l16_2014_02_19

Циклические условия Борна-Кармана

Вопрос:

Что делать, если мы хотим описать свойства макроскопического образца с большим, но конечным числом атомов? Как выбрать граничные условия на поверхности да еще и сохранить при этом трансляционную и точечную симметрию гипотетического бесконечного образца?

Ответ:

Использовать циклические граничные условия, предложенные Борном и Карманом

Макс Борн (1882-1970) - немецкий физик, Нобелевская премия 1954 г. за фундаментальные исследования по квантовой механике

Теодор фон Карман (1881-1963) - физик, математик, механик венгерского происхождения. Работал в Германии и США. Теоретические основы самолетостроения

Периодические граничные условия Борна-Кармана:

(x, y,z L) (x, y,z)

(x, y L,z) (x, y,z)(x L, y,z) (x, y,z)

Искусственно вводим в прямом пространстве простую кубическую решетку с периодом L - некоторым произвольным большим числом. Считаем, что в каждом кубе все свойства кристалла одинаковы

Такой куб называют нормировочным кубом

Граничные условия Борна-Кармана разрешают существование только определенных дискретных значений k, допускающих решение в виде плоской волны

eikr eikxrx eikyry eikzrz

eikxrx eikxLeikyry eikzrz

eikxrx eikyry eikyLeikzrz

eikxrx eikyry eikzrz eikzL

eikxL eikyL eikzL 1

k

2 n

x

,

k

2 ny

, k

2 n

z

,

n

,n

,n

- целые числа

L

L

L

x

y

z

x

y

z

2

Мы построили простую кубическую обратную решетку с периодом

L

Разрешенные волновые вектора k образуют в k-пространстве простую кубическую решетку

	kx	2	n1,	ky	2	n2,	kz	2	n3,	n1, n2, n3 -
		L			L			L
										целые числа

Каждое разрешенное значение волнового вектора соответствует примитивной ячейке в k-пространстве с объемом

	2 3			2 3		V L3 - объем нормировочного куба
3k					, где
	L			V

		V	3k 0
	V	- Плотность разрешенных волновых векторов в
	2 3
		обратном пространстве

Связь “искусственной” периодичности БорнаКармана и “естественной” периодичности кристалла

0 - объем примитивной ячейки “прямой” решетки кристалла

3

(2 ) / 0 - объем первой зоны Бриллюэна, равный объему примитивной ячейки “обратной” решетки кристалла

V /(2 )3 - плотность разрешенных волновых векторов в обратном пространстве

Количество разрешенных волновых векторов в зоне Бриллюэна равно

N (2 )3 / 0 V /(2 )3 V / 0

- числу примитивных ячеек в нормировочном объеме

Количество разрешенных значений волновых векторов, попадающих в "макроскопический" объем k-пространства 3k :

3k		V	3
				k - число состояний соответствующей квазичастицы
3k			3
		2

Если нормировочный куб достаточно велик, то число состояний в элементе объема обратного пространства 3k определяется только объемом куба

Возможны и другие граничные условия, например, нулевые граничные условия на границах нормировочного куба соответствуют кубическому

резонатору

Между стенками резонатора укладывается целое число полуволн, поэтому в нем могут существовать только волны с разрешенными волновыми числами:

k

n ,

k

n ,

k

n

x

y

z

L 1

L 2

L 3

Определение

Плотностью состояний квазичастицы называется число состояний на единицу объема, приходящихся на единичный интервал энергии:

(E) lim N , E 0

E

N - число разрешенных состояний квазичастицы для единичного нормировочного объема (V=1), энергия которых находится в интервале от E до E+ΔE.

Частный случай - энергия квазичастицы зависит только от модуля

волнового вектора			ky
Поверхности постоянной энергии в			Δk
обратном пространстве - сферы.
Объем шарового слоя с малой			kx
толщиной Δk равен 4 k2 k
N 3k 4 k2 k k2 k
3k	(2 )3 /V	2 2

Плотность состояний квазичастицы в пространстве:

(E) lim	k2	k		k2
				2 2(dE/dk)
E 2 2 E

Примеры:

1.Линейный закон дисперсии (фотоны или длинноволновые акустические фононы)

ck			E c k
dE		k2	E2			E2
	c ,				(E)
			c2 2			2 2(c )3
dk

2. Квадратичный закон дисперсии (свободные электроны)

2k2

p2

dE

2k

m3 2

E

,

(E)

E1 2

2m

dK

2

2m

m

3

2

Вернемся к задаче о свободных электронах, волновая функция которых описывается как плоская волна:

	k (r)	1			eik r
		V							V
	Область объемом Ω в k-пространстве содержит
						2	L 3		8 3
	разрешенных значений k

число разрешенных значений k в единице объема обратного

пространства равно V 8 3

Будем размещать электроны на разрешенных дискретных уровнях согласно принципу запрета Паули: на каждый одноэлектронный

уровень, задаваемый его волновым вектором k и проекцией

спина		1	, можно поместить не более одного электрона.
	2

Начнем с размещения двух электронов на уровнях с k=0 c наиболее низкой одноэлектронной энергией Е=0. Затем будем последовательно заполнять незанятые уровни с наиболее низкой энергией.

			2	k	2
	(k)
		2m				Область, занимаемая электронами в k-

Число электронов	пространстве аппроксимирует сферу
N велико

kF - радиус этой сферы (фермиевский радиус)

Число разрешенных значений k внутри сферы равно

4		kF3		V				k3		V, где V - нормировочный объем
								F
	3			8	3			6	2

Если в объеме V имеется N электронов, то

	N 2			kF3		V	kF3		V	n	kF3
				6	2		3	2
											3 2
	n	N		-электронная плотность

V

"Фермиевская" терминология

kF - волновой вектор Ферми

Сфера с радиусом kF - сфера Ферми

Поверхность в k-пространстве, отделяющая заполненные уровни от незаполненных - поверхность Ферми (для свободных электронов - поверхность сферы)

pF	kF - импульс Ферми
F		2kF2		- энергия Ферми
		2m
		pF
vF				- скорость Ферми
		m

Для газа свободных электронов все эти величины определяются только плотностью электронов проводимости