AiNAU2010

П.А. Машаров]	§ 10. Преобразование графиков функций	29
§ 10. Преобразование графиков функций

Графики многих функций можно построить с помощью преобразования известных графиков. При этом следует помнить о том, что важную роль играет последовательность преобразований, поскольку изменение порядка зачастую дает другой результат. Так, например, чтобы получить график функции y = f(2x−1) из известного y = f(x) можно сделать преобразования по следующей цепочке: f(x) → f(x − 1) → f(2x − 1). Если же сделать эти преобразования в другом порядке, то получим f(x) → f(2x) →

f 2(x − 1) = f(2x − 2) = f(2x − 1).

Рассмотрим еще пару примеров построения цепочки преобразований. Чтобы получить график y = f(|x| − 1), достаточно действовать по цепочке f(x) → f(x − 1) → f(|x| − 1). Чтобы получить y = 2f(x) + 3 следует придерживаться цепочки f(x) → 2f(x) → 2f(x) + 3.

Далее в таблице представлены элементарные преобразования. Старый график (известный) изображен штрих-пунктирной линией, новый (полученный) — сплошной.

В таблице не представлено преобразование y = f(x) → y = g f(x)					посколь-
ку, хотя оно и является во многих случаях достаточно простым			(при относительно
несложной функции g), но зависит от функции g.
y = f(x) → y = f(x − a)	y = f(x) → y = f(x) + a	y = f(x) → y = f(kx)
Сдвиг вправо на a, a > 0	Сдвиг верх на a, a > 0	Сжатие к оси Oy в k раз,

k > 1

y = f(x) → y = kf(x)	y = f(x) → y = f(−x)	y = f(x) → y = −f(x)
Растяжение от оси Ox	Симметричное отображение	Симметричное отображение
в k раз, k > 1	относительно оси Oy	относительно оси Ox

30	Глава IV. Функции, их свойства и графики
y = f(x) → y = f(|x|)		y = f(x) → y = |f(x)|
Часть графика в x < 0		Часть графика в
отбрасывается, а часть		полуплоскости y < 0
графика в x 0 остается		симметрично отображается
и симметрично отобража-		относительно оси Ox

ется относительно оси Oy

§11. Упражнения к теме: ”Функции и графики”

1.Дана некоторая линия на плоскости.

y

1

O 1

[И.В. Гридасова

y = f(x) → y = f−1(x)

Симметричное отображение относительно прямой y = x

x

a) Является ли данная линия графиком некоторой функции f(x)?

П.А. Машаров] § 11. Упражнения к теме: ”Функции и графики” 31

b) Укажите координаты нескольких точек, принадлежащих графику f(x). Чему равно f(1)?

c) Пересекает ли график f(x) ось Ox? В каких точках? Ось Oy? В каких точках? d) Какова область определения функции f(x)?

e) Является ли f(x) элементарной функцией?

f) Является ли f(x) четной, нечетной, периодической? Монотонно возрастающей,

монотонно убывающей в D(f)?
g) Укажите промежутки знакопостоянства f(x).
h) Укажите промежутки монотонности f(x).
i) Является ли f(x) ограниченной в D(f)?
j) Является ли f(x) ограниченной:
i) при x [1, +∞);	ii) при x [2, +∞);		iii) при x [0, 2];
iv) при x (−∞, 0];	v) при x [0, 1];		vi) при x [−2, 3]?
k) Верно ли, что:
i) x: |x − 1| < 1 |f(x)| 1;		ii) x: |x − 2| < 1 |f(x)| 1;
iii) x: x > 3 0 f(x) 1;		iv) x: x < −3 f(x) < −1;
v) 0 f(x) 1 x 3;		vi) 0 f(x) 1 x 3;

vii)x 3 f(x) −2;

viii)δ > 0 (δ R+): x: 0 < |x − 1| < δ |f(x)| > 10.

l) К чему стремится значение функции f(x), если
i) x → +∞;	ii) x → 0;	iii) x → 1 + 0;
iv) x → 1 − 0;	v) x → −1;	vi) x → −∞;
vii) x → 2;	viii) x → 3;	ix) x → −2?

m) Найдите уравнения изображенных на рисунке касательных и асимптот. 2. i) Для функции, график которой изображен, найдите:

32

Глава IV. Функции, их свойства и графики

[И.В. Гридасова

a) D(f),

b) D(f(2x)),

c) D(f(x + 1)),

d) D(f(x) − 2),

e) D(f(−x)),

f) D(f(|x|)),

j)

(

,

k)

E(f),

,

l)

− ,

g)

D

f(x)

,

h)

i)

E(f(x − 2)),

E f(x) + 3)

E(2f(x))

E( f(x))

m) E(|f(x)|),

n) E(f(−x2))

o) E(

).

