ММС

ρu = + (1.10.8)

где u, — удельные внутренние энергии соответственно смеси, первой и второй фаз. Тогда уравнение сохранения энергии смеси имеет вид

= ·v + ·v — ,

где — тепловой поток, отнесенный, аналогично о*1 к начальному размеру и положению сечения . Используя теорему Гаусса — Остроградского и относя обе части к, получим

= + . (1.10.9)

а используя уравнение для кинетической энергии, следующее из уравнения импульса, получим уравнение притока тепла

= — (1.10.10)

После несложных преобразований система уравнений сохранения (1.10.6), (1.10.7), (1.10.9) односкоростной двухфазной среды в лагранжевых переменных примет вид

+ + = 0,

+ — =0

= +g, (1.10.11)

= — ,

где I определяется соотношением (1.10.3) и уравнением для перемещений (1.10.1).

Запишем полученные уравнения для нестационарного движения, определяемого одной пространственной координатой г (лагранжева координата) или х (эйлерова координата), т. е. для одномерных движений вдоль оси r (коллинеарной оси х) с плоской (v = l), цилиндрической (v = 2) и сферической (v = 3) симметриями. Учитывая схемы на рис. 1.10.1, используя стандартные выкладки при переходе от декартовой к цилиндрической и сферической системам координат, учитывая, что все величины

Рис 1.10.1. Элементарные объемы в исходном и текущем состояниях и главные напряжения лагранжева и эйлерова тензоров напряжений при наличии (α) плоской (v = l), (б) цилиндрической (v = 2) и (в) сферичеферической (v = 3) симметрии

зависят только от r или х, а скорость направлена только вдоль оси r или x, получим выражения для степени расширения элементарного объема, скорости ее изменения, а также связи между глав- главными напряжениями лагранжева и эйлерова тензоров напряжений

= I(t,r) = , = ·+ (1.10.12)

=, =. (1.10.12)

При этом система уравнений сохранения (1.10.11) в лагранжевых переменных r, t для одномерных течений при отсутствии внешних массовых сил (g = 0) может быть записана в виде

+ + = 0, + + = 0,

= +(v — 1) , = v , (1.10.14)

=+ (v—1) —

— (),

где l/t определяется второй формулой (1.10.12). Заметим, что если тензор напряжепий (эйлеров) гидростатический ( = = —р), то уравнение импульса в лагранжевых переменных имеет вид

. (1.10.14a)

Из этих уравнений, учитывая (1.10.13) и (1.10.2), можно по- получить уравнения в эйлеровых переменных х, t

+ + =,

+ + =,

+ = + (v-1) , (1.10.15)

+= +——

• + .

Для замыкания представленной системы уравнений (1.10.11),

которая для одномерных движении имеет вид (1.10.14) или (1.10.15), нужно конкретизировать механические и термодинамические свойства смеси и фаз в виде уравнений состояния для ,,, а также задать кинетику фазовых переходов для .

Отметим, что при решении задач, связанных с упругопластическим течением, необходимо следить за историей частицы, чтобы выявить переход из упругого в пластический режим деформации. С этой точки зрения лагранжево представление обладает определенным преимуществом. Кроме того, при решении задач в лагранжевых переменных проще задание граничных условий на контактных поверхностях, разделяющих различные тела и возникающих при соударениях тел, при воздействии детонации взрывчатого вещества и т. д., ибо эти контактные поверхности имеют фиксированные лагранжевы координаты. Отметим, что при решении одномерных плоских задач (v = 1) нет необходимости подсчета эйлеровой координаты х точек среды, т. е. интегрировать четвертое уравнение (1.10.14). Для цилиндрических, сферических и других (неодномерных) задач с конечными деформациями последнее упрощение решений задач в лагранжевых переменных отпадает. Кроме того, реализация конечно-разностных методов при лагранжевом представлении движений с большими деформациями осложняется численными эффектами наложения частиц друг на друга.

