Тер.вер(решение задач)

		n
rxy		∑(xi − x)( yi				− y)	17,96	= 0,650 .
	=	i=1				=
							504,1 1,516
		n			n
		∑(xi	− x)2		∑( yi − y)2
	i=1			i=1

Поскольку выборка малая (n < 25), то критическая статистика для проверки значимости коэффициента линейной корреляции Пирсона имеет вид

t = ryz n −2 .

1−ryz2

Находим из таблицы критическую границуtα (n − 2) = t0,05 (8) = 2,306 .

Расчетное значение критической статистики равно:

t расч	= r n − 2 =	0,650 8 = 3,180 .
	1 − r 2	1 − 0,6502

Поскольку t ðàñ÷ > tα (n −2) , то гипотеза H0 отклоняется и коэффициент корреляции можно

считать существенно отличным от нуля.

Коэффициенты регрессии a, b находим методом наименьших квадратов, решая систему линейных уравнений:

an +b∑xi = ∑yi ,a∑xi +b∑xi2 = ∑yi xi ,

где n = 10.

Решение данной системы имеет вид:

n∑xi yi −

∑xi

∑yi

10 786,1 −193 39,8

b =

i

i

i

=

= 0,0356 ,

2

10

2

n∑xi2 −

4229 −786,1

∑xi

i

i

a =

∑yi −b∑xi

39,8 − 0,0356 193

i

i

=

= 3,292 .

n

10

Уравнение регрессии имеет вид y = 3,292 + 0,0356x .

Интерпретация уравнения:

1.Если студент не занимается самостоятельно, то в среднем его успеваемость составит 3,292 балла.

2.Каждый дополнительный час самостоятельных занятий в неделю в среднем повышает среднюю успеваемость студента на 0,0356 балла.

Если студент занимается самостоятельно по 12 ч в неделю, то прогноз его успеваемости составит y(x =12) = 3,292 + 0,0356 12 = 3,720 .

Задача 122. По статистическим данным распределение магазинов города по годовому товарообороту (млн. руб.) имеет следующий вид:

	Товарооборот	Менее 1	1 – 3	3 – 7	7 – 13	13 – 23	23 – 35	Свыше 35
	Число магазинов	35	40	10	6	4	4	1
	(% к итогу)
	Найти: средний товарооборот, моду и медиану ряда, размах вариации, среднее
квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Решение.

Зададим каждой группе магазинов в качестве товарооборота среднее значение соответствующего интервала. В результате получим следующую таблицу

			Товарооборот				0,5		2				5		10	18	29		41
			Число магазинов				35		40				10		6	4	4		1
			(% к итогу)
Определим средний товарооборот по формуле средней арифметической взвешенной
			∑xi wi		0,5 35 + 2 40 +... + 41 1								436,5
		x = ∑wi		=							=			= 4,365 млн. руб.
						35 + 40 +... +1							100

Мода ряда – наиболее часто встречающийся товарооборот. Она равна xmod = 2 млн. руб.

Медиана ряда – центральный элемент ряда. Она равна xmed = 2 млн. руб.

Размах вариации равен

R = xmax − xmin = 41 −0,5 = 40,5 млн. руб.

Дисперсия равна

sx2 =

− (

)2

=

∑xi2 wi

− (

)2 =

0,52 35 + 22 40 +... + 412 1

x2

− 4,3652

=

x

x

35 + 40 +... +1

∑wi

= 73,5975 − 4,3652 = 54,5443 .

Среднее квадратическое отклонение равно

sx = sx2 =

54,5443 = 7,3854 млн. руб.

Коэффициент вариации равен

v = sxx = 74,3854,365 =1,692 .

Задача 123. В порядке случайной повторной выборки отобрано 100 образцов, после измерения их массы (кг) получено следующее распределение:

Масса	Менее 1,5	1,5 – 1,7	1,7 – 1,9	1,9 –	2,1	Свыше 2,1
Число образцов	35	40	20	4		1

Найти доверительный интервал для средней массы с вероятностью 0,997.

Решение.

