Теория пределов

Рис. 11.

2.Непрерывная на [a; b] функция является ограниченной на этом отрезке. Это следует из неравенства

М≤ f (x) ≤ m х [а; b].

Классификация точек разрыва.

Если в точке x0 хотя бы одно из условий непрерывности нарушается, точка называется точкой разрыва данной функции.

1.Пусть существуют односторонние пределы:

		lim f (x) = f (x0 −0) и				lim f (x) = f (x0 + 0) .
		x→x0 −0				x→x0 +0
а) Если f (x0 −0) ≠ f (x0 + 0) , но являются конечными числами.							то точка x0 называется точкой
разрыва первого рода (рис. 12).							f (x) в точке x0 .
Величина δ =		f (x0 + 0) − f (x0 −0)			называется скачком функции

Рис. 12.

б) Если f (x0 −0) = f (x0 + 0) ≠ f (x0 ) , то точка x0 называется точкой разрыва первого рода или

точкой устранимого разрыва (рис. 13).

Для того, чтобы устранить разрыв, нужно доопределить (или переопределить) функцию в самой точке x0 ,

f (x), если х ≠ х				0
т.е. ввести новую функцию у =	А, если
			х = х0 .

Рис. 13.

2. Если в точке x0 хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен ∞, то точка x0 называется точкой разрыва второго рода (рис. 14).

				Рис. 14.
	Примеры. Исследовать функции на непрерывность:
1)	x −1,	если	0 ≤ х < 3,
	f (x) =	если	3 ≤ х ≤ 4.
	3 − х,

Изобразим график этой функции (рис. 15). В точке õ = 3 у функции разрыв, так как

17

lim	f (x) =	lim (x −1) = 2				разрыв I рода, скачок.
x→3−0	f (x) =	x→3−0		(3
lim		lim			− x) = 0
x→3+0		x→3+0

Рис. 15.

Следует

отметить,

что в точке

х = 0

функция непрерывна

справа,

так

как

lim

f (x) =

lim

(x −1) = −1 = f (0) . В

точке х = 4 функция

непрерывна слева,

так

как

x→0+0

x→0+0

lim

f (x) =

lim

(3 − x) = −1 = f (4) .

x→4−0

sin x

x→4−0

2) y =

.

x

sin x

sin x

Точка x = 0 является точкой устранимого разрыва,

так как lim

=

lim

=1 и

f (0) не

x→0+0

x

x→0−0

x

существует. Доопределить

функцию по непрерывности ― это значит задать f (0) =1,

т.е.

получим

sin x ,

x ≠ 0

.

функцию вида y =

x

x = 0

1,

3) y = sin 1x .

Точка x = 0 является точкой разрыва II-го рода, так как lim sin 1 не существует. График функции x→±0 x

колеблется между (−1) и 1, не приближаясь ни к какому значению.

4.КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ПО ТЕОРИИ

1.Дайте определение окрестности радиуса h > 0 конечной точки x0 . Как обозначается такая окрестность?

2.Дайте определение h - окрестности точек ± ∞. Как обозначается такая окрестность?

3.Чем отличается h - окрестность и проколотая h - окрестность конечной точки x0 ?

4.Дайте определение предела функции через окрестности.

5.Как записать определение предела функции, не используя понятия окрестности?

6.В чём отличие правостороннего и левостороннего предела функции?

7.Если в некоторой окрестности точки x0 три функции связаны неравенством ϕ(x) ≤ f (x) ≤ g(x) и существуют конечные пределы lim ϕ(x) = lim g(x) = A , то что можно сказать о lim f (x) ?

→x0 x→x0 x→x0

8.Сформулируйте первый замечательный предел.

9.Какая функция называется ограниченной (неограниченной) на некотором множестве?

10.Как называется функция, для которой в точке x0 справедливо соотношение lim f (x) = 0 ?

