
Пусть дана невырожденная матрица
a11	a12	a13	с определителем		a11	a12	a13		0 .
A a21	a22	a23			a21	a22	a23
a31	a32	a33			a31	a32	a33

Рассмотрим матрицу

	A11	A21	A31	,
*	A12	A22	A32
A
	A13	A23	A33

составленную из алгебраических дополнений к элементам матрицы А и называемую присоединенной к матрице А. Отметим, что алгебраические дополнения к элементам квадратной матрицы находят так же, как к элементам ее определителя. В присоединенной матрице алгебраические дополнения элементов строки стоят в столбце с таким же номером.

Найдем произведение АА*.

а11	а12	а13	А11	А21	А31
А А* а21	а22	а23	А12	А22	А32
а31	а32	а33	А13	А23	А33

16

а11А11	а12А12	а13А13	а11А21	а12А22	а13А23	а11А31	а12А32	а13А33
а21А11	а22А12	а23А13	а21А21	а22А22	а23А23	а21А31	а22А32	а23А33
а31А11	а32А12	а33А13	а31А21	а32А22	а33А23	а31А31	а32А32	а33А33

0 0

0 0 ,

0 0

так как согласно теореме разложения сумма парных произведений элементов строки на соответствующие им алгебраические дополнения равна определителю, а сумма парных произведений элементов строки на алгебраические дополнения элементов другой строки равна нулю.

Рассуждая таким же образом, можно показать, что и

																											0	0
																					А А*			0				0 .
																								0			0
Определитель матрицы АА* и А*А равен ΔΔ* с одной стороны, а с
другой стороны он равен
																							0	0
																						0		0				3.
																						0	0
Тогда имеем ΔΔ*=Δ3. Откуда ввиду Δ≠0 получим Δ*=																																2.
Если теперь все элементы присоединенной матрицы разделить на
Δ, то есть рассмотреть матрицу
						А11							А21				А31
1			*			А12							А22				А32				то очевидно
		А																		,
						А13							А23				А33
	А11			А21					А31
	А12			А22					А32							1			А11		А21		А31				1	* 1 2			1
																			А12		А22		А32									,
																	3										3		3
	А			А					А										А13		А23		А33
	13			23					33

а, значит, det A	A*	1		1 и соответственно

17

		А*	1	0	0
	А		0	1	0 .
			0	0	1

Таким образом,

А*

А 1 по определению:

А11

А21

А31

А12

А22

А32

1

А11

А21

А31

А 1

А12

А22

А32 .

(1.9)

А

А

А

А13

А23

А33

13

23

33

Пример 13. Найти матрицу, обратную для матрицы

3 1 0 А 2 1 1 .

2 1 4

Решение. Вычислим определитель матрицы

3 1 0 2 1 1 3 5 1( 10) 5.

2 1 4

Далее найдем алгебраические дополнения элементов матрицы А:

А11			1		1			5,	А21		1			0		4,	А31			1		0				1,
			1		4						1			4						1		1
А12			2		1			10,	А22		3		0			12,	А32				3	0				3,
			2		4						2		4								2	1
А13			2		1			0,	А23			3		1		1,	А33		3			1				1.
			2		1							2		1					2			1
По формуле (1.9) имеем
			5		4			1	1	4				1
		1								5						5
А 1				10	12			3	2	12 5				35 .
		5
			0		1			1		1
									0					1
															5
										5

В заключение перечислим свойства операций над матрицами:

1)	А+В = В+А;
2)	А+(В+С) = (А+В)+С;
3)	(α+β)А = αА+βА, где α и β – числа;
	α(А+В) = αА+ αВ; (αβ)А = α(βА);

18

4)А(ВС) = (АВ)С; А(В+С) = АВ+АС;

5)А+0 = А;

6)АЕ = ЕА = А.

2.3. Ранг матрицы

Рассмотрим прямоугольную матрицу mхn. Выделим в этой матрице какие-нибудь k строк и k столбцов, 1 k min (m, n). Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель k-го порядка. Все такие определители называются минорами

матрицы. Например, для		матрицы					А		1	0	1 можно составить
									2	4	3
		0		1	1			0	1
миноры второго порядка	1		,			,				и миноры первого порядка
	2	4		2	3			4	3

1, 0, -1, 2, 4, 3.

Определение. Рангом матрицы называется наивысший порядок отличного от нуля минора этой матрицы. Обозначают ранг матрицы

r(A).

Вприведенном примере ранг матрицы равен двум, так как, напри-

мер, минор	1	0	0.
	2	4

Ранг матрицы удобно вычислять методом элементарных преобразований. К элементарным преобразованиям относят следующие:

1)перестановки строк (столбцов);

2)умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;

3)прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на некоторое число.

Эти преобразования не меняют ранга матрицы, так как известно, что 1) при перестановке строк определитель меняет знак и, если он не был равен нулю, то уже и не станет; 2) при умножении строки определителя на число, не равное нулю, определитель умножается на это число; 3) третье элементарное преобразование вообще не изменяет определитель. Таким образом, производя над матрицей элементарные преобразования, можно получить матрицу, для которой легко вычислить ранг ее и, следовательно, исходной матрицы.