−f(x)

:

ii) Найдите, к чему стремится значение f(x) (с учетом направления

±

0), если x

→

a) −∞,

b) −1 − 0,

c) −1 + 0,

d) −0,

e) +0,

f) 1 − 0,

g) 1 + 0,

h) 3 + 0,

i) +∞.

iii) Найдите значения

a) f(−1),

b) f(1),

c) f(3),

d) f(f(1)),

e) f(f(2)),

f) f(f(x) + 2).

3. Изобразите график какой-либо функции f(x), удовлетворяющей следующим условиям:

a) при x (−∞, −2) и x (3, +∞) функция f(x) монотонно возрастает, при x (−2, 3) функция f(x) монотонно убывает.

b) D(f) = R, E(f) = {0; 1; −1}.

c) D(f) = (−1; 5) (5; 10), функция f(x) — ограничена на D(f).

d) D(f) = [a, b], a < b, функция f(x) — не ограничена на [a,b], f(a) = 1, f(b) = 2. e) D(f) = R. Для всех x, удовлетворяющих условию |x − 1| < 2 |f(x) − 1| < 3. f) D(f) = R. |f(x)| 5, E(f) не содержит полуинтервал (3,4].

g) D(f) = R, E(f) = (−1, 1).

h) D(f) = [−1, 0) (0, 1], функция f(x) — не ограничена на D(f). i) D(f) = [−5, 5], f(x) — периодическая.

j) D(f) = [−10, 10], |f(x)| > 1 на D(f). k) D(f) = R, E(f) = [0, 1].

l) D(f) = R, E(f) = (0, 1].

m) D(f) = R, f — ограничена сверху.

tg1x .

П.А. Машаров] § 11. Упражнения к теме: ”Функции и графики” 33

n) D(f) = R, f — ограничена.

o) D(f) = R, f — ограничена снизу. p) D(f) = R, f — неограничена сверху. q) D(f) = R, f — неограничена снизу. r) D(f) = [0,5], E(f) = R.

s) f(x) неограничена в окрестности точки x0 = 1. t) f(x) периодична с периодом 1.

u) D(f(x)) = R, E(f) = (−∞, − 2) (3, + ∞).

v) D(f) = R. При x → 1 + 0, f(x) → +∞. При x → 1 − 0, f(x) → 2 + 0. w) D(f) = R. При x → +∞, f(x) → 2 + 0. При x → −∞, f(x) → −∞.

x) D(f) = R. При x → 2 + 0, f(x) → 3 − 0. При x → 2 − 0, f(x) → 0 + 0. При x → 0 + 0, f(x) → −∞. При x → 0 − 0, f(x) → 0 + 0. При x → +∞, f(x) → −2 − 0. При x → −∞, f(x) → +∞.

4. Укажите множество для которых тождественно равны функции. a) f(x) = x, g(x) = √x2.

b) f(x) = x, g(x) = −√x2.

c) f(x) = √			√		, g(x) =				.
	x			x − 1				x(x − 1)
d) f(x) = ctg x·			, g(x) =

e) f(x) = x3, g(x) = eln x3 . f) f(x) = x2, g(x) = eln x2 . g) f(x) = ln x2, g(x) = 2 ln x.

h) f(x) = ln x4, g(x) = 4 ln |x|. i) f(x) = ln x2, g(x) = 2 ln(−x).

j) f(x) = sin x, g(x) = cos x · tg x.

k) f(x) = ln(x2 − 6x + 8), g(x) = ln(x − 2) + ln(x − 4).

l) f(x) = ln(x2 − 6x + 8), g(x) = ln(2 − x) + ln(4 − x).

√

√

2

, g(x) =

4

.

m) f(x) = x x

− x

√

√

2

4

.

n) f(x) = x x

, g(x) =

x

p) f(x) =

g(x) =

x

1 x,

( 1).

o) f(x) =

|x| |x − 1|, g(x) =

x(x − 1).

√

√

q) f(x) =

x x

x 1 − x, g(x) =

( − 1).

