dinamics_exc

21

Следовательно, при ε r = const и одинаковом распределении свободных зарядов вектор D имеет одинаковые значения в разных средах.

Заметим, что часто встречающийся множитель 4πε1 0 = 9 109 (м/Ф).

б). Воспользуемся теоремой Гаусса для определения поля точечного заряда. Предположим, что заряд расположен в начале координат. Задача имеет сферическую симметрию (нет предпочтительных направлений), следовательно, в качестве поверхности интегрирования можно выбрать сферу произвольного радиуса. Очевидно, что векторE по направлению совпадает с ортом Rr0 координаты сферической системы и в точках поверхности сферы произвольного радиуса R его модуль постоянен.

∫Er dsr =∫(Rr		0 Er ) Rr		0 ds =			Q	, или	E R ∫ds = E R 4πR =	Q .
S	S					ε0εr			S	ε 0 ε r
	r	r			Q
Следовательно E		= R0					.
			4πε		0εr R 2

Если заряд находится в произвольной точке пространства, то поле, создаваемое зарядом Q в точке Р будет определяться соотношением

r

r

Q

r

R − R′

EP = aQP

, где

aQP =

Rr

− Rr′

- орт направления из точки, где

4πε0εr

Rr − Rr′

2

r

Q

r r′

расположен заряд Q, в точку Р.

Итак,

EP

=

R − R

4πε0εr

Rr − Rr′

3

P

Rr

P

R − R′

0

R′

Q

в). Если заряд распределен по объему равномерно с плотностью ρ, то

напряженность

поля,

создаваемая

в точке Р элементом объема dv

r

r

ρ dv

r

R

. R –

расстояние от элемента объема dv до

dE = aR

, где

aR

=

πε

ε

R

2

R

4

0

r

qi rr − rri

22

точки Р. Так как для рассматриваемых полей применим принцип суперпозиции, напряженность поля, создаваемая всем распределенным

зарядом Er =	1 ∫ ρ	R3 dv .	P
	4πε0εr V	R
			Rr
			ρdv

Аналогичные соотношения можно записать, если заряд равномерно распределен по некоторой поверхности с плотностью ρS , либо, если задан нитевидный источник с равномерно распределенным зарядом с плотностьюρl .

2.Вычислим потенциал ϕ для точечного заряда, зная его поле

Er = rr0 q /(4πr 2ε0εr )

М2

r r r2

q

r2

dr

q

1

1

M2

ϕ1 - ϕ2 = ∫

E dl = ∫

Er dr =

∫

=

−

2

M1

М1

r

4πε0

εr

r

r

4πε0

εr r1

r2

1

1

r1

q

r2

При r2 →∞ ϕ =

4πε0

εr r

q

Если перенести заряд из точки r = 0 в точку Q ( r0′), то расстоянием станет

Q r-r’ P

r’

r

0

qi

r-ri

ri

		r	r′		q
	величина	r	− r	, ϕ( r ) =	4πε0εr		rr − rr′		.

В случае системы точечных зарядов, расположенных в однородной изотропной среде, по принципу суперпозиции

ϕ( r ) = 1 ∑ 4πε0εr

0	r	M1

23

3. Поле электрического диполя. Электрический диполь – система двух близко

лежащих равных по величине разноименных точечных зарядов +q			и - q.
r	r	r	вектор,
Диполь характеризуется дипольным моментом p	= q l ,	l –

направленный от отрицательного к положительному заряду, l – расстояние между зарядами. Если сближать заряды, одновременно увеличивая их

значения так, чтобы дипольный

момент p оставался

неизменным, то

в

пределе получим точечный или идеальный диполь с тем же моментом.

z

r0

r1

+q

M

α0

θ

r

l

θ0

r2

-q

y

x

α

Потенциал диполя найдем

по

принципу

суперпозиции

как

сумму

q

1

потенциалов зарядов (+q) и

(-q).

ϕМ =

1

;

r1, r2

–

4πε

ε

− r

0

r

r

1

2

расстояние от зарядов до точки, в которой вычисляем потенциал.

r1 =

r

2

l

2

,

r2

=

r

2

l

2

+ rl cos θ , считаем r >> l,

+

− rl cos θ

+

2

2

тогда

r

≈ r −

l

2

cos θ,

r

≈ r + l

2

cos θ. При этом разность можно представить

1

2

в

виде

1

−

1

=

r2

− r1

≈

l cos θ

,

тогда

ϕМ

=

ql cos θ

=

pr0

.

r1

r2

4πε0 εr r 2

r1r2

r 2

4πε0 εr r 2

( pr = q l , rr0l

= l cosθ ), r0 – орт направления r.

