Глава 4 Кинематический анализ рычажных мех

14
arВВхr = arААхr .	(4.36)

Составляющая Кориолисова ускорения обусловлена приращением вектора переносной скорости вследствие изменения длины радиуса вращения lОА , а также поворотом вектора относительной скорости. Согласно прави-

лу Жуковского, для плоского движения направление Кориолисова ускорения определяется поворотом вектора относительной скорости на 90о в направлении переносной угловой скорости, а величина рассчитывается по формуле /12/:

ark	=2 V	ω	ОA	=2 V	ω	хх	.	(4.37)
ВВx	ВВх			ВВх

Таким образом, чтобы определить полное (абсолютное) ускорение точ-

ки В, необходимо сложить четыре вектора /12/:
aB = arBn х + arBτ х + arВВr + arВВk	x .	(4.38)

Согласно рассмотренным в предыдущих разделах правилам строят план ускорений (рис. 4.7, б).

Отрезок πnx изображает ускорение arnBх . Величина его выбирается произвольно, после чего рассчитывается масштабный коэффициент /12/:

								µA = aBn х / πnx .	(4.39)
									rτ
	Отрезки nx bx , bx r , rb изображают соответственно ускорения
									aBх ,
	arВВr , arВВk	x с учетом принятого масштабного коэффициента µA . Величины

отрезков /12/:

nx bx = arτBх /µA ; bx r = arrВВ/µA ; rb= arkВВx /µA .

Направление векторов /12/: πnx - параллельно ВО;

nx bx - перпендикулярно ВО;

bx r - задано исходными данными;

rb - определяется правилом Жуковского.

Соединив точку π с точкой b, получаем вектор πb , изображающий в масштабе ускорение точки В /12/:

aB = πb µA .

Последовательно переходя от начального звена к 1-й группе Ассура, затем к следующей и т.д., можно определить скорости и ускорения всех точек и звеньев механизма.

Разработал Корчагин П.А.

15

4.6. Определение скоростей и ускорений групп Ассура

4.5.1. Группа Ассураr II класса 2 порядка 1 вида (рис. 4.8., а)

Дано: Скорости точек VA и VС .

Определить: скорости точек VВ , VD , VE ; угловые скорости звеньев

ωAB , ωBC .

Выразим скорость точки В в виде суммы векторов переносного и относительного движения /12/:

VВ = VA + VВА;	(4.40)
VВ = VС + VВС;	(4.40)

Скорость точки В неизвестнаr ни по величине, ни по направлению. От-

носительные скорости VВА и VВС неизвестны по величине, но известны по r r

направлению: VВА АВ; VВС ВС.

Система векторных уравнений определима, если число уравнений равно числу неизвестных, умноженному на 2. Наша система содержит два векторных уравнения и четыре неизвестных.

Строим план скоростей (рис. 4.8, б). Откладываем произвольный отре-

зок pa в направлении вектора VA , определяем масштабный коэффициент

/12/:

µV = VA / pa .

Рис. 4.8

С учетомrмасштабного коэффициента откладываем отрезок в направлении вектора VС /12/:

pс= VС /µV .

Через точку а проводим прямую, перпендикулярную АВ, через точку с

– прямую, перпендикулярную ВС. Точка пересечения этих прямых (направлений относительных скоростей) определяет общее решение двух уравнений (4.40).

Разработал Корчагин П.А.

16

Скорость точки D определяем по принципу подобия. Для этого строим на отрезке bc подобный и сходственный треугольник (∆BDC ∆bdc). Со-

единяем полюс с точкой d и определяем скорость точки D /12/:
VD =		µV .
	pd
Скорость точки Е определяем также по принципу подобия /12/:
АВ/АЕ=ab/ae ,			(4.41)
отсюда:
ae= ab АВ/АЕ.			(4.42)

Отложив на отрезке ab плана скоростей длину отрезка			ае, соединяем
точку е с полюсом и определяем скорость точки Е /12/:
VЕ=	pе	µV .
Далее определяем угловые скорости звеньев /12/:
ωAB = VВА/lАB ;
ωBС = VВС/lBС .			(4.43)

где ωAB - угловая скорость звена АВ; ωBС - угловая скорость звена ВС. Чтобы определить направления угловых скоростей, векторы относи-

тельных скоростей ab и cb следует мысленно перенести в точку В плана механизма. Вектор относительной скорости ab вращает звено АВ по часовой стрелке, вектор cb вращает звено ВС против часовой стрелки (см. рис. 4.8).