−

−

−

√

√

x x

5. Постройте графики

следующих неэлементарных функций.

a) y = sign x (знак числа x);

b) y = sign(x3 − x);

34

Глава IV. Функции, их свойства и графики

[И.В. Гридасова

c) y = sign(sin x);

d) y = [x] (целая часть числа x);

e) y = {x} (дробная часть числа x);

f) y = [cos x];

g) y = arcsin{x};

h) y = min{log2 x; logx 2}.

i) y =

1,

x

I = R

Q,

(Функция Дирихле).

0,

x

Q,

\

j) y =

x2

если 4 < x 4,

4 x + 3 ,

3,

если x −4

−

| |

2

,

−

3

(x 4)

если x > 4.

−

−

некото-

6.

Является

ли следующие линии на координатной плоскости графиками

рых функций?

7. Пользуясь графиком функции f(x), где i) f(x)							=	x;		ii) f(x) = x2 − 1;
iii) f(x) = 1/x, постройте графики следующих функций:
a) f(x) + 2;		b) f(x − 2);					c) f(x + 1);
d) 2 · f(x);		e) 21 f(x);					f) |f(x)|;
j) f(2| x|);		k)	f(x/|		2)| ;		l) f( x);
g) f( x );		h)		f( x ) ;			i)	−f(x);
p) ( ( ))	;	q)					r)	−		( );
						;
m) 1/f(x);		n)	(f(x))2;				o)		f(x)		;
f x 3			[f(x)]					sign f x
s) (sign f(x))2;		t) f(2x − 1);					u) f(|x| + 1).

8. Область определения функции f(x) — отрезок [−1; 2]. Найдите область определения следующих функций.

a) 2f(x) + 3;	b) f(x + 2);	c)
d) f(−x);	e) f(x) · f(x + 3);	f)
g) f({x});	h) f(sign x);	i)
j) f(cos x);	k) f(2 cos x);	l)
m) f(2x);	n) f(tg x);	o)

f(x + 1) − f(x − 1);

f(|x|);

f[x] ;

flog2 |x| ;

f(arctg x).

П.А. Машаров] § 11. Упражнения к теме: ”Функции и графики” 35

9. Множество значений функции f(x) — отрезок [−1; 2]. Найдите множества зна-

чений следующих функций.

a) 1/f(x);

b) f(x) + 1;

c) f(x) − 2;

d) f(x) ;

e) f(x) ;

f) f(x) ;

g) f(x)/3 ;

h) 2f(x);

i)

1 f(x);

3

j) f(x)/3

;

k) sign f(x);

l) sign f(x) ;

10.

Постройте графики следующих функций.

a) y = x2 + x + 2;

b) y =

x+1

;

(x+2)|x−1|

x−1

2

c) y =

;

d) y =

|x|

·

(x

+ 6x);

x 1

x

2

−

2

+3x+2

y =

x

1

1

e)

y = x

−3x+2

+ x

;

f)

−

;

x−1|

x+1

| | −

g) y =

x3| 3x+2

;

|

|

2

−

1

h) y = x

6 x + 8;

x

−

|

|

−

i) y = 8 − (x + 6)2,

если x < −6,

j) y = 2 −

если |x| 4,

4 − |x|,

если

x

−

6;

8/ x ,

x

> 4;

|

x

+ 2,

|

|

|

если | |

k) y =

2 x −1

;

l) y =

6x

x

2

7

;

|x |+1

−

| −

|

m) y =

|

|

1;

n) y =

arccos(2 x

3);

2 x + 2

| −

| −

|

|

√

√

o)

2

;

p)

.

f

x

= cos x

−

x

−

1

cos x

−

1 + x/2

cos

f(x) =

(

)

11. Постройте графики следующих функций (задания для работы дома).

a) y =

|3x−x3−2|

;

b) y = x( x

4);

c) y = (x

−

3)( x

+ 1);

x2+x 2

2

−

| | −

| |

d) y =

x

+5x+6

;

e) y = x3|x −2 4|;

f) y = |x − 3|(x + 1);

9−x2

8

g)

y =

−

x2 + 6 x

;

h)

y = x +x −4x−4

;

i)

y = sign x−2

| | −

x+1

x+1 .