Зададим каждой группе образцов в качестве массы среднее значение соответствующего интервала. В результате получим следующую таблицу

Масса	1,4	1,6	1,8	2,0	2,2
Число образцов	35	40	20	4	1

Определим среднее значение массы образцов и дисперсию:

∑xi ni

1,4 35 +1,6 40 +... + 2,2

1

159,2

x = ∑ni

=

=

=1,592

кг.,

35 + 40 +... +1

100

sx2 =

− (

)2

=

∑xi2 ni

− (

)2 =

1,42 35 +1,62 40 +... + 2,22 1

x2

−1,5922

=

x

x

∑ni

35 + 40 +... +1

= 2,5664 − 2,53446 = 0,03194 .

По условию задачи имеем повторную выборку, следовательно, средняя ошибка выборки равна

μ =	s2	=	0,03194	= 0,01787 .
	x		100
	n

При доверительной вероятности p = 0,997 коэффициент доверия t = 3. Тогда предельная ошибка выборки равна

x = t μ = 3 0,01787 = 0,05361.

Доверительный интервал для средней массы с вероятностью 0,997 равен x − x ≤ M[x] ≤ x + x .

Подставив имеющиеся данные, получим: 1,5384 ≤ M[x] ≤1,6456 .

Задача 124. Перед выборами в городе с числом избирателей 80000 человек проводится опрос общественного мнения о шансах одного из кандидатов. Найти объем бесповторной выборки, чтобы с вероятностью 0,954 предельная ошибка не превышала 1%, если по данным предыдущего опроса за него собирались голосовать 30% жителей.

Решение.

Необходимый объем выборки для случая бесповторного отбора равен

n =	t 2	σ2 N		,
	2 N	+t 2 σ2
где σ2 = ω(1−ω) = 0,3 0,7 = 0,21; t = 2 ; = 0,01; N = 80000 .
Подставив в формулу числовые значения получим
n =	22 0,212 80000							=	36000000	=1725,9 ≥1726	чел.
	0,01	2	80000 + 2		2	0,21	2		253600

Задача 125. Для имеющейся совокупности опытных данных (выборки) требуется:

1)Построить интервальный статистический ряд и гистограмму распределения;

2)Вычислить выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднеквадратичное отклонение, коэффициент вариации;

3)Выбрать теоретический закон распределения.

15,2		17,6		08,5		11,6		11,5		14,6		10,9		25,0	12,3	16,3
19,2		20,1		20,1		20,4		11,9		19,8		17,6		14,3	12,6	20,6
10,0		07,6		21,5		03,6		19,6		16,8		14,9		17,6	11,3	10,7
16,2		12,2		15,8		23,8		11,3		07,0		19,1		16,2	15,2	16,2
14,5		05,4		09,3		22,6		17,7		09,0		16,2		16,6	17,4	17,4
17,3		11,9		16,3		17,1		14,7		23,6		14,2		13,9	12,2	18,6
12,7		17,7		09,8		18,1		19,0		07,0		17,3		13,4	14,8	09,8
13,8		12,6		26,5		19,4		11,7		17,4		16,4		13,7	22,2	11,9
18,2		11,3		18,4		12,7		18,4		17,2		14,2		12,0	17,4	21,9
12,4		19,0		16,3		20,1		07,0		09,6		12,5		12,4	11,8	13,0
	Решение.
	Для построения интервального ряда, определим по формуле Старджесса число
интервалов:			L =1+[3,322 lg n]=1+[3,322 lg100] =1+[3,322 2] = 7 .
	Тогда		величина		интервала		равна		h =	xmax − xmin		, где	xmax − xmin		− разность между
										L

наибольшим и наименьшим значениями признака. Отсюда имеем:

h =	26,5 −3,6	=	22,9	= 3,2714 .
	7		7

По этим данным составим интервальный статистический ряд:

№ интервала	Разряды	Середина	Число наблюдений	Частоты	p	b	= p / h
		интервала xi	ni		i	i	i
1	3,6−6,871429	5,235714	2	0,02		0,006114
2	6,871429−10,14286	8,507143	11	0,11		0,033624
3	10,14286−13,41429	11,77857	25	0,25		0,076419
4	13,41429−16,68571	15,05	23	0,23		0,070306
5	16,68571−19,95714	18,32143	26	0,26		0,079476
6	19,95714−23,22857	21,59286	9	0,09		0,027511
7	23,22857−26,5	24,86429	4	0,04		0,012227

