Математика 3 семестр

12.к каноническому виду. Назовите центр и радиус данной окружности.

13.Сформулируйте определение эллипса, гиперболы, параболы. Постройте линию

x2 y2 4x 6y 28 0 в системе координат.

14.Дайте определение эксцентриситета для: а) эллипса, б) гиперболы, в) параболы.

Раздел 2. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

2.1 Операции над векторами. Скалярное произведение двух векторов

1.

2.

AB - направленный отрезок. Сложение векторов.

a

b

или

a + b

3. Вычитание векторов.

a	a - b	или
	b

4. Умножение вектора на число.

a
	|	|
3
3		|

5. Скалярное произведение.

B

a

a

3 a

|

-3 a

|

a

+

b

b

a - b

b

|

0

A

1)a · b =| a | |

2)a · b =P, P-

3)a = m1 i n1

4)b = m2 i n2

Свойства:

b | cos(a ^ b )

число j p1 k

j p2 k

21

1). a · b = m1m2	n1n
координатами.
2). | b | cos = Пp		a	b

2 p1 p2 -скалярное произведение векторов, заданных

(проекция вектора b на a ). Поэтому

a · b

= |

a | | b |cos =

|

a

|

Пp

a

b

=| b | Пp

b

a

3).

a

2

= a

2

, |

a | =

m

2

n

2

p

2

, где

|

a

| = mi n j pk

4).

a · b =0,

если

a b

5).

b = ma

или

m

2

n

2

p

2

m -условие коллинеарности векторов.

m

n

p

1

1

1

6). Угол между векторами:

n1n2 p1 p2

cos

a b

m1m2

,

m1m2 n1n2

p1 p2

0

| a |

| b |

m12

n12 p12

m22 n22 p22

- условие

перпендикулярности двух векторов.

7).

8).

9).

a · b = b ·

a · b c

i j 0,

a ab a c j k 0,

i i 1,

k k 1

2.2

Векторное произведение

Векторное произведение a b c

a b c удовлетворяет условиям:

1).

2).

3).

c a и c b
c a b sin	c S

a, b, c -образуют такую же ориентацию как

i, j,k

Свойства:

=

1).

a

b

b

a

2).

, где

R

a

b

a

b

a

b

3).

a b c a b a c

4). Если

a^ b 0, то

a || b a b 0

5). a a b b 0

a b , то

6).

Если

c a b

7.) Sпар с a b - площадь параллелограмма.

S 12 | a b | -площадь треугольника.

22

8).

9).

i
a b m
1
m	2
i j k

j
n
1
n	2
j

k					n p				i		m p					j		m n			k
p
					1		1					1		1				1	1
1					n		p				m			p				m	n
						2		2					2		2					2
p																		2
	2
k i							k i						j

2.3 Смешанное произведение трех векторов

1).	a b c a b c -форма записи смешанного
2).	a b c = b c c c a b b a c a c
3).	Если a,b, c -компланарны , то a b c 0

произведения. b c b a

4).

5).

m
1
a b c m	2
m	3
d a

n
1
n	2
n	3
b

p
1
p	2
p	3

, если

am1 i n1 j p1 k

bm2 i n2 j p2 k

cm3 i n3 j p3 k

М A1

с Д

b А

Д1

a

С1

В1

С

В

d a b	AM Пp	d	c
| a b | S	ABCD
a b c | a b | | c | cos | a b | Пp					d
				V

c S a

H V , где V-объём параллелепипеда .

b c

2.4 Примеры решения задач

Задача Даны координаты вершин пирамиды ABCD:	А (2; 1; 0), B (3;			-1; 2),
(13; 3; 10), D (0; 1; 4). Требуется: 1) записать векторы AB, AC	и AD в системе			орт i ,

и найти модули этих векторов; 2) найти угол между векторами AB и AC ; 3) найти

проекцию вектора AD на вектор AB ; 4) найти площадь грани ABC; 5) найти объем пирамиды ABCD.

Решение. 1. Произвольный вектор а может быть представлен в системе орт i, j, k следующей формулой;

a ax i a y j az k , (1)

С

j, k

23

где ах, ау, аг — проекции вектора а на координатные оси Ох, Оу и Oz, а i , j и k —

единичные векторы, направления которых совпадают с положительным направлением осей Ох, Оу и Oz. Если даны точки M1 x1 ; y1 ; z1 и M 2 x2 ; y2 ; z2 , то проекции вектора

a M1M 2 на координатные оси находятся по формулам:

a

x

x

2

x

;

a

y

y

2

y ;

a

z

z

2

z

1

1

1

Тогда

M

M

2

x

2

x i

y

2

y j z

2

z k

1

1

1

1

Подставив в (3) координаты точек A и В, получим вектор

AB

AB 3 2 i

1 1 j 2 0 k i 2 j 2k .

Аналогично, подставляя в (3) координаты точек А и С, находим

AC 11i 2 j 10k .

(2)

(3)

Подставив в (3) координаты точек А и D, находим вектор

AD

:

Если вектор

a

Применяя (4),

AD 2i 4k .