Аналогичным образом строится план ускорений. Разница заключается лишь в том, что относительные ускорения раскладываются на две составляющие: нормальную и касательную.

Дано: ускорения aA и aС (точек А и С) (рис. 4.9, а). Известны все ско-

рости, т.к. план скоростей уже построен (см. рис. 4.8, б).

Определить: ускорения точек aВ , aD , aE ; угловые ускорения звеньев

εAB , εBC .

Рис. 4.9

Разработал Корчагин П.А.

17
Векторные уравнения для построения плана ускорений /12/:
aB = aA + arBAn + arBAτ ,
aB = aС + arBn С+ arBτ С.	(4.44)

Векторы aA , aС известны по величине и направлению. Величину векторов arnBA и arnBС можно определить, а направления их известны /12/:

arnBA = ωAB 2 lAB ; arnBA || АВ (вектор направлен от точки В к точке А); arnBС= ωBС 2 lBС ; arnBС|| ВС (вектор направлен от точки В к точке С).

Касательные составляющие относительных ускорений известны только по направлению /12/:

arτBA АВ; arτBС ВС.

Таким образом, имеется два векторных уравнения с четырьмя неизвестными, решая которые, определяем ускорение aB .

Из полюса π (рис. 4.9, б) откладывается в направлении вектора arA от-

резок произвольной длины ( πа).

Определяем масштабный коэффициент плана ускорений /12/:

µA = aA / πа.

Сучетом масштаба строим все остальные векторы. Ускорение точки С

–в виде отрезка πс /12/:

πс= aС /µA .

Из точек а и с откладываем в масштабе векторы arnBA и arnBС в соответ-

ствующих направлениях /12/:

an = arnBA /µA ; an ||АВ; сn1 = arnBС/µA ; сn1 ||ВС.

Через точки n и n1 проводим прямые, соответствующие направлениям касательных ускорений (через точку n – перпендикулярно к звену АВ, через точку n1 – перпендикуляр к звену ВС).

Точка пересечения этих двух прямых определяет ускорение точки В

/12/:

aB = πb µA .

Ускорения точек D и Е определяются по правилу подобия, для этого на отрезке bc, изображающем полное относительное ускорение arBС, строим

треугольник bdc, подобный и сходственный с треугольником BDC. Находим ускорение точки /12/:

aD = πd µA .

Из пропорционального деления отрезков определяют отрезок, изображающий ускорение точки Е /12/:

Разработал Корчагин П.А.

18

Ае = ab AE/AB,

А затем длину πе умножают на масштабный коэффициент /12/:

aЕ= πеµA .

Угловые ускорения находят по касательным составляющим относительных ускорений (см. рис. 4.9, б) /12/:

rτ	(4.45)
εAB = aBA /lAB .

Направления угловых ускорений звеньев определяют, мысленно перенося векторы n1b и nb с плана ускорений в точку В. Первый вектор вращает звено ВС против часовой стрелки, второй вращает звено АВ по часовой стрелке. Направления угловых ускорений показаны круговыми стрелками

(см. рис. 4.9, а).

4.5.2. Группа Ассура II класса, 2 порядка, 2 вида

Построение планов скоростей и ускорений рассмотрим на примере кри- вошипно-ползунного механизма (рис. 4.10). Порядок построения, обозначения, формулы аналогичны рассмотренным ранее, поэтому этот и последующий разделы даны в конспективной форме, без подобных текстовых объяснений.

Дано: кинематическая схема механизма; угловая скорость кривошипа

ωОA .

Определить: скорость и ускорение точки В; угловую скорость и угловое ускорение звена АВ.

Механизм образован присоединением к ведущему звену группы Ассура II класса 2 вида. Выделим эту группу и построим для нее план скоростей (рис. 4.10, б). Скорость точки В определится уравнением /12/:

VВ = VA + VВА.

Рис. 4.10

Известны величина и направление скорости точки А /12/:

VA = ωОА lОА .

Известны также направления скоростей VВА и VВ /12/:

Разработал Корчагин П.А.

19

VВА АВ; VВ || x −x .

