(9)2НЕОПР-Й ИНТЕГРА - копия - копия
.pdf4. |
|
nx dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. |
sin 3 kx |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||
|
sin 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
dx |
4 |
k |
ln 3 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
cos kx cos px dx 0, k p |
|
|
15. |
sin kx dx |
kx |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16. |
|
|
|
|
3 |
kx dx |
3 |
3 1 |
|
|
|||||
sin kx sin px dx 0, |
k p |
|
|
sin |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
4 |
|
6k |
|
7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17. |
|
|
|
|
3 |
kx dx |
3 |
3 |
|
|
|||||
cos kx sin px dx 0 |
|
|
|
|
|
sin |
|
|
2k |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
8. |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18. |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
cosk |
x cos kx dx |
2k 1 |
, |
|
|
|
|
|
0 |
sh kx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. |
|
x sin kx dx |
|
|
|
|
k |
|
|
19. |
|
|
x dx |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
sin k |
2 |
k |
sin |
|
2 |
, |
|
|
sh kx |
|
4k |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
k 1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. |
|
x cos kx dx |
|
|
|
|
k |
|
20. |
|
|
x |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
sin k |
|
|
k |
cos |
2 |
|
, |
|
|
|
|
x |
1 |
dx |
6 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
k 1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
165 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18.ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
18.1.ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ
18.1.1.В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ
y |
y f x |
|
y |
|
|
a 0 |
b x |
|
|
0 a |
b |
x |
|
|
|
|
|||
|
y f x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
b |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S f x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
b |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
a |
|
|
|
S |
f x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y f x |
|
|
|
|
|
|
|
y f x |
a |
b |
|
|
b |
|
0 |
0 |
a |
x |
|
y x |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
f x dx |
|
b |
|
S |
|
|
S f x x dx |
|
||
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
166
d |
y |
|
d |
||
|
|
x y |
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
x y |
0 |
x |
|
|
|
||
0 |
|
|
|
|
x |
|
c |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
d |
с |
|
|
S y y dy |
|
|
|
|
|
c |
|
d |
|
|
|
|
S y dy |
|
|
|
|
c |
|
|
|
18.1.2. В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
S |
2 d |
|
|
|
|
F 2 f 2 d |
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
S |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
167
|
18.2. |
ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИН ДУГ |
||
|
18.2.1. В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ |
|||
Длина дуги гладкой кривой |
y f x в прямоугольных координа- |
|||
тах от точки x a до точки x b (a b) : |
|
|||
|
|
|
b |
|
|
|
l 1 y / 2 dx . |
||
|
|
|
a |
|
|
18.2.2. В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ |
|||
Длина дуги гладкой кривой |
f в полярных координатах от |
|||
точки |
|
|
|
|
до |
точки |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l 2 / 2 d . |
||
|
|
|
|
|
18.2.3. КРИВАЯ ЗАДАНА В ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ |
||||
Длина дуги гладкой кривой |
x t , y t , заданной в парамет- |
|||
|
|
|
t |
x / 2 y / 2 dt . |
рической |
форме, t1 |
t2 : |
l 2 |
|
|
|
|
t1 |
|
|
18.3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЁМОВ ТЕЛ |
|||
18.3.1. ОБЪЁМ ТЕЛА С ИЗВЕСТНЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ S x |
||||
|
|
y |
|
|
b |
|
|
|
|
V S x dx |
|
|
b |
|
a |
|
а |
x |
|
|
0 |
|
x |
|
|
|
|
S x |
|
|
|
|
168 |
|
|
18.3.2. ОБЪЁМ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ вокруг оси Ох кривой y f x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y f x |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
a |
x |
||
Vox y |
2 |
dx |
|
0 |
|
||||
|
|
|
|
b |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x 2 dx |
|
|
|
|
|
|||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18.3.3. ОБЪЁМ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ вокруг оси Оу кривой x y |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
y |
|
|
|
|
|
|
|
d |
x |
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
Voy |
x2 |
dy |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 y dy |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18.4. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ |
||||||||
|
|
|
|
|
ДУГИ КРИВОЙ |
|
|||
|
|
|
18.4.1. КРИВАЯ ЗАДАНА УРАВНЕНИЕМ |
y f x |
|||||
|
Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох |
||||||||
дуги кривой y f x между точками с абсциссами |
x a, x b a b , |
||||||||
|
|
|
|
|
b |
|
|
b |
1 y 2 dx , |
|
выражается формулой S 2 y ds 2 y |
||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
a |
|
|
где |
|
2 |
2 |
dy |
2 |
|
|
|
|
ds dx |
dy |
1 |
|
dx - дифференциал дуги кри- |
||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
вой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
169 |
|
|
|
|
18.4.2.КРИВАЯ ЗАДАНА ПАРАМЕТРИЧЕСКИМИ УРАВНЕНИЯМИ:
xx t , y y y
t2 |
dx |
|
2 |
dy |
2 |
||||
|
|
||||||||
S 2 y t |
|
|
|
|
|
|
|
|
dt , |
|
|
|
|||||||
t1 |
dt |
|
|
dt |
|
||||
где t1 , t2 - значения параметра |
|
t , соответствующие концам вра- |
щаемой дуги.
18.5. РАБОТА ПЕРЕМЕННОЙ СИЛЫ
Работа переменной силы F F x на участке a,b :
b
A F x dx
a
ДЛЯ ЗАМЕТОК
170