задан формулой (1), то его модуль вычисляется по формуле

| a |	2	2	2	. (4)
	ax	a y	az

получим модули найденных векторов:

| AB | 3

|

AC

|

15

,

| AD | 2

5

2. Косинус угла между двумя векторами равен скалярному произведению этих векторов,

деленному на произведение их модулей. Находим скалярное произведение векторов

AB

и AC :

AB AC 1 11 2 2 2 10 27

Модули этих векторов уже найдены: | AB | 3 , | AC | 15 Следовательно,

cos A

27

3

0,6;

A 53 0,8 .

3 15

5

3. Проекция вектора

AD

на вектор

деленному на модуль вектора AB :

AB

равна скалярному произведению этих векторов,

	пр			AD			AB		AD
		AB					|AB|

1 2 2 0 2 4 2. 3

24

4. Площадь грани ABC равна половине площади параллелограмма, построенного на

векторах

AB

и

AC

. Обозначим векторное произведение вектора

AB

на вектор

AC

через вектор

P

. Тогда, как известно, модуль вектора

P

выражает собой площадь

параллелограмма, построенного на векторах					AB
равна половине модуля вектора P :
				_
			i	j		k
P AB AC			1	2		2
			11	2		10
| P | 36,				S ABC

и

18

AC , а площадь грани ABC будет

24i 12 j 24k

кв. ед.

5. Объем параллелепипеда, построенного на трех некомпланарных векторах, равен

абсолютной величине их смешанного произведения. Вычислим смешанное произведение
AB AC AD :
1	2	2
AB AC AD 11	2	10 144
2	0	4

Следовательно, объем параллелепипеда равен 144 куб. ед., а объем заданной пирамиды ABCD равен 24 куб. ед.

2.5Вопросы для самопроверки.

1.Дайте определение вектора.

2.Какие векторы называются равными?

3.Геометрическое и аналитическое толкование координат вектора.

4.Запишите модуль вектора между координатами.

5.Как выполняется сложение, вычитание, умножение вектора на число геометрически (рисунком) и аналитически (формулой).

6.Дайте определение базису пространства.

7.Запишите скалярное произведение двух векторов в векторной форме и между координатами перемножаемых векторов. То же для векторного и смешанного произведения.

8.Условия коллинеарности и компланарности векторов в векторной и координатной форме.

25

Раздел 3. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙАНАЛИЗ

3.1 Понятие предела функции одной переменной

Определение. Число а называется пределом функции y =f(x) в т. x0

x x0

если

для любого сколько угодно малого наперёд заданного ε >0

найдётся такое

δ>0 (δ=δ(ε)),

что выполняется неравенство

|

f x

a |

< при

| x x

0

|

<

Этот факт записывается так:

lim f x a

x x

lim f x a

0

Если

,

то говорят, что функция имеет пределом число a на бесконечности

x x

0

(x→∞).

lim f x

f x

Если

,

то функцию

y

называют бесконечно большой величиной

x x

0

в окрестности т.

x

0

.

Если

lim f x

,

то f(x)- бесконечно большая величина на бесконечности (x→∞).

x x0

Если

X0 .

lim x x0

f x

0

, то

x

- бесконечно малая функция (величина) в окрестности т.

Если	lim f x 0	, то	x	- бесконечно малая величина на бесконечности (x→∞).
	x x
	0

При вычислении пределов используются теоремы о пределах, а также 1-ый

замечательный предел

	lim	sin x	1
		x
	x 0

1

n

e,

второй замечательный предел

lim 1

n

n

ln 1 x

lim a

x

1

1 x

m

1

lim

1

ln a,

lim

x

,

x

x

x 0

x 0

x 0

e

2,71828, а также формулы

3.2 Способы раскрытия неопределённостей вида

0
0

и

.

		f1	x		0
I. Если	lim						, то можно использовать три способа раскрытия этой
		f2	x
	x x0				0

неопределённости.

1-ый способ. Разложить и числитель и знаменатель дроби на множители, затем сократить на общий множитель.

Пример.

lim	x2 5x 6					0			lim	x 2 x 3	lim x 3 2 3 1
x 2		x 2							x 2	x 2	x 2
						0
lim 1 1
	x 2
Ответ:		lim	x2	5x 6				1, где 2- предельное значение аргумента, (-1) -
				x 2
		x 2
											26

предельное значение функции y.

2-ой способ. Использовать правило Лопиталя, т.е использовать равенство:

						f	x		0				f						0
												lim			x						....
			lim			1	x							1
						f2							f
			x x									x x
					0				0			0		2	x					0
			x		5x 6				2			5 2 6				0					x		5x			2x 5
				2							2											2		6
	lim				x 2							2 2				0		lim					x 2		lim	1
	x 2																			x 2					x 2
Пример:
		2 2 5						lim 1 1
							1
					1
									x 2

3-ий способ. Применить таблицу эквивалентности бесконечно малых.

Таблица эквивалентности

1.

2.

sin ~
tg ~		при 0
	2
1 cos ~
	2
arcsin x ~ x			x 0
arctgx ~ x	при

3.

e x 1 ~ x
	при
a x 1 ~ x ln a

x 0

4.

ln 1 x ~ x
		x	при
loga	1 x ~
		ln a

x 0

Пример: Найти

	1 cos		2
lim
		2
0

Решение.

