teorver_с таблицами функций Лапласа

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [e-mail], [phone]

г) Введем событие В – « Среди извлеченных 2-х шаров имеется хотя бы один красный». Противоположным к этому событию будет событие В – « Цвет 2-х извлеченных шаров отличается от красного». Найдем вероятность события

В . Поскольку из 11 шаров, находящихся в урне, 6 шаров имеют цвет, который отличается от красного, то

P (В)= 116 ×105 = 113 .

Следовательно,

P (В) =1- P (В)=1-113 = 118 .

Ответ: 8 .

11

3. а) Введем следующие события:

Ж1 – « Первый извлеченный шар желтого цвета»;

Ж2 – « Второй извлеченный шар желтого цвета»;

Ж3 – « Третий извлеченный шар желтого цвета»;

С1	–	« Первый извлеченный шар синего цвета»;
С2	–	« Второй извлеченный шар синего цвета»;
С3	–	« Третий извлеченный шар синего цвета»;
К1	–	« Первый извлеченный шар красного цвета»;

К2 – « Второй извлеченный шар красного цвета»;

К3 – « Третий извлеченный шар красного цвета».

Введем теперь событие А – « Все 3 извлеченных шара имеют одинаковый цвет». В задаче требуется найти вероятность события А.

Для того чтобы найти эту вероятность, заметим, что:

А= Ж1 Ж2 Ж3 +С1С2С3 + К1К2 К3 .

Поскольку события Ж1 Ж2 Ж3 , С1С2С3 и К1К2 К3 независимые, то

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [e-mail], [phone]

21

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [e-mail], [phone]

Р(А) = Р(Ж1 Ж2 Ж3 +С1С2С3 + К1К2 К3 ) = = Р(Ж1 Ж2 Ж3 )+ Р(С1С2С3 )+ Р(К1К2 К3 )

С другой стороны

Р(Ж1 Ж2 Ж3 )= 4 × 3 × 2 = 24 , 11 10 9 990

Р(С1С2С3 )= 2 × 1 ×0 = 0 , 11 10

Р(К1К2 К3 )= 5 × 4 × 3 = 60 . 11 10 9 990

Следовательно,

Р(А)= 24 + 0 + 60 = 84 = 14 . 990 990 990 165

Ответ: 14 .

165

б) Воспользуемся классическим определением вероятности. Поскольку из 11 шаров извлекается 3 шара, то число всех исходов

n = C 113 .

Найдем число благоприятных исходов. В каждом благоприятном исходе красный шар можно выбрать 5 способами, синий шар – 2 способами, а желтый шар – 4 способами. Поэтому

m = 5× 2 × 4 .

Следовательно, искомая вероятность

P =

m

=

5× 2 × 4

=

5× 2 × 4 ×3!×8!

=

5× 2 × 4 ×1× 2 ×3

=

8

.

9 ×10 ×11

n C 117

11!

33

Ответ:

8

.

33

в) Решим задачу с помощью формулы полной вероятности.

Для этого введем событие A и гипотезы H1, H2 , H3 , H4 :

A

–

« Среди извлеченных 3-х шаров оказался желтый шар»;

H1

–

« Все 3 извлеченных из урны шара оказались желтыми»;

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [e-mail], [phone]

22

	ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [e-mail], [phone]
H2 –	« Среди извлеченных 3-х шаров оказалось 2 желтых шара и 1 шар другого
цвета»;
H3 –	« Среди извлеченных 3-х шаров оказался 1 желтый шар и 2 шара другого
цвета»;

H4 – « Среди извлеченных 3-х шаров нет желтых шаров».

Теперь необходимо найти вероятности гипотез, а также вероятности события A при условии каждой из гипотез.