Пример 14. Найти ранг матрицы

3 2 1 5 А 2 2 1 1 .

1 4 5 1

Решение. Поменяем местами строки матрицы, поставив последнюю строку на место первой:

19

3	2	1	5	1	4	5	1
А 2	2	1	1	~ 3	2	1	5 .
1	4	5	1	2	2	1	1

Умножим первую строку на –3 и прибавим ко второй. При этом на месте элемента 3 получим 0. Затем умножим первую строку на –2 и прибавим к третьей:

1	4	5	1	1	4	5	1
А ~ 0	10 14 2			~ 0	5	7	1 .
0	6	11	1	0	6	11	1

Умножим вторую строку получившейся матрицы на –1 и прибавим к последней, тогда

1	4	5	1	1	4	5	1
А ~ 0	5	7	1 ~ 0		1	4	2 .
0	1	4	2	0	5	7	1

Умножим теперь вторую строку на –5 и прибавим к последней:

1 4 5 1 А ~ 0 1 4 2 .

0 0 13 11

Преобразования матрицы можно прекратить, так как, очевидно,

1 4 5

минор 0 1 4 , являющийся определителем треугольного вида, ра-

0 0 13

вен произведению элементов главной диагонали, то есть отличен от нуля. Следовательно, r (A)=3.

Пример 15. Вычислить ранг матрицы

	3	2	1	5
А	6	4	3	7 .
	9	6	5	9
	3	2	0	8

Решение. Производя последовательно элементарные преобразования, будем иметь

3	2	1	5		3	2	1	5		3	2	1	5
6	4	3	7	~	0	0	1	3	~	0	0	1	3 .
9	6	5	9		0	0	2	6		0	0	0	0
3	2	0	8		0	0	1	3		0	0	0	0

20

Очевидно минор	2	1	0,	и ранг матрицы равен двум.
	0	1

Замечание. Ранг матрицы равен числу ненулевых строк матрицы, полученной после элементарных преобразований исходной матрицы, приводящих ее к такому виду, когда ниже элементов а11, а22, а33, …, аnn стоят нули.

§ 3. Системы n линейных уравнений с n неизвестными

3.1. Правило Крамера

Пусть задана система n линейных уравнений с n неизвестными

а 11 х 1	а12	х2	а13	х3	...	а1n хn	b1,
а 21 х 1	а22 х2		а23	х3	...	а2n хn	b2 ,	(1.10)
..........	..........		..........	..........		..........	........,
а n 1 х 1	аn2	х2	аn3 х3		...	аnn хn	bn .

Составим из коэффициентов при неизвестных определитель и назовем его определителем системы:

а11	a12	...	a1n
а21	a22	... a2n		.
... ... ... ...
аn1	an2	...	ann

Совокупность значений неизвестных xi=ai, i =1, 2, …, n, при подстановке которых уравнения системы обращаются в равенства, назовем решением системы.

Докажем, что если определитель системы (1.10) отличен от нуля, то система имеет, и притом единственное, решение

хi i , i= 1, 2, …, n,

где i – определитель, получаемый из определителя заменой i-го столбца на столбец свободных членов.

Умножим первое уравнение системы (1.10) на А11, второе – на А21, …, n-ое – на Аn1 и все уравнения сложим. Получим:

x1 (a11A11+a21A21+…+an1An1)+

+x2 (a12A11+a22A21+…+an2An1)+…+ (1.11) +xn (a1nA11+a2nA21+…+annAn1) =

=b1A11+b2A21+…+bnAn1.

Влевой части этого выражения множитель при х1 равен определителю системы согласно теореме разложения, а остальные множители при х2, …, хn равны нулю.

21

В правой части выражения (1.11) мы имеем разложение по элементам первого столбца определителя

				b1	a12	...	a1n
	1			b2	a22	...	a2n	.
				... ... ... ...
				bn	an2	...	ann
	Таким образом, из системы (1.11) получено уравнение								x1	1
и x		1	.
	1

Домножая теперь уравнения системы (1.10) на алгебраические дополнения элементов второго, третьего и т.д. и, наконец, n-го столбцов поочередно и складывая эти уравнения, получим

x2 2 , …, xn n .

	Таким			образом,			имеем	окончательно	x1	1	,
x 2		2	,…, xn		n	.

Замечание. Правило Крамера при n>3 не имеет практического применения из-за громоздкости вычислений.

Пример 16. Решить систему уравнений по правилу Крамера:

х1 2х2 х3 10, 2х1 х2 х3 20, х1 3х2 х3 30.

Решение. вычислим определитель системы:

	1	2	1		то есть система совместна.
	2	1	1	1,
	1	3	1

Найдем далее вспомогательные определители:

	10	2	1			1	10	1			1	2	10
1	20	1	1	30,	2	2	20	1	20,	3	2	1	20	60.
	30	3	1			1	30	1			1	3	30

Тогда х1=30, х2=20, х3=-60.

22