12. Пусть функция f(x) и g(x) заданы на одном и том же множестве G (G D(f) ∩ D(g)). Докажите, что:

a) Если f(x) возрастает (убывает) на G, а C = Const, то i) f(x) + C возрастает (убывает) на G,

ii)Cf(x), C > 0 возрастает (убывает) на G, iii)Cf(x), C < 0 убывает (возрастает) на G,

b) Если f(x) возрастает (убывает) на G, то функция −f(x) — убывает (возрастает) на G.

c) Если f(x) и g(x) возрастают (убывают) на G, то f(x) + g(x) также возрастает (убывает) на G.

d) Если f(x) и g(x) неотрицательны на G и обе возрастают (убывают) на G, то f(x) · g(x) также возрастает (убывает) на G.

e) Если f(x) и g(x) отрицательны на G и обе возрастают (убывают) на G, то f(x) · g(x) убывает (возрастает) на G.

4 . x2+4x+8−1

3x2 − 6x + 4;

36 Глава IV. Функции, их свойства и графики [И.В. Гридасова

f) Если f(x) > 0 и f(x) возрастает (убывает) на G, то f2(x) также возрастает (убывает) на G. Если же f(x) < 0 и f(x) возрастает (убывает) на G, то f2(x) убывает (возрастает) на G.

g) Если f(x) возрастает (убывает) на G и f(x) > 0, то 1/f(x) убывает (возрастает) на G.

h) Если f(x) возрастает (убывает) на G и f(x) < 0, то 1/f(x) убывает (возрастает)

на G.
i) Если f(x)		0 и f(x) возрастает (убывает) на G, то		также возрастает
			f(x)
(убывает) на G.

j) Если f(x) возрастает (убывает) на G, то:

i)af(x) при a > 1 возрастает (убывает) на G,

ii)af(x) при 0 < a < 1 убывает (возрастает) на G,

iii)loga f(x) при a > 1 возрастает (убывает) на G, если f(x) > 0,

iv)loga f(x) при 0 < a < 1 убывает (возрастает) на G, если f(x) > 0.

13.Обобщите свойства f)–j) из задания 12 выше, сформулировав и доказав утверждение вида: ”Если f(x) ↑ (↓) на . . . , а g(x) . . . , то их суперпозиция g(f(x)) . . . ”.

14.Исследуйте функцию на монотонность. Найдите множество ее значений.

a) y = 3x − x2;

d) y = x/(x + 1);

√

g) y = √x − 2 + 3; j) y =

m) y = (x3 + 8)/(x + 2);

b) y = 3x2 − 6x + 1;

e) y = 2/(x2 + 2);
h) y = |x − 4| − 2;
	√
k) y = 1−3 5/(		x − 1	+1);
n) y =	(x +8)(x−4)
	x2−2x−8 ;

c) y = 5/(x − 2); f) y = (x + 1)/x;

i) y = 3 − |2x + 3|;

l) y = 2−3/(2x2−8x+9); o) y = 38 − √

15. Постройте графики функций f(x), 1/f(x) и, если это возможно, y = f−1(x).

a) f(x) = (x + 1);	b) f(x) = (x + 1)(x − 3);	c) f(x) = sin x;
d) f(x) = ln x;	e) f(x) = log1/2 x;	f) f(x) = arcsin x;
g) f(x) = arccos x;	h) f(x) = arctg x;	i) f(x) = arcctg x;
j) f(x) = ex;	k) f(x) = min{x2, 1/x2};	l) f(x) = x2 + x + 1;
m) f(x) = x2 + 1;	n) f(x) = tg x;	o) f(x) = [x].

16. Докажите следующие свойства функций, связанные с ограниченностью.

a) Если f(x) и g(x) определены и ограничены на множестве X, то f(x) ± g(x), f(x) · g(x), |f(x)|, C · f(x) (C = Const) также ограничены на множестве X.

b) Если f(x) и g(x) определены на множестве X и функция f(x) ограничена на

множестве X, а g(x) такова, что |g(x)| > M > 0, то функция	f(x)	ограничена на
	g(x)
множестве X.

П.А. Машаров] § 11. Упражнения к теме: ”Функции и графики” 37

c) Для любой функции f(x) функции cos f(x), sin f(x), arcsin f(x), arccos f(x), arctan f(x), arcctg f(x), 1/(f2(x) + 1) ограничены на том множестве, на котором они определены.

17.Обобщите свойство с) из задания 16 выше, сформулировав и доказав утверждение, связывающее ограниченность и суперпозицию.