Тензор напряжений в двухфазной упругопластической среде. Как указывалось, средняя деформация и среднее напряжение элемента первой фазы при заданном воздействии определяются не только смещением внешних границ этого элемента, описываемого полем скоростей v(x, t), но и смещением межфазных границ внутри этого элемента. Но смещение межфазных границ зависит как от свойств, так и от структуры обеих фаз в смеси. Поэтому в теории движения гетерогенной среды должны учитываться условия совместного поведения или деформирования фаз, которые, кроме физических свойств фаз в общем случае должны учитывать структуру фаз (форму включений, их размер, взаимное расположение). Эффекты прочности твердых фаз могут существенно усложнять указанные условия, которые должны учи- учитывать и различие упругопластических свойств фаз. Если обе фазы жидкие или газообразные, то равновесное состояние, к которому каждый раз переходит система после наложения какого-либо возмущения, есть состояние, определяемое условием равенства давлений фаз, которые определяются истинной плотностью фазы и ее температурой. Эффекты прочности, присущие твердым веществам, эффекты поверхностного натяжения, а также эффекты неравновесности из-за существенно различных сжимаемостей и плотностей фаз, приводящие к пульсациям размеров включений (как это имеет место в пузырьковых жидкостях), нарушают равенство давлений фаз. При распространении сильных ударных волн, вызывающих фазовые переходы в твердых телах, уровень напряжений, связанных с прочностью и приводящих к негидростатичности тензора напряжений, во много раз меньше его гидростатической части, или давления. Дело в том, что прочность материала, хотя и растет с давлением, ограничена, и при высоких давлениях cвойства твердого тела в некоторых отношениях приближаются к свойствам жидкости, хотя эффекты негидростатичности (прочности) приводят к большим скоростям распространения некоторых возмущений, что можно учесть и в рамках квазижидкостной модели. Кроме того, сжимаемости фаз, так же как и истинные плотности фаз — величины одного порядка. Указанные два обстоятельства позволяют воспользоваться условием давлений фаз, как одним из условий совместного деформирования фаз в смеси, что вместе с уравнением состояния, связывающего первый инвариант тензора напряжений с первым инвариантом тензора деформаций (или истинной плотностью) фазы и температурой, приводит к некой полугидродинамической модели. Таким образом, если эйлеров тензор напряжений представить в виде суммы гидростатической и девиаторной частей

+ ( (1.10.16)

то значение р будем считать зависящим только от истинной плот- плотности фазы и температуры (уравнение состояния), полагая, что обе фазы имеют одинаковые давление и температуру:

(1.10.17)

Соотношение служит для определения давления, а равенство = — одно из условий совместного поведения фаз, определяющее их объемные содержания. Эти два соотношения представляют гидродинамическую сторону предлагаемой модели.

Чтобы сохранить в модели некоторые свойства, присущие твердому телу (сопротивляемость деформациям сдвига, упругость, пластичность, существование упругих предвестников ударных волн и волн разгрузки, связанных с наличием более высокой скорости распространения возмущений, чем это следует из чисто гидродинамической модели), вводится девиатор напряжений . В случае однофазной среды его принимают изменяющимся линейно с ростом деформаций по закону Гука до некоторого предела, после чего он должен удовлетворять условию пластичности. В главных осях тензора напряжении закон Гука, определяемый модулем сдвиговой упругости G, можно записать в виде

= 2G, k = 1,2,3 (1.10.18)

.

Для описания пластического течения пользуются условием текучести Мизеса, отражающим ограниченные возможности вещества упругого сопротивления на сдвиг

2, (1.10.19)

где — предел текучести при простом растяжении или сжатии ( = =0), который определяет максимально возможное напряжение сдвига (сдвиговый предел текучести= ). Левая часть этого выражения пропорциональна упругой энергии сдвига. Условие Мизеса соответствует тому факту, что пластическое течение начинается при достижении упругой энергией сдвига предельного значения. Далее полагается, что пластическому течению соответствует знак равенства в выражении (1.10.19), которое при этом определяет так называемую поверхность текучести в пространстве напряжений. Условие текучести Мизеса (1.10.19), если учесть последнее условие в (1.10.18), может быть приведено также к виду

. (1.10.20)

В рамках указанных представлений можно учесть изменение прочностных свойств при изменении состояния среды, считая, например, сдвиговый предел текучести и модуль сдвиговой упругости G функциями давления, температуры и объемного содержания фаз, причем обычно растет (упрочнение) с увеличением давления и падает (разупрочнение) с увеличением температуры. Часто можно принять линейный закон упрочнения по давлению

= + ( ), (1.10.21)

где М — коэффициент упрочнения. Когда материал расплавляется, . = 0, и при этом получится чисто гидродинамический режим, так как напряжение сведется только к гидростатическому давлению:

= = = — р, = = = 0.

Следует иметь в виду, что примеси в малых количествах, например примеси углерода в сталях, легирующие добавки в сплавах, пластическая и термическая обработка мало влияют на упругие и термодинамические свойства металлов и сплавов, характеризуемые зависимостями для давления р(ρ°, Т), внутренней энергии u = u(ρ°, Т ) и модулем сдвига G, но в это же время могут существенно изменить предел текучести .