Определим напряженность электрического поля

E = - grad ϕ

В сферической системе координат

											24
	r ∂ϕ	r 1 ∂ϕ			r		1 ∂ϕ			∂ϕ
gradϕ = r0 ∂r		+ θ0		∂θ	+ α0			∂α	. Благодаря осевой симметрии		= 0 .
			r				r sin θ			∂α
Er =	ql	(rr 2 cos θ + θr				sin θ) - вектор E не зависит от угла				α (поле
	4πε0 εr r 3	0			0

обладает осевой симметрией) и имеет две составляющие. Картина силовых линий поля диполя

	z	Er
+	r	Er
	Eθ
−		r
		E

4. Поле точечного заряда, расположенного над идеально проводящей плоскостью. Рассмотрим влияние точечного заряда на проводящую плоскость. В результате электростатической индукции на границе должен появиться некий заряд, создающий дополнительное поле, которое, налагаясь на первоначальное поле источника, приведет к удовлетворению граничных условий. Задача определения поля точечного заряда, расположенного над проводящей плоскостью, эквивалентна задаче определения поля двух зарядов: заданного q и некоторого фиктивного заряда (-q), являющегося зеркальным изображением первого, находящихся в неограниченном диэлектрике.

+q	+q
		r
Eτ=0	A	R	n0	B
	h
		E -q		E +q
	-q		E

E = −nr0 q h ⁄ (2π ε0εr r3).

25

Поле в верхнем полупространстве удовлетворяет граничному условию Еτ = 0, граница раздела – эквипотенциальная поверхность. Плоскость АВ, расположенная симметрично относительно зарядов, - эквипотенциальная поверхность с нулевым потенциалом, в точках этой плоскости вектор

Erориентирован в направлении ( − n0 ). Полный заряд, наведенный на плоскости АВ,

		qh	2π∞	1		qh	∞	dr
	q'= ∫ρS ds = −		∫∫		RdRdα = −		2π∫		= −q ,	R = r 2 − h2 ,
		2π		3		2π		2
	S		0 0	r			h	r

плотность поверхностного заряда ρs=ε0εr Enr0 , где вектор напряженности электрического поля определяется как результат сложения полей двух точечных зарядов, т.е. совпадает со значением вектора E поля электрического диполя при θ = π /2.

Введение фиктивного сосредоточенного заряда эквивалентно учету всех зарядов, наведенных на границе раздела. Метод замены проводящей поверхности фиктивным сосредоточенным зарядом получил название метода зеркального изображения. В силу принципа суперпозиции метод зеркального изображения можно обобщить на случай произвольной системы зарядов, расположенных над проводящей плоскостью.

+

-

+

-

26

Стационарное магнитное поле.

Система уравнений стационарного электромагнитного поля (поле неизменно

	во времени,	∂	= 0 )	rotE = 0	rotH = j
		∂t
				divD = ρ	divB = 0
				r	r
				D = ε0εr E,	B = µ0 µr H , j =σ E

При наличии тока (j ≠ 0) все уравнения взаимно связаны. Если плотность тока – заданная величина, магнитное поле может быть определено независимо от электрического при решении системы уравнений:

rotHr = rj - магнитное поле соленоидальное (ротор поля не равен 0), divBr = 0 - линии магнитного поля не имеют начала и конца (в природе не

существует магнитного аналога ρ, т.е. не существует магнитных зарядов).

∫Hrdl = I - в правой части равенства стоит алгебраическая сумма токов,

L

которые охватывает контур L,

∫Brds = 0 - поток вектора B сквозь замкнутую поверхность равен 0.

S

Br = µ0 µr Hr

Это система уравнений стационарного магнитного поля. Для однородной среды (µr = const) решение этой системы имеет вид

r r

1

j(rr')× rr0q

H (r )=

∫

dv'

r

r

'

2

4πV

r

− r

rr– радиус – вектор точки наблюдения,

r′–

радиус – вектор точки

интегрирования в среде, где течет ток j.

Это –

обобщенный закон Био-

Савара.

Для линейного тока I, проходящего по контуру L, магнитное поле

описывается обычным законом Био-Савара

r r

I

dl' × rr0q

H (r )=

∫

r

r

2

4π L

r

− r '

27

(Линейным считается ток нитевидного

L

r0 q

r

проводника, если расстояния

rr − r′′

r-r’

остаются в процессе интегрирования

0

r'

S

значительно больше поперечного размера проводника).

Закон Био-Савара записывают и в форме дифференциала

r r

I dl' × rr0q

dH (r )=

4π

rr − rr'

2

r r

r

При этомdH (r ) – вклад в полное магнитное поле H (r ) , создаваемый

элементом контура dlrс током I.

Закон Био-Савара дает полное решение системы уравнений для заданного распределения тока в однородной среде. Но также используют и вспомогательные функции – потенциалы.

Вводят

вспомогательную

величину

–

векторный

потенциалA . По

r

v

определениюB = rotA . Для векторного потенциала справедливо уравнение

r r

µ

0

µ

r

rj(rr')

Пуассона

2 A = −µ0 µr

j . Его решение

A(r )=

∫

r

r

dv .

4π

'

V

r

− r

r

r

µ

0

µ

r

I

dl

Для линейных токов

A(r )=

∫

r

v

4π

L

r − r '

r

r

r

r

µr.