Выборочное среднее определим по формуле среднего арифметического взвешенного:

7

x = ∑xi pi = 5,2357 0,02 +K+ 24,8643 0,04 =15,148 .

i=1

Выборочная дисперсия равна:

7

S 2 = ∑xi2 pi − x2 = 5,23572 0,02 +K+ 24,86492 0,04 −15,1482 =19,790 .

i=1

Выборочное среднеквадратичное отклонение равно квадратному корню из дисперсии:

S =			S 2		= 19,79 = 4,449 .
Коэффициент вариации равен:
V =	S			=		4,449	= 0,294 , или 29,4%.
					15,148
		x

Полученному статистическому ряду соответствует нормальное распределение. В качестве теоретического закона распределения используем нормальное распределение с математическим ожиданием 15,148 и дисперсией 19,79.

Задача 126. По результатам десяти испытаний системы случайных величин (X,Y) найти выборочный коэффициент корреляции ρху и составить выборочное уравнение линейной регрессии Y на X. На координатной плоскости изобразить точками, полученные в результате испытаний пары значений случайных величин и построить линию регрессии.

X	2,26	2,24	2,24	2,20	2,13	2,13	2,06	2,16	2,06	1,92
Y	5,94	6,12	6,11	6,12	6,65	6,35	6,69	6,38	6,50	6,91

Решение.

Для величин X и Y вычислим выборочные средние:

1

10

2,26

+K+1,92

=

∑xi

=

= 2,14 ;

x

10

10 i=1

10

+K+6,91

=

1

∑yi

=

5,94

= 6,377 .

y

10 i=1

10

Найдем выборочные дисперсии и средние квадратические отклонения:

10

2

+K

+1,92

2

Sx2

=

1

∑xi2 −

2 =

2,26

−2,142 =

45,896

−4,580 = 0,00998 ;

x

10

10

10 i=1

Sx

=

0,00998 = 0,0999 ;

10

2

2

S y2

=

1

∑yi2 −

2

=

5,94

+K+6,91

−6,3772

= 407,528 −40,666 = 0,0867

;

y

10

10 i=1

10

S y

=

0,867 = 0,2944 .

Найдем теперь выборочный коэффициент корреляции:

10

∑xi yi −10

x

y

(2,26

5,94 +K1,92 6,91) −10 2,14 6,377

ρxy

=

i=1

=

= −0,934 .

10 Sx S y

10 0,0999 0,2944

Т.к. коэффициент кореляции близок по модулю к едтнице, то можно считать, что X и Y связаны линейной зависимостью. Выборочное уравнение линейной регрессии Y на X имеет вид:

	y −		= ρ			S y	(x −			) .
		y						x
				xy
						Sx
	В нашем случае:
	y −6,377 = −0,934								0,2944		(x −2,14) ,
									0,0999

или после преобразования: y = 8,376 −2,947x .

На координатной плоскости изобразим точками пары значений случайных величин и построим линию регрессии:

	7,2
	7
	6,8
Y	6,6
	6,4
	6,2
	6
	5,8
	1,9	2	2,1	2,2	2,3
			X

Задача 127. В порядке серийной выборки из 1000 контейнеров бесповторным отбором взято 10. Каждый из них содержит равное количество однотипных изделий, изготовленных высокоточным производством. Межсерийная дисперсия проверяемого параметра изделия равна 0,01. Найдите доверительную вероятность того, что среднее значение проверяемого параметра во всей партии отличается от среднего значения в выборке не более чем на 0,05.

Решение.

Искомая доверительная вероятность определяется по формуле

p = P(x −a ≤ 0,05)= 2Φ 0σ,01 ,

x

где для бесповторной выборки

2

σ2

n

0,01

10

0,01 990

; σ

= 0,00099 = 0,03146 .

σ

=

n

1

−

=

1

−

=

= 0,00099

10

1000

10000

x

x

N

Отсюда имеем

0,01

0,01

p = P(

x −a

≤ 0,05)= 2Φ

= 2Φ

= 2Φ(0,3178)

= 2 0,1247

= 0,249 .

σ

0,03146

x

Таким образом, доверительная вероятность того, что среднее значение проверяемого параметра во всей партии отличается от среднего значения в выборке не более чем на 0,05,

равна 0,249.