→x0x

11.	Как называется функция, для которой в точке x0	справедливо соотношение lim f (x) = ∞?
12.	Перечислите свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций.				x→x0
13.	Если существуют конечные пределы двух функций		lim f (x) = A	и	lim	g(x) = B , то чему
			x→x0		x→x0
	равны следующие пределы: lim ( f (x) + g(x)) ,	lim ( f (x) g(x)) ,		lim	f (x)	?
					g(x)
	x→x0	x→x0	x→x0
	18

14. Если	lim f (x) = A и	lim g(x) = +∞, то чему равны следующие пределы		lim ( f (x) + g(x)) ,
	x→x0	x→x0		x→x0
lim ( f (x) g(x)) , lim		f (x)	?
		g(x)
x→x0	x→x0

15.В каком случае бесконечно малые в точке x0 функции α(x) и β(x) называются бесконечно малыми одного порядка; эквивалентными бесконечно малыми?

16.В каком случае бесконечно малая в точке x0 функция α(x) называется бесконечно малой более

высокого порядка относительно бесконечно малой в точке x0 функции β(x) ?

17.Перечислите свойства эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших функций.

18.Дайте определение главной части бесконечно малой в точке x0 функции β(x) .

19.Дайте определение главной части бесконечно большой в точке x0 функции V (x) .

20.Сформулируйте второй замечательный предел.

21.Запишите таблицу эквивалентных бесконечно малых.

22.Как раскрываются показательные неопределённости?

23.Дайте определение функции, непрерывной в точке x0 .

24.Сформулируйте теоремы о функциях, непрерывных на отрезке.

25.Что понимается под скачком функции f (x) в точке x0 ?

26.В каком случае точка разрыва функции называется точкой устранимого разрыва?

27.Каким способом можно устранить разрыв?

28.В чём отличие точек разрыва первого и второго рода?

5.ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ

1.Множества на числовой оси. Окрестности на числовой оси. Проколотая окрестность точки. Классификация точек множества. Определение предела функции в точке.

2.Односторонние пределы. Предел последовательности.

3.Основные свойства пределов (единственность предела, предельный переход в неравенстве, предел сложной функции, теорема о сжатой функции).

4.Первый замечательный предел.

5.Функция, ограниченная в некоторой окрестности. Теорема о функции, имеющей конечный предел

вточке x0 . Теорема о функции, имеющей бесконечный предел. Теорема о пределе функции

1( ), если функция f (x) имеет конечный предел. f x

6. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Их свойства. 7. Теорема о пределе суммы функций, имеющих конечный предел.

8. Теорема о пределе произведения функций, имеющих конечный предел. 9. Теорема о пределе частного функций, имеющих конечный предел.

10. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые. Свойства эквивалентных бесконечно малых функций.

11. Таблица эквивалентных бесконечно малых функций.

12. Сравнение бесконечно больших функций. Эквивалентные бесконечно большие. Свойства эквивалентных бесконечно больших функций.

13. Главные части бесконечно малых и бесконечно больших функций. 14. Показательные неопределённости. Второй замечательный предел.

15. Функция, непрерывная в точке. Функция, непрерывная на промежутке. Теоремы о непрерывных функциях.

16. Функция, непрерывная на замкнутом интервале. Свойства функций, непрерывных на замкнутом интервале.

17. Точки разрыва. Классификация точек разрыва.

6. ВЫПИСКА ИЗ КАЛЕНДАРНОГО ПЛАНА ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

4. Теория пределов (14 часов)

17. Окрестности точек (конечных и бесконечных) на числовой оси. Проколотая окрестность. Предельная точка. Определение предела: на языке окрестностей и на языке ε ,δ . Типовой расчёт №2.

19

Л.5: 168, 169 (а, б, в)

18.Арифметические операции над функциями, имеющими конечный предел. Действия на расширенной числовой оси, Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Виды

			0			∞	и [∞−∞] в рациональных, дробно
	неопределённостей. Раскрытие неопределённостей			,
			0
						∞

рациональных и иррациональных выражениях.

Л.4: 273, 281, 283, 285, 294, 297, 307

19.Раскрытие неопределённостей с помощью таблицы эквивалентных бесконечно малых. Замена переменных при вычислении предела. Раскрытие показательных неопределённостей с помощью основного логарифмического тождества.