Поскольку до извлечения шаров в урне находилось 11 шаров (4 желтых шара и 7 шаров другого цвета), то, с помощью классического определения вероятности, получаем:

				C 34									4							3							2									4
P(H1 ) =								=									×								×										=								,			P( A/ H1) =1,
				C 113								11									10								9									165
	C		42 × C 17										4 3 7																										42								2
P(H2 ) =									=									×									×								×3 =									,		P( A/ H2 ) =				,
			C 113											11								10								9										165							3
		C 14 ×C 72											4 7 6																										84								1
P(H3 ) =										=										×							×								×	3 =									,	P(A/ H3 ) =				,
			C 113												11								10								9										165							3
P(H4 ) =					C 73			=					7			×				6				×			5					=				35						,		P( A/ H4 ) = 0.
					C 113						11									10								9									165

На всякий случай проверим, что сумма вероятностей гипотез равна 1 (гипотезы должны образовывать полную группу событий):

	4	4	+ 42 + 84 + 35
	∑P(Hi ) =			=1.
			165
	i =1

Таким образом, гипотезы действительно образуют полную группу, и можно воспользоваться формулой полной вероятности:

P( A) = ∑P(Hi )× P( A/ H i ) =	4		×1+	42		×	2	+	84		×	1	+	35		×0	=	4 + 28 + 28	=	60		=	4		.
	165			165			3		165			3		165				165		165				11

Ответ: 4 .

11

4. Введем событие A и гипотезы H1, H2 , H3 :

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [e-mail], [phone]

23

		ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,					[e-mail], [phone]
A	–	« Оба извлеченных шара имеют одинаковый цвет»;
H1	–	« Оба извлеченных шара имеют красный цвет»;
H2	–	« Только один из двух извлеченных шаров имеет красный цвет»;
H3	–	« Среди извлеченных двух шаров нет шара красного цвета».
		Требуется найти вероятность P(H1 / A) .
		Найдем сначала вероятности гипотез. Поскольку в урне находятся 5 крас-
ных и 6 шаров другого цвета, то
		P(H ) =		5	×	4		=		2	,
		1	11 10						11

P(H2) = 115 ×106 + 116 ×105 = 116 ,

P(H3) = 116 ×105 = 113 .

Проверим теперь, что сумма вероятностей гипотез равна 1:

	3		) =	2 +6 +3	=1.
	∑ P(H
	i=1	i	11

Таким образом, гипотезы действительно образуют полную группу, и можно воспользоваться формулой Байеса. Для этого подсчитаем условные вероятности:

P(A/ H1) =1, P( A/ H2) = 0, P( A/ H3) =1.

Далее получаем

	P(H1)× P( A/ H1)					2				×1						2
P(H / A) =		=						11							=		.
	P(A)		2									3
1					×1+	6				×0	+			×1	5
				11			11						11

Ответ: 2 .

5

Пример 13.5. В урне находятся 5 красных и 8 синих шаров. Один шар наудачу извлекается из урны и возвращается в неё 4 раза. Найти вероятность того, что при извлечении:

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [e-mail], [phone]

24

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [e-mail], [phone]

а) красный шар появится ровно 3 раза; б) красный шар появится не менее 2-х раз.

Решение. Поскольку перед каждым извлечением одного шара из урны в ней находятся 13 шаров, из которых 5 красных, то вероятность каждого извле-

чения красного шара p = 513.

Таким образом, для решения задачи можно воспользоваться схемой независимых испытаний Бернулли.

Тогда в случае а) получаем:

P	(3)= C 3	×p3 ×(1- p)=		4!		×	5	3	×	8	=	4000	» 0,14.
4	4	3!		×			13		13		28561
					1!
Ответ: 0,14 .
В случае б):

P4 (k ³ 2) = P4 (2) + P4 (3) + P 4 (4) =1- P4 (k < 2) =1- P4 (0) - P4 (1) =

=1-C40 × p0 ×(1− p)4 -C41 × p ×(1− p)3 »1- (0,62)4 - 4×0,38×(0,62)3 = 0,49.

Ответ: 0,49 .

Пример 13.6. Из урны, содержащей 15 шаров (7 синих и 8 желтых), наудачу извлекаются 4 шара. Рассматривается случайная величина ξ, значения ко-

торой равны количеству синих шаров, оказавшихся среди извлеченных шаров. Построить закон распределения этой случайной величины и найти её ма-

тематическое ожидание.