18.Докажите ограниченность следующих функций на данном множестве.

a) f(x) =

x

, x2

R;

x2+1

c) f(x) =

(arcctg x

)

+ cos(x2 + 3x + 7),

4

x R;

x +2

1

3

,

e)

f

x

arcsin

x

R

− x2+x+1

(

) =

4

2

2+x6

;

g) f(x) =

x

+x

+2

, x

R;

2

x6+2

i) f(x) =

x

, x R;

x2+1

k) f(x) = arctg

x+1

;

2

x

−1

m) f(x) = 2cos x;

b) f(x) = 5sin x + 3cos 5x, x R;

d)

f(x) = 2x2 − 8x + 3 + sin2 10x,

x

(−1, 5];

1

f(x) = arctg x

arccos

x

R

f)

·

1+x4 ,

;

3

2

√

+1

x

h)

f(x) =

, x R;

x4+3

j)

f(x) = (arcctg x)3 + (arctg x)5

,

x

R

;

2

l)

f(x) = e−x

;

x

2

n)

f(x) =

3−1

.

|x|

+1

19. Докажите неограниченность функций в области определения.

a) f(x) = x2+1

+ sin 3x;

b) f(x) =

x+1

+ cos x;

2

x+1

x −5x+6

c)

f(x) = ln x

−

arctg x

;

d)

f(x) = x2

− 5

x + 6 + arcsin

2

e) f(x) = 3x + sin ex;

f) f(x) =

1

− ex +1;

x2+1

√

1

2

2

g) f(x) =

x4+1

;

h)

+

f(x) = ln

x − sin

x + sin x

x2+1

arctg x

i) f(x) = e−x;

j) f(x) = 1/ arcctg x.

1 ; x2+1

+ 2;

20. Постройте эскиз графика суммы функции.

a) y = x + x1 ;			b) y = x2 + x1 ;
d) y = x2 +	1	;	e) y = x + sin x;
	2
	x		h) y = x2 + ln x;
g) y = ex + ln x;
j) y = sin |x| + | sin x|;			k) y = [x] + sin(x/π);

21. Постройте эскиз графика произведения функций.

a) y = x · sin x;			2
			b) y = sin	2 x;
d) y =	1	· sin x;	e) y = e−x	· cos x;
	x2+1
g) y = [x] · | sin πx|;			h) y = cos x·sign(sin x);

c) y = x + x12 ;

f) y = x + arctg x;

i) y = x + sign(sin x); l) y = | sin x| − | cos x|.

c) y = sin3 x;

f) y = x · sign(sin x); i) y = x · sin(1/x).

22. Постройте эскиз графика суперпозиция функций.

a) y = e1/x;				b) y = e−1/x2 ;
d)	y	/ x		e)	y		arcsin(1/x)		;
		= ln(12	| |);			=	2	−1);
g) y		= e1/x	;	h) y		= eln(x

c) y = arctg(1/x);

f) y = 2cos x;		− 1 .
i) y = 1/ 2x−1
	x

Глава V. Уравнения

§ 12. Уравнения, системы и совокупности

Уравнением называется равенство, которое содержит неизвестное. Корнем (решением) уравнения называется значение переменной, которое превращает уравнение в верное числовое равенство. Решить уравнение означает найти все его корни или доказать, что их нет. Областью допустимых значений (ОДЗ) уравнения называется множество значений переменной, при которых выражения в обеих частях уравнения определены. Два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают.

Если каждый корень уравнения f(x) = g(x) является в то же время корнем другого уравнения f1(x) = g1(x), то последнее уравнение называют следствием исходного уравнения. Если при выполнении преобразований уравнение f(x) = g(x) свелось к уравнению f1(x) = g1(x), некоторые корни которого не являются корнями уравнения f(x) = g(x), то эти корни уравнения f1(x) = g1(x) называют посторонними корнями уравнения f(x) = g(x). Если при выполнении преобразований уравнение f(x) = g(x) свелось к уравнению f1(x) = g1(x), причем некоторые корни уравнения f(x) = g(x) не являются корнями уравнения f1(x) = g1(x), то в этом случае говорят о потере корней.

Посторонние корни, возникшие в процессе преобразований, можно выявить проверкой. Конечно, если все преобразования приводили нас к цепочке равносильных уравнений, то проверка необязательна. Однако этого не всегда можно добиться, легче следить за тем, чтобы каждое уравнение цепочки являлось следствием предыдущего, т.е. чтобы не происходила потеря корней. В этом случае проверка является элементом решения. Следует отметить, что часто легче сделать проверку, чем обосновать то, что в ней нет необходимости.

Несколько уравнений с одной переменной образуют систему уравнений, если ставится задача: найти все такие значения переменной, каждое из которых является корнем каждого из уравнений. Для обозначения системы используют фигурную скобку:

f1(x) = 0,

. . . ,

fn(x) = 0.

38