Л.4: 314, 327, 331, 335, 338, 357, 363

20.Главные части бесконечно малых и бесконечно больших. Выделение главных частей. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших.

Л.4: 405, 414 (1, 3, 5, 6, 9, 11)

21.Непрерывная функция. Исследование функции на непрерывность. Классификация разрывов.

Л.4: 224, 227, 228, 230, 233

22.Контрольная работа (2 часа)

•Вычисление предела.

•Вычисление предела.

•Установление порядка одной б.м. или б.б. относительно другой.

•Определение точек разрыва функции и их характера.

23.Прием и защита типового расчета №2 (2 часа).

7. Тест по теме 4: «ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ»

1.Какому неравенству соответствует запись x U δ(2)? Укажите номер верного ответа в таблице 4.•

Таблица 4

1

2

3

4

0 <

x − 2

< δ

x − 2

< δ

0 <

x − 2

≤ δ

x + 2

< δ

2.Какой промежуток задает окрестность Uδ(−∞)? Укажите номер верного ответа в таблице 5.

			Таблица 5
			4
1	2	3
			(−∞; δ]
(−∞; δ)	(−∞; −δ)	(−∞; −δ]

3. Какое из утверждений в таблице 6 является верным для функции f (x)−3 , если lim f (x)= 3? x→2

					Таблица 6
					4
	1	2	3
	б.б. при x → 3	б.м. при x → 0	б.м. при x → 2		б.м. при x → 3
					lim α(x)= −∞ ?
4.	Какое из утверждений	в таблице 7 является верным для функции α(x), если
					x→−2
					Таблица 7
					4
	1	2	3
	б.м. при→ −2	б.м. при x → −∞	б.б. при x → −∞		б.б. при x → −2

5.Какое из утверждений в таблице 8 является верным относительно функций α(x) и β(x), если они

являются - б.м. при x →1 и если lim α((x)) = ∞? x→1 β x

		Таблица 8
1		2
α(x) - б.м., более высокого порядка, чем β(x).		β(x) - б.м., более высокого порядка, чем α(x).
	20

6.

Бесконечно малые

α(x) и β(x) являются эквивалентными при

x → x0 . Что это означает по

определению? Укажите номер верного ответа в таблице 9.

Таблица 9

1

2

3

4

lim

α(x)

= 0

lim

α(x)

=1

lim

α(x)

= ∞

lim

α(x)

не существует.

x→x0

β(x)

x→x0

β(x)

x→x0

β(x)

x→x0

β(x)

7. Какой вид имеет главная часть бесконечно малой α(x), если она является бесконечно малой в точке x0 = ∞? Укажите номер верного в таблице 10 ответа.

					Таблица 10
				4
1	2	3
cxk	c(x −∞)k	c			c
		xk			(x −∞)k

8.Какой вид имеет главная часть бесконечно большой α(x), если она является бесконечно большой

вточке x0 = 3 ? Укажите номер верного ответа в таблице 11.

																								Таблица 11
																					4
	1				2							3
	cxk					c (x −3)k									c							c
																						(x −3)k
														xk
9.	Вычислите предел lim					x4 − x3 +3				и укажите номер верного ответа в таблице 12.
						2x −3x4
			x→∞
																								Таблица12
	1				2							3									4
												1									1
	∞				0																	− 3
															2
10.	Вычислите предел lim				x4 −5x2 + 4					и укажите номер верного ответа в таблице 13.
						16x − 2x4
			x→2
																								Таблица 13
																					4
	1				2							3
		1				−	1						−			5						−	1
	4						4					4									2
11.	При каком значении x					функция	α(x)=				x + 2 − 2 является бесконечно малой? Укажите номер
	верного в таблице 14 ответа.										x −1
																								Таблица 14
																					4
	1				2							3
	x =1					x = 0							x = 2									x = −2
12.	Выделите главную			часть бесконечно малой α(								x)= ln(1 − x tg x) в точке x									0 = 0 и укажите номер
	верного в таблице 15 ответа.
																								Таблица 15
																					4
	1				2							3
	x2					− x2									x							1 − x2
13.	Выделите главную			часть бесконечно большой								α(x)=	x2 +1							в точке	x0 =1 и укажите номер

x −1

верного в таблице 1 ответа.