Решение. Случайной величины ξ

принимает значения 0, 1, 2, 3, 4. Най-

дем вероятности, с которыми принимаются эти значения:

p = P(ξ=0)=

C 84

=

5×6×7×8

=

10

,

12×13×14×15

0

C 154

195

p = P(ξ=1) =

C 17 × C 83

=

7 ×4 ×6 ×7 ×8

=

56

,

1

C 154

12 ×13×14 ×15

195

p

= P(ξ=2) =

C 72 × C 82

=

84

,

2

C 154

195

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [e-mail], [phone]

25

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [e-mail], [phone]

p	= P(ξ=3) =	C 73 × C 18	=	40	,
		C 154
3			195

p		= P(ξ=4) =	C	74	=		5	.
	4		C	154
						195

Для проверки правильности вычислений найдем сумму этих вероятностей:

∑ pk	= 10 +56 +84		+40 +5 = 195			=1.
4
k =0		195			195

Таким образом, в вычислениях вероятностей ошибок нет, и мы можем построить закон распределения:

xk	0			1			2			3			4
pk	10			56			84			40			5
	195			195			195			195			195

Теперь можно найти математическое ожидание случайной величины:

	4				0 ×10 +1×56 + 2 ×84 + 3× 40 + 4 ×5							364
	Mξ = ∑xk pk		=								=		.
	k =0						195		195
	Пример 13.7. Дискретная случайная величина Х, математическое ожида-
	ние которой М(Х) = 3,7, распределена по закону
		xk			− 6	−1	2	5	10
		pk		0,1		p2	0,2	p4	0,2

Требуется:

а) найти p2 и p4;

б) построить график функции распределения y = F ( x) ;

в) вычислить дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Решение.

а) Воспользовавшись условиями

5	5
∑ pi = 1,	MX = ∑xi pi = 3,7 ,
i=1	i=1

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [e-mail], [phone]

26

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [e-mail], [phone]

составим следующую систему уравнений:

0,1+ p2 + 0, 2 + p4 + 0.2 = 1,
	×0,1-1× p2	+ 2 ×0, 2 + 5× p4	+10 ×0, 2 = 3,7.
-6

Далее получаем

	p2 + p4 = 0,5		p2 + p4 = 0,5	p2	= 0,1
		Û		Û	.
- p2 + 5 p4 = 1,9		6 p4 = 2, 4		p4	= 0, 4

б) Построим график функции распределения случайной величины, воспользовавшись свойством

F (x) = F (a) + P(a ≤ X < x) .

В результате возникает таблица:

при − ∞ < x ≤ −6	F (x) = 0;
при − 6 < x ≤ −1	F ( x) = F (−6) + P(−6 ≤ X < −1) = 0 + P( X = −6) = 0,1;
при −1 < x ≤ 2	F(x) = F(−1) + P(−1≤ X < 2) =0,1+ P( X = −1) =0,1+0,1=0,2;
при 2 < x ≤ 5	F(x) = F(2) + P(2 ≤ X < 5) = 0,2 + P( X = 2) = 0,2 +0,2	= 0,4;
при 5 < x ≤10	F(x) = F(5) + P(5 ≤ X <10) = 0,4 + P( X = 5) = 0,4 +0,4	= 0,8;
при 10 < x ≤ +∞	F(x) = F(10) + P(10 ≤ X < +∞) = 0,8 + P( X =10) = 0,8 +0,2 =1,

и искомый график имеет следующий вид:

P

1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

		0.2
		0.1
− 6	−1	0	2	5	10	X

в) Вычислим дисперсию случайной величины по формуле

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [e-mail], [phone]

27

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [e-mail], [phone]

D( X ) = M ( X 2 ) − M 2 ( X ) .

Для этого сначала вычислим M ( X 2 ) :

5

M ( X 2 ) = ∑ xi2 pi = 36×0,1+1×0,1+ 4×0,2 + 25×0,4 +100×0,2 = 34,5 .

i=1

По условию задачи M ( X ) = 3.7 , следовательно,

D( X ) = 34,5 - (3,7)2 = 34,5-13,69 = 20,81,

σ( X ) = D( X ) = 20,81 = 4,56 .

