Лекция №2С-2 Сопротивление материалов

Деформация элемента стержня

Выделяем из скручиваемого стержня радиуса R дискообразный элемент толщиной dx

d – угол закручивания на длине dx,

R – угол сдвига на поверхности стержня,

γ– угол сдвига на расстоянии ρ от оси стержня

AA1 – продольная образующая;

Правое сечение с центром в О1 поворачивается относительно левого на угол dφ

Радиус О1А1 повернется в положение О1А2,

образующая АА1 в положение АА2, отклонившись на угол γR

Линия аа1, параллельная линии АА1 повернется в положение аа2 на угол γ

11

Деформация элемента стержня

			Длина дуги	а1а2 выражается дважды
			dx				d
				dx d
			откуда		d
					dx
			С помощью закона Гука
								G

получаем d

G dx

d

где dx – относительный угол закручивания.

12

Wp I p

max

Касательные напряжения прямо пропорциональны расстоянию ρ от оси.

При ρ = 0 имеем τ = 0

при ρ = R получаем max .

Mx		A	G d dA G d		2dA
			dx	dx	A

Введем обозначение для полярного момента инерции.

			I p A	2dA
	Получаем					d		M x
						dx		GI p
G	Mx		Mx				Mx
	G I
		p	I		p		W
								p

- полярный момент сопротивления

13

d M x dx GI p

Интегрируя по длине стержня l получаем выражение для угла закручивания на всей длине

	l	M x	dx	M xl
		GI p		GI p

14

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОЛЯРНОГО МОМЕНТА ИНЕРЦИИ И ПОЛЯРНОГО МОМЕНТА СОПРОТИВЛЕНИЯ СЕЧЕНИЯ

В сечении проведём две окружности радиуса ρ и (ρ+dρ), а также два луча с углом dα между ними. Запишем выражение для элементарной площади

dA d d

Вычисляем интеграл

2

3

2

R

3

1

4

I p

A

A

0

0

R

2

dA

d d

d d

Получаем выражение для момента

Wp

I p

I p

1

R3

сопротивления

max

R

2

15

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОЛЯРНОГО МОМЕНТА ИНЕРЦИИ И ПОЛЯРНОГО МОМЕНТА СОПРОТИВЛЕНИЯ СЕЧЕНИЯ

Сечение вала в виде кольца

			2 R		3		1		4		1					4		1		4	1		4
I						d d		R					R						R
							2				2							2
	p		0 R1												1
Получаем выражение для момента								Wp					1		R3 1 4
сопротивления
													2

RR1

16

РАСЧЁТЫ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЁСТКОСТЬ

С ростом момента М можно выйти на

состояние предельной упругости, когда в поверхностном слое касательные напряжения достигают предела текучести

max y

авесь остальной объём

вала остаётся на стадии упругого деформирования.

Соответствующее значение момента называют

предельным упругим моментом M	ПУ		W
			y p

Допускаемый момент должен быть меньше предельного

[M] M[s]ПУ [s]y Wp [ ]Wp

	Условие прочности		M
	M [M ] [ ]Wp	max		[ ]
			Wp

у (0,5......0,6) у	17

РАСЧЁТЫ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЁСТКОСТЬ

Подбор сечения

Wp	M					R 3		2M
	[ ] или
								[ ]
Условие жёсткости		d			M	[ ]
		dx
				GI p
Подбор сечения по условию жесткости					R 4		2M
							G[ ]

[ ] - допускаемый угол закручивания

18

СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СЛУЧАИ КРУЧЕНИЯ

Вал постоянного сечения, заделанный с двух сторон, скручивается моментом М0, приложенным на неравных расстояниях от закреплений. Уравнение равновесия

mx M0 M A M B 0

Система статически неопределима. Условие совместности

деформаций	AB		AC CB 0
	AB		M Aa			M A M 0 b 0
		b	GI p			GI p
M A M 0						M B M 0	a
		a b					a b

19

Пример

• Вал, жестко закрепленный одним концом и нагруженный

M1 M ;	M2 3M ;		M3 8M ;
	III	II	I

•Реактивный момент М определяется из уравнения равновесия

m(x) M1 M2 M3 M A 0

M A M1 M2 M3 4M

20