После нахождения A(r ) магнитное поле определяется как H

= rotA ⁄ µ0

В ряде случаев такой путь оказывается менее трудоемким.

Рассмотрим несколько примеров.

1). Определить напряженность магнитного поля внутри и вне бесконечно длинного прямого провода радиуса b, по которому течет ток I.

Задача имеет цилиндрическую симметрию: предложенная к рассмотрению система бесконечна вдоль оси z и нет зависимости от угла φ. Следовательно,

для решения задачи можно использовать теорему о циркуляции ∫H dl = I ,

C

28

выбирая, в качестве конура интегрирования, окружность r = const, расположенную внутри или вне проводника при произвольном z.

Известно, что силовые линии магнитного поля линейного тока – окружности.

Направление вектора H , касательного к окружности, связано с направлением тока правилом правой руки. Если направление тока в проводнике совпадает с направлением оси z, то искомый вектор H =ϕr0 Hϕ .

Векторный дифференциал длины направлен по касательной к рассматриваемому конуру dl =ϕr0 r dϕ .

2b

C2

H

I

а). Определяя напряженность поля внутри проводника, выберем в качестве конура интегрирования окружность С1, радиус которой r1 меньше b.

r	r	2π
∫H dl		= ∫Hϕ r1dϕ = 2πr1 Hϕ = I1 . Здесь I1 – ток, протекающий через

C1

0

площадку, ограниченную контуром С1. I1 = πbI 2

Следовательно, внутри проводника (при r1 < b)

Hr =ϕr0 Hϕ =ϕr0 2πr1b2

π r 2	r			2
	=	1		I .
1	b

напряженность поля

I .

б). При определении напряженности магнитного поля вне проводника радиус контура интегрирования полагаем r2 > b. При этом контур интегрирования будет охватывать весь ток I. ∫H dl = 2π r2 Hϕ = I .

C2

29

r	r	r	1
Напряженность поля вне проводника (r2 > b) H =ϕ0 Hϕ		=ϕ0		I .
			2π r
			2

2). По замкнутому проводнику протекает постоянный ток I. Определить вектор магнитной индукции, которую создает прямолинейный участок проводника длиной 2L в точке Р. Указанная точка расположена симметрично относительно концов участка на расстоянии r от его центра.

Предложенную задачу решим двумя способами.

а). Вспомним выражение для векторного потенциала для линейного тока

r r	µ	0	µ	r	I			dl
A(r )=						∫	r	v		.Предположим, что прямолинейный участок проводника
		4π							'
						L	r	− r

ориентирован по оси z: dl = zr0 d z . Расстояние от точки интегрирования до

точки Р: rr − rr′ = z 2 + r 2 . Следовательно, векторный потенциал в точке Р

r

r

µ0 I L

d z

r

µ0 I

L2 + r 2 + L

A = z0 4π −∫L z 2 + r 2

= z

0 4π

ln

L2 + r 2 − L .

Далее определяем вектор магнитной индукции

r

r

) = rr

1

∂Az

−ϕr

∂Az

B

= rotA = rot(zr

A

z

.

r

0

0

∂ϕ

0

∂r

Цилиндрическая симметрия предполагает, что

∂Az

= 0 . Следовательно

∂ϕ

r

r

∂

µ

0

I

ln

L2 + r 2

+ L

r

µ

0

IL

.

B = −ϕ0

∂r

L2 + r 2

− L

=ϕ0

4π

2πr L2 + r 2

Если r << L, то Br =ϕr0 2µπ0 Ir , что соответствует результату, полученному при

решении задачи 1.

30

б). Воспользуемся дифференциальной формой закона Био-Савара:

r

µ

0

I

dl × R

dB

=

4π

R3

R

dz

В нашей задаче вектор, соединяющий элемент dz

P

r

r

r

участка проводника и точку Р,

R

= r r − z

0

z .

r

0

dl × R = zr0 d z × (rr0 r − zr0 z) =ϕr0 rd z .

Следовательно

r

r

r µ0 I L

rd z

r

µ0 IL

B

=

∫dB =ϕ0

−∫L(z 2 + r 2 )32 =ϕ0 2πr L2 + r 2

4π

Плоские электромагнитные волны.

В отсутствии сторонних источников любая декартова компонента векторов

Er и Hr удовлетворяет однородному волновому уравнению

2u −	1	∂2u	= 0.
	v 2 ∂t 2

Решение уравнения, зависящее только от одной координаты z и времени t представляет собой наложение двух возмущений, каждое из которых распространяется вдоль z в сторону возрастания или убывания z со

скоростью v u(z, t) = u+ (t − z v) + u− (t + z v),

u±- произвольные дважды дифференцируемые функции.

Для гармонической (монохроматической) волны, распространяющейся в направлении оси z можно записать

u(z, t) =U m cos[ω(t − z v) +ψ]=U m cos(ω t − k z +ψ) .Здесь

k =ω v = 2π λ - волновое число. λ - длина волы – приращение координаты z, при котором фаза меняется на 2π. v – скорость распространения волны.