Отрезок pa , изображающий скорость точки А на плане, выбираем произвольным по величине. Масштабный коэффициент /12/:

		µV = VA /	pa	.
r	Через	точку А проводим направление относительной скорости
VВА АВ;		через полюс (неподвижную точку) проводим направление аб-

солютной скорости точки В – горизонтальную прямую, параллельную x −x . Определяем скорость точки В /12/:

aB = πb µA .

Угловая скорость звена АВ /12/:

ωAB = VВА/lАB .

Вектор относительной скорости вращает звено против часовой стрелки

(см. рис. 4.10).

План ускорений строим по уравнению /12/: aB = aA + arnBA + arτBA ,

где

a	A	= ω	2 l	ОA	; a	A	||АО;
		ОA
aBAn		= ωAB	2 lAB ; aBAn ||АВ;

rτ	aB || x −x .
aBA АВ;

На плане ускорений, построенном с учетом масштабного коэффициента (µA = aA / πа), правая часть уравнения изображена соответствующими векторами πа, аn , nb .

Результирующий вектор πb изображает абсолютное ускорение точки В

/12/:

aB = πb µA

Угловое ускорение звена АВ находим по касательной составляющей

/12/:

εAB = arτBA /lAB .

Направление углового ускорения находим, перенося вектор касатель-

ной составляющей относительного ускорения nb в точку В механизма (см.

рис. 4.10, в, а).

4.5.3. Группа Ассура II класса, 2 порядка, 3 вида

Построение планов скоростей и ускорений рассмотрим на примере кулисного механизма, который образован присоединением к механизму I класса группы Асура II класса, 2 порядка, 3 вида (рис. 4.11, а) /12/.

Разработал Корчагин П.А.

Рис. 4.11

Имеем одно векторное уравнение с двумя неизвестными: величиной

20

Дано: кинематическая схема механизма; угловая скорость кривошипа

ωAB .

Определить: скорость и ускорение точек В′и D кулисы; угловую скорость и угловое ускорение кулисы.

Строим план скоростей (рис. 4.11, б) по векторному уравнении /12/:

r VВ′= VВ+ VВ′В , r

где VВ′ - скорость точки В′, принадлежащей кулисе; VВ - скорость точки В конца кривошипа и кулисного камня; VВ′В - относительная скорость движения камня по кулисеr .

VrВ= ωAB lAB ; VВ АВ;

VВ′В || DC; VВ′ DC.

r

VВ′ и величиной VВ′В . Перпендикулярно АВ откладываем отрезок произ- r

вольной величины, изображающий известную скорость VВ . Масштабный

коэффициент плана скоростей /12/:

µV = VВ/ pb .

Через точку b проводим направление относительной скорости (параллельно кулисе DC), через полюс – направление абсолютной скорости точки В′ (перпендикулярно кулисе). Точка пересечения определяет скорость точки В′ кулисы /12/:

VВ′= pb′ µV .

Скорость точки D находим по принципу подобия: строим на палане

скоростей отрезок pd , пропорциональный длине кулисы CD: pd =( pb′ CD)/C В′;

VD = pd µV .

Разработал Корчагин П.А.

21

Угловая скорость кулисы ( ωCD ) определяется из соотношения /12/:

ωCD = VD /lCD .

Направление угловой скорости находим, мысленно перенося вектор относительной скорости с плана скоростей в соответствующую точку механизма. Кулиса вращается по часовой стрелке (см. рис. 4.11, а, б) /12/.

План ускорений строим по векторному уравнению /12/:

a	B	′= arn	+ ark ′ + arВВr ′ ,
		B	В В

Где arnB = ωAB 2 lAB ; arnB || АВ - нормальное ускорение переносного движения (ускорение точки В конца кривошипа и кулисного камня). Вектор нормального ускорения направлен от точки В к точке А: arnB || АВ.

Откладываем в этом направлении отрезок произвольной величины (рис. 4.11. в) и определяем масштабный коэффициент плана ускорений

/12/:

µA = aB / πb .

Второй член уравнения – Кориолисово ускорение – вычисляется по формуле /12/:

		ark ′	=2 ω	CD	V ′ ,
r		В В			В В
где VВ′В = bb′ µV (см. рис. 4.11, б).

