kotrolnaya_teoreticheskaya_mekhanika_dinamika

2 – шатун; 3 – ползун. Механизм имеет одну степень свободы. В качестве обобщенной координаты используем угол φ1 поворота тела 1. В заданном положении механизма обобщенной координате φ1 зададим приращение δφ1. Таким образом, δφ1 – возможное угловое перемещение звена 1, которое совершает вращательное движение. Исходя из этого, определим модуль возможного перемещения δSA.

δSA = AO·δφ1.

Кинематический анализ работы механизма показывает, что звено 2 совершает плоскопараллельное движение, а звено 3 совершает поступательное движение вдоль координатной оси ОХ. Из условия принадлежности точки В звену 3 возможное перемещение δSВ направлено вдоль координатной оси ОХ. Спроецировав возможные перемещения точек А и В на прямую, соединяющую эти точки, получим

δSA = δSВ·cos30о.

Отсюда имеем

δSВ = δSА/cos30о = AO·δφ1/ cos30о.

Таким образом, установлено, что линейные возможные перемещения точек А и В зависят от возможного углового перемещения δφ1 звена 1 механизма.

δSA = AO·δφ1 = f1(δφ1); δSB = AO·δφ1/cos300 = f2(δφ1).

6.2.Связи и их классификация. Идеальные связи

Ваналитической механике широко используются понятия: «механическая система»; «связи», наложенные на механическую систему. Уточним эти понятия и проведем их классификацию.

Связи – материальные тела, осуществляющие ограничения, налагаемые на положения и скорости точек механической системы, которые должны выполняться при любых действующих на систему силах.

Эти ограничения записываются в виде уравнений или ограничений.

Уравнения связей – уравнения, которым в силу наложенных связей должны удовлетворять координаты точек механической системы и их скорости (первые производные от координат по времени).

221

Геометрические связи – связи, уравнения которых содержат только координаты точек механической системы.

Эти связи выполнены в виде тел, поверхностей, линий и т. п. Например, связь в виде некоторой поверхности описывается урав-

нением f(x, y, z) = 0.

Дифференциальные связи – связи, уравнения которых, кроме координат точек механической системы, содержат еще первые производные от этих координат по времени.

Уравнения такой связи имеет вид f(x, y, z, dx/dt, dy/dt, dz/dt) = 0.

Голономные связи – геометрические связи и дифференциальные связи, уравнения которых можно проинтегрировать.

Неголономные связи – дифференциальные связи, уравнения которых не могут быть проинтегрированы.

Стационарные связи – связи, в уравнения которых время явно не входит.

Например, геометрическая стационарная связь в виде невесомого стержня длины l, ограничивающая перемещение материаль-

ной точки (рис. 6.11), описывается уравнением x2 + y2 + z2 – l2 = 0.

Рис. 6.11

Если в рассматриваемом примере (рис. 6.11) вместо стержня будет нить, длина которой с течением времени изменяется, то такая связь будет геометрически нестационарной. Эта связь описывается

уравнением

x2 + y2 + z2 – l2(t) = 0.

222

Двусторнние (удерживающие) связи – связи, допускающие возможные перемещения только в двух взаимно противоположных направлениях.

Примером такого типа связи служит, например, кулисный камень. Эти связи описываются уравнением f(x, y, z, t) = 0.

Односторонние (неудерживающие) связи – связи, при ко-

торых точки механической системы имеют возможные перемещения, противоположные которым не являются возможными.

К связям такого типа относится, например, шарнирноподвижная опора. Аналитически эти связи описываются неравенст-

вами типа f(x, y, z, t) ≥ 0.

Механическая система – любая совокупность материальных точек, движения которых взаимозависимы.

Голономная система – механическая система, на которую наложены голономные связи.

Неголономная система – механическая система, на которую наложена хотя бы одна неголономная связь.

Возможное перемещение системы – любая совокупность возможных перемещений точек данной механической системы, допускаемая всеми наложенными на нее связями.

Рассмотрим понятие «возможная работа силы», которое также широко применяют в аналитической механике.

Возможная (элементарная) работа силы – бесконечно ма-

лая величина, равная скалярному произведению вектора силы F на вектор возможного перемещения δS точки ее приложения.

223

На рис. 6.12 показаны векторы F и δS.

Рис. 6.12

Согласно рис. 6.12 и определению возможную работу δA(F) силы F определяют по формуле

δA(F) = F·δS = F·δS·cos(F, δS) = F·δS·cosα.

В зависимости от величины угла α возможная работа δA(F) может быть положительной, отрицательной или равной нулю.

Рассмотрим случай, при котором под действием силы F тело совершает вращательное движение относительно оси ОХ (рис. 6.13).

Рис. 6.13

При вращении тела возможную работу δA(F) силы F на возможном угловом перемещении δφ в общем случае определяют по формуле

δA(F) = ± Мох(F)·δφ = ± (F·h)δφ,

где Мох(F) – момент силы F относительно оси ОХ вращения; h – плечо силы F относительно оси вращения.

224

Следует отметить, что при совпадении направления Мох(F) и δφ возможная работа δA(F) > 0. Если направления Мох(F) и δφ противоположны, то δA(F) < 0.

Возможная элементарная работа δA сил, приложенных к точкам механической системы, вычисляется по формуле

δA = ΣδA(Fi).