В процессах ударноволнового нагружения (во всяком случае, на начальном этапе) при давлениях порядка 1 — 10 ГПа играют роль кинетриеские, или релаксационные эффекты перехода упругих деформаций в пластические, которые иногда называют эффектами запаздывания текучести. Процессы перехода упругих деформаций в пластические и обратно, вообще говоря, могут рассматриваться как фазовые переходы 2-го рода, когда в точке равновесия фаз (в данном случае в точке Гюгонио на ударной адиабате) меняется сжимаемость или модуль сопротивления сдвигу, но не величины внутренней энергии и плотности, как в случае фазовых переходов 1-го рода. Модели, учитывающие релаксацию во времени упругих деформаций в пластические (в отличие от упругопластических схем типа (1.10.19)), должны включать дополнительные независимые параметры и дифференциальное уравнение кинетики релаксации упругих деформаций. Это уравнение, включающее заранее неизвестный параметр (например, характерное время релаксации), можно задавать, исходя из формальных термодинамических соображений, аналогично тому, как это делается ниже для случая фазовых переходов 1-го рода. Неформальные уравнения кинетики, исходящие из представлений теории дислокаций и приводящие к модели вязкоупругопла-стической или вязкоупругой среды, для ударноволновых задач рассмотрены в работах (J. Taylor, 1965; J. Gilman, 1968; Р. И. Нигматулин, Н. Н. Холин, 1980; R. Nigmatulin, N. Kholin, 1979). В книге С. К. Годунова (1978) изложена модель вязкоупругости для описания трехосных напряжений и деформаций с релаксацией.

При возникновении растягивающих напряжений > 0 пли р < 0 ограничивают максимальное значение напряжения

< , (1.10.22)

считая, что при нарушении этого условия наступает нарушение сплошности среды (откол, трещины). Эта схема называется схемой мгновенного откола (см. Н. X. Ахмадеев, Р. И. Нигматулин, 1982). При более последовательном изучении развития разрушения во времени следует принимать уравнения кинетики роста трещин под действием растягивающих напряжений с учетом «ослабления» материала из-за этих трещин (см. статью Н. X. Ахмадеева, Р. И. Нигматулина (1982) и соответствующие ссылки в ней).

Кинетика фазовых переходов. Интенсивность фазовых переходов /12 представим в виде

=— (1.10.23)

каждое из которых может быть только неотрицательным , ), причем по крайней мере одно из них обязательно равно нулю. Если фазовых переходов нет, то= =0. В дальнейшем /12 будет давать только скорость перехода из первой фазы во вторую, а — из второй в первую.

Из термодинамики известно, что на линии равновесия двух фаз p= (T) или T = Ts (p) термодинамические потенциалы фаз, определяемые выражениями (1.3.69), равны между собой (см. (1.3.77))

(p) = (p). (1.10.24)

Формализм термодинамики необратимых процессов основан на том, что установление равновесия идет с тем большей скоростью, чем больше отклонение от равновесного состояния (см. § 1). В частности, фазовый состав в смеси в равновесии реализует минимальное значение термодинамического потенциала смеси, и поэтому фазовый переход (например, 1 2, если , > 0) идет тем быстрее, чем больше термодинамический потенциал вещества в первой фазе превышает термодинамический потенциал вещества во второй фазе при тех же давлении и температуре. Аналогично и для перехода 2 1. Тогда в линейном приближении, используя кинетические коэффициенты >0 > 0, имеем

=

(1.10.25)

=

В состояниях, близких к линии равновесия двух фаз (Т) или Ts(p), учитывая (1.3.71) для производных от (p, T) и используя приращения термодинамического потенциала от линии насыщения вдоль изотермы или изобары, имеем

(p, T)( T )+ (p —(T)) ( p ) — ( p )·(T—

(1.10.26)

(T)=)

Введем величины, определяющие разницу удельных объемов, энтропии и энтальпий фаз на линии насыщения

• (T) = —= ,

• (p) = = = (1.10.27)

= (p) — разница энтальпий фаз на линии насыщения, или теплота фазового перехода, которую нужно подвести (> 0)

(отвести ( < 0)) к единице массы первой фазы в состоянии насыщения, чтобы перевести ее во вторую фазу.

Учитывая (1.10.26), (1.10.27) и условие (1.10.24). получим линейные уравнения кинетики фазовых переходов, определяющие их интенсивность в зависимости от отклонения давления (пересжатия или перерасширения) от давления насыщения (T) или от отклонения температуры (перегрева или переохлаждения) от температуры насыщения (р). В частности, когда вторая фаза более плотная, чем первая ( < 0), имеем

= ) ,

= 0

= ) , ; (1.10.28)

= 0

.

Зная из эксперимента характерные времена фазовых превращений, можно оценить значения коэффициентов и . Например, если известно время полного превращения i-й в j-ю фазу при некотором давлении р, то имеем

, = | p | .

Тогда для кинетического коэффициента получаем оценку

. (1.10.30)