Задача 128. Выборочная проверка стоимости квартир (тыс. руб.) дала следующие результаты (см. в приведенной ниже таблице своего варианта). Требуется:

-вычислить для данной выборки коэффициент вариации, несмещенные оценки для математического ожидания, дисперсии, показателей ассиметрии и эксцесса;

-разбить выборку на L классов (L=1+3,22 lgn). Составить вариационный ряд, соответствующий этому разбиению;

-построить гистограмму относительных частот;

-с помощью критерия Пирсона проверить гипотезу о нормальном распределении случайной величины Х – стоимости квартиры при уровне значимости α = 5;

- построить график плотности нормального распределения с параметрами X B , S на том же чертеже, где и гистограмма; сравнить полученные графики;

-построить доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратического отклонения с надежностью γ = 0,95.

60,0	52,0	49,0	52,0	54,0	57,5	53,5	56,5	56,0	50,0
53,0	51,5	49,0	54,0	55,5	57,0	53,5	52,5	52,0	50,0
54,5	52,0	53,0	52,0	58,0	53,0	65,5	54,5	65,5	54,5
52,0	50,0	54,0	50,0	58,0	54,5	53,0	51,5	53,5	54,0
51,5	50,5	53,5	48,5	57,5	52,5	54,5	52,5	48,5	54,5
49,5	52,0	52,5	43,0	58,5	52,0	54,0	56,0	52,0	56,0

Решение.

Найдем статистическое распределение выборки.

xi	43	48,5		49		50		50,5		51,5		52		52,5		53		53,5		54	54,5	55,5
ni	1	2		1		4		1		3		9		4		4		4		5	7	1
				56		56,5		57		57,5		58		58,5		60		65,5
				3		1		1		2		2		1		1		2

Объем выборки n = ∑ni = 60 .

i

Размах выборки R = xmax − xmin = 65,5 − 43 = 22,5.

Так как число классов k = 1 + 3,22 lgn = 1 + 3,22 lg60 ≈ 7, то длина частичного интервала

h =

R

=

22,5

≈ 3,214 .

k

7

Для построения гистограммы относительных частот составим таблицу.

Номер

Частичный

Сумма частот

Относительная

Плотность

вариант

частота

относительной

интервала

интервал

частичного

w =

ni

частоты

wi

i

xi - хi+1

интервала ni

n

h

i

1

43,0-46,21

1

0,0167

0,0052

2	46,21-49,43	4	0,0667	0,0207
3	49,43-52,64	22	0,3667	0,1141
4	52,64-55,86	20	0,3333	0,1037
5	55,86-59,07	10	0,1667	0,0519
6	59,07-62,29	1	0,0167	0,0052
7	62,29-65,5	2	0,0333	0,0104

Найдем несмещенную оценку математического ожидания, т.е. выборочную cреднюю

x = 1 ∑60 xi = 53,517 . 60 i=1

Чтобы найти несмещенные оценки дисперсии, показателей асимметрии и эксцесса, коэффициент вариации, составим таблицу.

Номер	Границы		Середина				~	− х		ni	~		− x		) n	~		− x		)	2	n	~		− x		)	3	n
							x		В		(x	i		В		(x	i		В				(x	i		В				~	4
							i								i							i							i			ni
интервала	интервала		интервала																											(xi − x В )
I					xi + xi+1
	xi	xi+1	~
			xi	=
					2
1	43,0000	46,2143		44,6071			-8,9095			7		-8,9095				79,3796							-707,2346							6301,1232
2	46,2143	49,4286		47,8214			-5,6952			9		-22,781				129,7429							-738,9170							4208,3081
3	49,4286	52,6429		51,0357			-2,4810			10		-54,581				135,4127							-335,9526							833,4823
4	52,6429	55,8571		54,2500			0,7333			19	14,6667					10,7556									7,8874					5,7841
5	55,8571	59,0714		57,4643			3,9476			7	39,4762					155,8370							615,1850							2428,5159
6	59,0714	62,2857		60,6786			7,1619			4		7,1619				51,2929							367,3547							2630,9595
7	62,2857	65,5000		63,8929			10,3762			4	20,7524					215,3307							2234,3119							23183,6461
					∑											777,7514							1442,6349							39591,82