Направление Кориолисова ускорения определяем поворотом относительной скорости ( bb′ - на плане скоростей) на 90о в направлении угловой скорости кулисы ( ωCD ). Из точки b (рис. 4.11, в) откладываем в масштабе

величину Кориолисова ускорения /12/:
		= ark		/µ		.
	bk		′		A
		В В

Через точку k проводим направление относительного ускорения arrВ′В||CD. Величина этого ускорения неизвестна, значит, требуется составить еще одно векторное уравнение. Кулиса вращается неравномерно, поэтому ускорение точки В во вращательном двиежении вокруг точки С складывается из нормального и касательного /12/:

a	B	′= a	С	+ arn ′	+ arτ ′ ,
				B С	B С

где aС =0, т.к. точка С – неподвижна и ее ускорение изображается на плане нулевым отрезком (совпадает с полюсом).

rn			2	lB′С	rn		′
aB′С = ωCD					; aB′С || ВС.
Откладываем в направлении от				′
			В к С отрезок, изображающий нор-
мальную составляющую ускорения (см. рис. 4.11, в) /12/:
		= arn ′			/µ		.
	πn					A
				B С

Разработал Корчагин П.А.

22

Через точку n проводим направление касательного ускорения (перпендикулярно кулисе). Получаем точку пересечения b′, которая определяет ускорение точки В′ кулисы /12/:

a B′= πb′µA .

Ускорение точки D находим по принципу подобия /12/:

πd =( πb′ CD)/C В′;

aD = πd µA .

Угловое ускорение кулисы определяем по касательной составляющей arτB′С , которая на плане ускорений изображается отрезком nb′ /12/:

arτB′С = nb′ µA ; εB′C = arτB′С /lB′С.

Направление углового ускорения находим, перенося вектор nb′ (см. рис. 4.11, в) в точку В′ кулисы (см. рис. 4.11, а). Угловое ускорение направлено против часовой стрелки.

4.6. Метод кинематических диаграмм (графического дифференцирования)

Графическое изображение изменения основных кинематических параметров механизма за полный цикл движения называется кинематической диаграммой /12/.

Если одна из кинематических функций задана в форме графика или в виде таблицы значений, то найти производную или интеграл от этой функции непосредственно невозможно. В этом случае используют методы графического дифференцирования и интегрирования. Основное достоинство данного метода, как и у большинства графических методов, - наглядность и простота; недостаток – невысокая точность. Метод основан на геометрическом смысле производной, которая представляет собой тангенс угла наклона касательной в данной точке кривой к оси абсцисс /12/.

Обычно кривую заменяют ломанной линией и принимают следующее допущение: угол наклон касательных в точках, расположенных на середине каждого участка кривой, равен углу наклона соответствующей хорды. Это вносит некоторую погрешность, но она не суммируется, что обеспечивает приемлемую точность метода /12/.

На рис.4.12 изображена кинематическая диаграмма перемещений точки в масштабе. Пусть за бесконечно малый промежуток времени ∆t перемещение точки увеличилось на ∆S. Тогда скорость точки на этом участке определится из выражения /12/:

V= ∆SµS / ∆tµS .

(4.46)

Разработал Корчагин П.А.

23

Рис. 4.12

Из чертежа (см. рис. 4.12) следует, что ∆S / ∆t = tgα, а с учетом приня-

того допущения это и есть первая производная (в пределе хорда превратиться в касательную) /12/.

Поэтому

V=(µS / µt ) tgα.

(4.47)

Проведем из точки Р, расположенной влево от оси абсцисс на произвольном расстоянии Н, прямую, параллельную хорде ab, до пересечения с осью ординат. Эта прямая отсекает на оси ординат отрезок ОА, длина ко-

торого определяется из треугольника АОР /12/:
ОА=Нtgα.	(4.48)
Разделим (4.47) на (4.48) /12/:
V/ ОА=µS / µt Н.	(4.49)

Правая часть уравнения содержит только постоянные величины, следовательно, она является также величиной постоянной и представляет собой масштабный коэффициент скорости /12/.

µV =µS / µt Н.

(4.50)

Таким образом, отрезок ОА, отсекаемый лучом РА на оси ординат, изображает скорость на бесконечно малом участке ∆t в масштабе скоро-

стей µV /12/.

Разработал Корчагин П.А.