Рассмотрим еще одно понятие «идеальные связи», применяемое в аналитической механике.

Идеальные связи – связи, для которых сумма элементарных работ их реакций равна нулю на любом возможном перемещении механической системы.

Идеальными связями являются: гладкая поверхность; шарнир- но-подвижная и шарнирно-неподвижная опоры; шероховатая поверхность при качении по ней рассматриваемого тела и др.

6.3. Принцип возможных перемещений

При решении задач на равновесие механических систем, например, для составной конструкции применяются соответствующие уравнения равновесия. Как правило, такие задачи являются статически неопределимыми. Для их решения требуется рассматривать равновесие каждого из тел системы под действием активных сил, реакций внешних связей и реакций внутренних связей. В результате того, что для каждого из тел системы составляются уравнения равновесия, приходится решать большие системы уравнений. Такой подход к решению задачи становится громоздким и потому малопригодным. В этих случаях целесообразно использовать принцип возможных перемещений, который существенно облегчает решение поставленной задачи.

Формулировка принципа возможных перемещений.

Для равновесия механической системы, на которую наложены стационарные идеальные связи, необходимо и достаточно, чтобы сумма работ активных (задаваемых) сил на любых возможных перемещениях механической системы равнялась нулю.

Этот принцип выражается формулой

δA = ΣδA(Fi) = ΣFi·δSi = ΣFi·δSi·cos(Fi, δSi) = 0,

225

где Fi – активная сила, приложенная к i-й точке механической системы; δSi – возможное перемещение точки приложения силы Fi.

Принцип возможных перемещений в декартовой системе отсчета имеет вид

Σ(FiоxδSiоx + FiоyδSiоу + FiоzδSiоz) = 0,

где Fiоx, Fiоy, Fiоz – проекции задаваемых (активных) сил на координатные оси; δSiоx, δSiоу, δSiоz – проекции возможных перемещений δSi точки приложения сил Fi на координатные оси.

Если предыдущую формулу (ΣFi·δSi = ΣFi·δSi·cos(Fi, δSi) = 0) продифференцировать по времени, то получим

ΣFi·Vi = ΣFi·Vi·cos(Fi, Vi) = 0,

где Vi = d(δSi)/dt – возможная скорость точки приложения силы Fi. Так как по определению F·V = F·V·cos(F, V) = N, где N – мощ-

ность, то последнее равенство трактуют как принцип возможных скоростей или принцип возможных мощностей.

Для равновесия механической системы, на которую наложены стационарные идеальные связи, необходимо и достаточно, чтобы сумма мощностей активных сил на любых возможных скоростях точек этой системы равнялась нулю.

Для закрепления изложенного теоретического материала рекомендуется выполнить курсовые задания Д 6, Д7.

226

6.3.1. Варианты курсового задания Д 6 «Применение принципа возможных перемещений

крешению задач о равновесии сил, приложенных

кмеханической системе с одной степенью свободы»

Схемы механизмов, находящихся под действием взаимно уравновешивающихся сил, и необходимые для расчета данные приведены в табл. 5.4. В расчетах использовать следующие условные обозначения: с – коэффициент жесткости пружины (Н/см); h – деформация пружины (см); Q, P – силы (Н); М – момент пары сил (Н·м).

Примечания:

Вариант 6. Вес рукоятки О1А не учитывать. Вариант 7. Пружина сжата.

Вариант 8. Пружина сжата.

Вариант 10. Вес рукоятки ОА не учитывать.

Вариант 14. Вес стержней ОА и ОВ не учитывать; пружина

растянута.

Вариант 16. Вес стержней О1А и О2В не учитывать. Вариант 18. Р – вес блока радиуса R3.

Вариант 19. Вес звена АВ не учитывать.

Вариант 24. Пружина сжата.

Вариант 25. Вес стержней АО и ВО не учитывать. Пружина растянута.

Вариант 26. Пружина растянута.

Применяя принцип возможных перемещений и пренебрегая силами сопротивления, определить величину, указанную в последнем столбце табл. 5.4.

227

		Таблица 5.4
Номер	Расчетная схема механизма	Исходные дан-
вари-		ные, опреде-
анта		ляемая величи-
		на
1	2	3
		ОА = 10 см;
1		М = 20 Н·м;
		P = ?
		О1А = 20 см;
		Р = 100 Н;
2		M = ?
		R2 = 40 см;
		r2 = 30 см;
3		R3 = 20 см;
		M = 100 Н·м;
		Q = ?
	228

		Продолжение табл..5.4
1	2		3
			ОС/ОА = 4/5;
4			Р = 200 Н;
			h = 4 см;
			с = ?
5			ОА = 100 см;
			М = 10 Н·м;
			P = ?
			R2 = 50 см;
			r2 = 15 см;
6			R3 = 20 см;
			О1А = 80 см;
			Q = 200 H;
			P = ?

229

		Продолжение табл..5.4
1	2		3
			OC = OA;
7			с = 10 Н/см;
			h = 3 см;
			P = ?
			ОС = АС;
8			Р = 200 Н;
			с = 10 Н/см;
			h = 2 см;
			Q = ?
			ОА = 20 см;
9			Q = 200 H;
			M = ?

230