	1 cos		2			1 cos			2	0		1 1		0			1 cos 1 cos
lim		2					0	2				0		0		lim		2
0																0

	1 cos					2		lim	2 1 cos			1	lim 1 cos		1	1 cos0 1 1
										2
						2		0	2			2 0		2
																	II. Если
	1		2 1
	2
			f1 x
lim						,		то можно использовать три способа раскрытия этой неопределённости.
			f2 x
x x0
														27

1-ый способ. Использовать правило Лопиталя.

Пример. Найти

		4 3x			2
	lim
		x	2	1
	x

lim

4 3x2

4

lim

4 3x2

lim

6x lim 3 3

Решение:

1

x

x

1

x

x

2x

x

2

2-ой способ. Разделить все слагаемые числителя и все слагаемые знаменателя на старшую переменную дроби.

Пример. Найти

	величины ]=		lim			3
						1
			x
			4 3x				2
	Ответ:	lim
			x	2	1
		x

		4 3x			2
	lim
		x	2	1
	x

3

3

				4	3
				x
			lim	2
					1
			x	1
					x	2

[

	4		,	1
	x	2		x	2

-бесконечно малые

3.3 Первый и второй замечательные пределы

1.

lim

sin x

1

lim

x

1

x

sin x

-

первый замечательный предел.

x

0

x

0

Замечание.

При x 0 sin x~ x

Пример.

Найти

lim

tgx

tg0

0

lim

sin x

lim

sin x

lim

1

x cos x

0

x cos

2

x

2

x

cos

x

x 0

0 cos0

x 0

x 0

x 0

1

1 1

lim1 1

1

2

1

cos

0

x 0

1

x

e

lim

1

x

x

1

0

1

если заменить

x

, т.к

~ 0

,

1

lim

1

e

	x	1

то

Заметим,что показатель степени обратен по величине второму слагаемому в основании.

28

Пример.

3x 1

4 x

3x 1

lim

lim 1

x 3x 2

3x 2

x

3

4 x

3

3x 2

3x 2

12 x

3

lim

lim 1

e

x 3x 2

x

3x 2

4 x			3		4 x
1	lim 1
			3x 2
	x

представили

e 4

основание в виде суммы 1 и некоторой бесконечно малой величины. Выполненные тождественные преобразования в показателе степени, позволяют

выделить 2-ой замечательный предел. ( в квадратных скобках)

3.4 Непрерывность функции. Точки разрыва

Определение.

Функция

y

f

x

называется

непрерывной

в

точке

выполняется равенство:

lim f x

f x

0

x x

0

Определение.

Функция

y

f x

называется

непрерывной

в

точке

lim y 0

x 0

где

x, y

соответственно приращение аргумента и приращение функции.

x0 , если

x0 , если

Пример. Дана функция

x	2	4, если
y	2x, если
4

x1 x 1

Требуется : 1). Найти точку разрыва данной функции.

2). Найти	lim y	и	lim y
	x 1		x 1

3). Найти скачок функции в точке разрыва. Решение.

Данная функция определена и непрерывна в ;1 1;

При x=1 функция терпит разрыв, т.к меняется аналитическое выражение функции.

y

y

2

2

-2

x

			-4
lim y lim x2		4 12	4 3 lim 3 3
x 1	x 1				x 1

29

lim y lim 4		2x 4 2 1 2 lim 2 2
x 1	x 1	x 1
lim y lim y
x 1	x 1

x=1- точка разрыва первого рода.

Скачком функции называется абсолютная величина разности между её правым и левым
предельными значениями т.е	2 3 5	(ед). –скачок функции.

	3.5		Вопросы для самопроверки.
1.	Дайте определение функции, области определения. Приведите примеры.
2.	Сформулируйте определение предела функции в точке.
3.	Какая переменная величина называется бесконечно малой? Бесконечно большой в
точке	x x0	и на бесконечности			x ?
4.	Что означают выражения:			0 c		c			0
				,	,	,	,	,	,	где C-const ?
			c 0 c						0

5.Приведите пример бесконечно малой функции в т. x=2 и бесконечно большой функции в этой же точке (аналитический и графический).

6.Каким свойством обладает приращение аргумента и приращение функции, если функция непрерывна в точке x0 ?

Раздел 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

4.1 Определение производной, дифференциала функции одной переменной

1.

Определение.

Производной первого порядка от функции

y

f (x)

по аргументу x

y

называется предел отношения приращения функции

к приращению аргумента

x

x 0

lim

y

y

при условии, что

,

или

т.е. x 0

x

f x x f

x

lim

f x

dy

;

x

dx

x 0

2.

у

tg kкас

, где

- угол наклона касательной к

OX

y f x0 f x0 x x0 - уравнение касательной, проведённой в т. x0 , f x0

3.

y

f x0

- скорость изменения функции в т. x0.

4.Отыскание производной называется дифференцированием.

5.dy y dx - дифференциал функции равен произведению производной функции на дифференциал аргумента.

30