практикум_3

11

Решение

Впределе имеем неопределенность 0 , так как

0

esin x 1

esin 0

1

e0

1

1

1

lim

ln 1 2 x

1

0

x 0

ln 1 2

0

ln

ln 1

Воспользуемся эквивалентностями (9) и (7) при x 0 :

Тогда

esin x 1 sin x x,

ln 1 2 x 2 x.

esin x 1

x

lim

lim

1

.

ln 1 2 x

2 x

2

x 0

x 0

Пример 15. Вычислить предел (раскрыть неопределенность

lim	x 1 1	.
x 0	log 2 1 x

Решение

Для знаменателя воспользуемся эквивалентностью (6):

0 .

0

00 )

x 1 1

0

x 1 1

x 1 1

lim

lim

ln 2 lim

.

log 2 1 x

1

x

x 0

0

x 0

x 0

ln 2 x

0

В полученном пределе снова возникает ситуация неопределенности

0

(мы же ведь пока не выделили общего множителя x ). Для вычисления предела воспользуемся методом сопряженных выражений:

x 1 1

0

x 1 1

x 1 1

ln 2 lim

ln 2 lim

x

x

1 1

x 0

0

x 0

x

ln 2 lim

x

1 1

ln 2 lim

x

ln 2 lim

1

ln 2 .

x

x 1 1

x 1 1

x 0

x 0 x

x 0

x 1 1

2

Практикум 3. Вычисление пределов функций11 . Раскрытие неопределенностей

12

Задания для самостоятельной работы

Вычислить пределы функций (раскрыть соответствующие виды неопределенностей).

№

1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

Предел

№

Предел

lim

3x

3

x

2

2

2

lim

2x

2

3х

3

4x

х x3 4x2 3

4

х

1 2х 3х2

lim

х

2

4x 1

lim

2х

2

х 10

3х3 4x 4

x 2

х

6

х 2

lim

x

3

3x 2

lim

х

3

5х 12

x3 27

x 1 x3 x2 x 1

8

х 3

lim

4 х 2

lim

4 5х 3

x

2 х 3

х 0

х 1

lim

4 5х 3

10

lim

arcsin 6x

2

х 3

sin 2x

х 1

x 0

lim

tg 2 2x

12

lim

tg(2x 4)

sin x 2

arctg 5x

x 0

x 2

lim

sin х sin1

14

lim

х 2

х 1

x

2

4x 3

х 1

х 3

16

х

х

2

3

1/( x 1)

х

2

1

х

lim

lim

2x 2

2

2x

х 1

х

x

lim

e

3x

1

18

lim

ln 1 x

1

x 1

x

0 arcsin x

20

x

0

lim

2x

2

lim

e2 x

e x

2

ln x

4x

x

1

x 0

sin

Практикум 3. Вычисление пределов функций12 . Раскрытие неопределенностей