Пример 13.8. Плотность распределения случайной величины имеет вид

0	при - ¥ < x < 0,
	× (6 - x) при 0 £ x £ 6,
f (x) = k
	при 6 < x < +¥.
0

Найти:

а) параметр k ;

б) функцию распределения F (x) ;

в) математическое ожидание M ( X ) и дисперсию D( X ) ;

г) вероятность события 2 < X < 5 .

Решение. а) Воспользовавшись свойствами плотности распределения, получим:

	∞		6					x2			6
	∫ f (x)dx =1 = k∫ (6				- x)dx = k		6x -				=18k .
								2
			0
	−∞										0
	Следовательно, k =	1	, причем
	18
			0 ,			- ¥ < x < 0,
					- x
			6
			f (x) =			, 0 £ x £ 6, .
			18			6 < x < +¥.
			0 ,

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [e-mail], [phone]

28

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [e-mail], [phone]

б) Построим график функции распределения F ( x) , воспользовавшись свой-

ством

x

F (x) = F (a) + P(a ≤ X < x) = F (a) + ∫ f (x)dx .

a

В результате возникает таблица:

при − ∞ < x ≤ 0	F (x) = 0 ,
			x				x	6 − x
при 0 < x ≤ 6			F(x) = F(0) +∫ f (x)dx = 0 +∫							dx =
								18
			0	0
		1	x	(6 − x)2			x		(6 − x)2
	= −		∫ (6 − x)d(6 − x) =−					= −			+1 ,
		18		36					36
			0				0
			x			x
при 6 < x < +∞	F (x) = F (6) + ∫ f (x)dx =1 + ∫0dx =1.
			6	6

Следовательно,

	0 , − ∞ < x < 0 ,
			(6 − x)2
F (x)=
	1	−		, 0 ≤ x ≤ 6 ,
			36
	1, 6 < x < +∞.

а график функции распределения имеет вид:
	F(x)
	1
	0	6	x
ООО «Резольвента»,	www.resolventa.ru ,	[e-mail],	[phone]	29

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [e-mail], [phone]

в) Вычислим математическое ожидание и дисперсию:

	∞				6			6- x						1 6				2						x2					x3					6		216
	M(X) = ∫ xf(x) =∫x×										dx=					∫(6x - x )dx=											-							=6 -							=6 -4				=2,
	−∞				0			18				180												6					54					0		54
																∞																	6				6 - x
	D( X ) = M ( X 2 ) - M 2 ( X ) = ∫x2 f (x)dx -M 2 ( X ) = ∫x2 ×																																									dx - 4 =
															−∞																		0			18
		1 6				2			3			x3						x4				6					1296
	=			∫(6x			- x			)dx =							-					= 24 -											= 24			-18 = 6.
		18 0										9						72				0					72
	г) Найдем вероятность события 2 < X < 5 :
	P(2 < X < 5) = F(5) - F(2) = 1-																			1				- 1-			16				= -				1	+			16		=		15	.
																				36							36						36			36					36

Пример 13.9. На запуск двигателя тратится в среднем 2,5 попытки. Считая, что вероятность запуска двигателя в каждой попытке одинакова, найти вероятность запуска двигателя не более, чем за 3 попытки.

Решение. Пусть случайная величина Х равна числу попыток запуска двигателя. Тогда Х может принимать значения 1, 2,…. с вероятностями

P( X = k) = (1- p)k−1 p ,

где p – вероятность запуска двигателя в каждой попытке.

Случайная величина Х имеет геометрическое распределение с параметром p , причем

M ( X ) = 1p = 2,5 .

Следовательно,

p = 0,4; q =1− p = 0,6 .

Далее получаем

P( X £ 3) = P(1) + P(2) + P(3) = p ×q0 + p ×q + p ×q2 = p(1+ q + q2 ) = = 0,4×(1+ 0,6 + 0,36) = 0,784 .

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [e-mail], [phone]

30