21

					Таблица 16
	1	2	3		4
	x	x −1	1		2
			x −1		x −1

14.Выделите главную часть бесконечно малой α(x)= ln sin x в точке x0 = π2 и укажите номер

верного в таблице 17 ответа.

																																									Таблица 17
																																							4
	1													2													3
																																							(x −				)2
	(x −		π		)2								1		(x −				π	)						1	(x −		π		)2					−		1				π
													2						2
																								2
	2																										2									2			2
15.	Вычислите предел lim									sin x				и укажите номер верного ответа в таблице 18.
							x→π x − π
																																									Таблица 18
																																							4
	1													2													3
		∞														−1											1												0
										ln(x2				+ x −5)
16.	Вычислите предел lim																					и укажите номер верного ответа в таблице 19.
										e2x				−e4
							x→2
																																									Таблица 19
																																							4
	1													2													3
	5													5													−	1											5
		e2														2e4												2e4												2
17.	Вычислите предел lim								(1 −			x )2					и укажите номер верного ответа в таблице 20.
							x→11 + cos πx
																																									Таблица 20
																																3
	1																					2																	4
	1																					1										1									− 1
						2π2																	2π										π											2π2
											3			x
18.	Вычислите предел lim									1 −				и укажите номер верного ответа в таблице 21.
											x
							x→∞
																																									Таблица 21
																																3
	1																					2																	4
	1																						e									e3										e−3

19. Определите характер разрыва в точке x0 функции, заданной графиком и укажите номер верного в таблице 22 ответа.

y

		x0	x
					Таблица 22
1	2				3
Неустранимый разрыв 1 рода	Неустранимый разрыв 2 рода				Устранимый разрыв
	22

20. Относительно функции f (x) известно: lim f (x)= 3 ,		lim	f (x)= 3, f (x0 )= 2 . Является ли
	x→x0 −0	x→x0 +0
функция непрерывной в точке x0 ? Если нет, то каков характер разрыва? Укажите номер верного в
таблице 23 ответа.
			Таблица 23
1	2		3
Неустранимый разрыв 1 рода	Неустранимый разрыв 2 рода		Устранимый разрыв

21.Определите точки разрыва функции f (x)= e3xx−1 и характер разрыва и укажите номер верного в

таблице 24 ответа.

							Таблица 24
	1	2					3
	x = 0 . Неустранимый разрыв 1	x = 0 . Неустранимый разрыв 2					x = 0 . Устранимый разрыв
	рода		рода
	22. Определите точки разрыва	функции f (x)=	ex		и характер разрыва и укажите номер верного в
			ex −1
	таблице 25 ответа.
							Таблица 25
	1	2					3
	x = 0 , неустранимый разрыв 1	x = 0 , неустранимый разрыв 2					x = 0 , устранимый разрыв
	рода		рода
	8.	РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
	Основная

1.Н.С.Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т1, М.: Наука, 1985.

2.В.А.Ильин, Э.Г.Позняк. Основы математического анализа. Ч.1. М.: Наука, 1982.

3.Б.Письменный. Лекции по высшей математике. М.: Айрис, 2001.

4.Г.Н.Берман. Сборник задач по математическому анализу. М.: Наука, 1985.

5.Б.П. Демидович. Задачи и упражнения по математическому анализу для ВТУЗов. М.: Наука, 1972.

Дополнительная

6.В.Немыцкий, М.Слудская, А.Черкасов. Курс математического анализа. 2 том, М.:Наука,1987.

7.Г.П.Толстов. Курс математического анализа. 2 том, М.: Наука, 1980.

8.Н.А.Арцыкова, М.И.Володичева. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.

ЛКИ, 1985.

9.ОТВЕТЫ К ТЕСТУ

Таблица 26

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
задания
Ответ	1	2	3	4	2	2	3	4	4	2	3
№	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
задания
Ответ	2	4	4	2	2	1	4	2	1	3	2

23