EL_-STATIKA_2a_diel-ki

	11
P2	= −σ ′ = ε − 1 E2	= ε − 1 E0 .	(4.20)
	4π	4πε

Примечание.

Если пластинка находится между пластинами плоского конденсатора с плотностью стороннего заряда σ ,

то внешнее поле, создаваемое таким заряженным конденсатором, равно
E0 = 4πσ ,	(4.21)
тогда получаем связь между плотностью сторонних зарядов и наведенных связанных зарядов:
σ ′ = − ε − 1σ .	(4.22)
ε

Заметим, что соотношение (4.22) справедливо для любого вида поверхности, разделяющей сторонние (в металле) и связанные (в диэлектрике) заряды.

3) Диэлектрический шар в однородном электрическом поле.

Несколько иначе решается задача нахождения электрического поля в диэлектриках, имеющих более сложную геометрию (например, в цилиндре, шаре). Полученный же результат должен удовлетворять как граничным условиям, так и условиям на бесконечности.

		Рассмотрим шар из диэлектрика		проницаемостью		ε , помещенный в
			R
		однородное электрическое поле E0 .
R	R	До включения поля шар, с точки зрения его электрических свойств,
r1	r2	представлял собой однородную смесь положительного и отрицательного
R		электричества с равными по	модулю	объемными	плотностями + ρ и − ρ
		зарядов. Поляризацию шара	можно	представить	как результат смещения,
δl
		характеризуемого вектором δ l , однородно положительно заряженного шара
		относительно такого же, но отрицательно заряженного (в практически важных
		случаях δl мало даже по сравнению с атомными размерами).
				R	R
Полное поле как внутри, так и вне шара равно сумме внешнего E0 и поля E ,						создаваемого самим
поляризованным шаром.
Найдем сначала поле Eint		в объеме шара, создаваемое поляризованным шаром.

Рассматривая поле внутри шара как сумму полей, определяемых с помощью теоремы Гаусса (см. гл.I,(3.14)) от положительно и отрицательно равномерно заряженных по объему шаров, смещенных друг относительно друга

	на δ l , т.е.		4π					4π
	R	= −		R		R	=		R
	E1			ρ r1	;	E2			ρ r2	(4.23)
			3					3

и учитывая, что

R

P = ρδ l ,

получаем

4π

4π

R

R

R

Eint = −

ρδ l

= −

P .

R

3

3

Из (4.25) следует, что вектор поляризации P постоянен во всем объеме шара, т.е. поле поляризации

однородно.

R

R

Теперь, учитывая, что P = α E и ε = 1 + 4πα , находим полное электрическое поле внутри шара:

R R

R

R

4π

R

R

4π

R

R

4πα

R

E = E0

+ Eint

= E0

−

P =

E0

−

αE ,

или

E 1

+

= E0 ,

3

3

3

откуда

R

3

R

E =

E0 .

ε

+ 2

Т.о. поле внутри диэлектрического шара меньше внешнего поля E0 , поскольку ε > 1.

(4.24)

(4.25)

(4.26)

12

	R		Вектор	поляризации, соответственно,
			равен
	E0			ε −			3 ε − 1
			R		1	R				R
			P =			E =				E0 . (4.27)
				4π			4π ε + 2

Каждый из введенных нами в рассмотрение двух заряженных шаров возбуждает во внешнем пространстве такое же поле, какое создадут той же величины точечные заряды, помещенные в центрах этих шаров. Поэтому поле вне поляризованного шара – это поле точечного диполя с дипольным моментом

R	R
p = qδ l	= PV ,

помещенного в центре диэлектрического шара, т.е. с учетом (7.8) имеем

		R		R		R
R		3(P, r ) R				P
Eext	= V				r −			,	(4.28)
		r	5			r	3

где V = 4 πR3 – объем шара.

3

Полное электрическое поле, создаваемое поляризованным шаром во внешнем пространстве, определяется векторной суммой поля E0 и поля, определяемого выражением (4.28):

R R		R		R			R
		3(P, r ) R					P
E = E0	+ V				r	−			.	(4.29)
		r	5				r	3

Именно определяемое выражениями (4.29) и (4.26) поле диэлектрического шара снаружи и внутри

диэлектрика	удовлетворяет	граничным условиям: E1τ = E2τ , D1n = D2n (т.е.	по	разные стороны
			R
поверхности	шара должны	быть одинаковы касательные составляющие векторов	E	и нормальные

R

составляющие векторов D ).

R

Кроме того, на бесконечности полное поле должно переходить в E0 , что, очевидно, удовлетворяется, т.к. на бесконечности поле поляризованного шара, убывающее пропорционально кубу расстояния, исчезает.