2_glava_21_03

или

но так как , то и:

а следовательно они принадлежат одному классу смежности, а класс является нулевым элементом фактор пространства.

Для доказательства остальных свойств нужно использовать тот факт, что определение суммы классов смежности и умножения класса смежности на число не зависит от выбора представителя, а представители классов смежности являются элементами линейного пространства.

Предложение 2.17. Пусть М - линейное пространство, а - некоторое его подпространство. Введем следующее отношение эквивалентности: два элемента отнесем к одному классу эквивалентности, если их разность принадлежит подпространству , то есть:

(2.25)

Доказательство 2.12. Легко проверить, что это отношение действительно удовлетворяет аксиомам отношения эквивалентности: рефлексивности, симметричности и транзитивности.

Рефлексивность:

так как любое подпространство содержит нулевой элемент, то любой элемент эквивалентен сам себе в указанном смысле.

Рассмотрим ряд аксиом фактор-пространства:

Предложение 2.18. Если , , то:

(2.26)

Этот факт позволяет естественным образом ввести в множестве классов по фиксированному модулю операции сложения и умножения на число, полагая:

.

Множество классов превращается в линейное пространство, которое называется фактор пространством М по модулю М₀ и обозначается М/М₀.

Предложение 2.19. Определим:

. (2.27)

Более общее утверждение приведено в третьей аксиоме.

Предложение 2.20. Если - дополнение подпространства М, то:

(2.28)

Симметричность. Рассмотрим два вектора . Пусть:

тогда:

так как  - подпространство линейного пространства, то оно само является линейным пространством, а значит вместе с любым вектором содержит и обратный к нему.

Транзитивность. Рассмотрим три вектора . Пусть:

тогда, по определению подпространства линейного пространства:

с другой стороны:

а значит:

Классы эквивалентности построенного отношения называются классами смежности (по подпространству ). Совокупность всех таких классов называется фактор-пространством пространства М по и обозначается .

В любом фактор-пространстве можно естественным образом ввести операции сложения и умножения на число. Рассмотрим два класса смежности: . Выберем в каждом из этих классов по одному представителю:

(2.29)

и назовем суммой этих классов тот класс, которому принадлежит элемент . Аналогичным образом определяется и произведение класса на число - класс, которому принадлежит произведение представителя на класса на то это число. Можно проверить, что определение сложения и умножения на число в фактор-пространстве не зависит от выбора представителей классов. Введённые таким образом операции удовлетворяют аксиомам линейного пространства, а значит фактор-пространство линейного пространства само является линейным пространством, причём нулевым элементом фактор-пространства является подпространство .

Пример 2.9. Докажим выше приведенное утверждение.

Решение:

Пусть фактор пространство имеет размерность , выберем в этом фактор-пространстве базис:

тогда произвольный класс можно представить в виде линейной комбинации:

Рассмотрим вектор , выберем в каждом из базисных классов по одному представителю , тогда, по определению класса смежности фактор-пространства:

то есть любой вектор действительно представим в виде:

причем:

Пример 2.10. Докажем, что если размерность пространства М равна , а размерность подпространства равна , то размерность фактор-пространства равна .

Решение: Если , то и теорема утверждение становится тривиальным. Будем далее считать, что .

Пусть  - базис в пространстве . Так как размерность пространства равна , то можно так выбрать вектора , чтобы система:

была линейно независимой. Вектора принадлежат разным классам смежности, причём ни один из этих векторов не лежит в . Действительно, если и принадлежат одному классу смежности, то:

или

где - некоторые числа, то есть система окажется линейно-зависимой. Аналогично доказывается, что . Так как мы указали линейно-независимых векторов, принадлежащих разным классам смежности, то можно найти линейно-независимых классов смежности .

Рассмотрим теперь произвольный класс смежности и выберем в нём представителя . Так как система:

является линейно-независимой, то вектор можно представить в виде:

Так как:

то вектор принадлежит классу смежности:

а так как класс смежности вполне определяется одним своим представителем, то:

Утверждение доказано.

Выводы.

Вторая глава также носит теоретических характер. Здесь были изложены исходные определения и основополагающие понятия подпространства и линейных оболочек, а также рассмотрены факторы пространства. Были определены и изложены основные факты, касающиеся общей теории подпространств с выделением теорем и доказательств по ним. То есть те теоремы и факты которые будут необходимы для дальнейшего раскрытия темы дипломной работы - сходимости в векторных пространствах.

46