Ми10 крив и пов

∂∂Xy = ∂∂Yx ; ∂∂Yz = ∂∂Zy ; ∂∂Xz = ∂∂Zx .

3. Для любого кусочно гладкого замкнутого контура L, целиком лежащего в области Ω, справедливо равенство

>∫X (x, y, z)dx +Y(x, y, z)dy + Z(x, y, z)dz = 0.

L

4. Для любых двух точек A и B в области Ω криволинейный интеграл второго рода

∫ X (x, y, z)dx +Y(x, y, z)dy + Z(x, y, z)dz

AB

не зависит в этой области от пути интегрирования.

Доказательство этой теоремы можно провести „в круговую" аналогично доказательству теоремы 1.6 с той лишь разницей, что надо опереться на формулу Стокса, а не на формулу Грина, которая по сути

является частным случаем формулы Стокса.
Замечание	1. Если	X (x, y, z), Y(x, y, z)	и	G	Z(x, y, z) –	координаты
		G			G	G
векторного	поля	F(M ) = X (x, y, z) i			+Y(x, y, z) j	+ Z(x, y,JGz) k,

удовлетворяющие условиям теоремы 2.5. , то векторное поле F(M )

потенциально тогда и только тогда, когда выполняется один из пунктов теоремы 2.5.

Отметим, что если криволинейный интеграл в пространстве не зависит от пути интегрирования, то, как и в плоском случае, в его обозначении указывают лишь начальную и конечную точки кривой. При этом для любой кусочно гладкой кривой AB с начальной точкой A(x0 , y0 , z0 ) и

конечной точкой B(x1 , y1 , z1 ) целиком лежащей в Ω, имеет место формула

Ньютона – Лейбница для криволинейного интеграла вдоль пространственной кривой

B(x1,y1	,z1)		B(x1,y1,z1)
∫	X(x, y,z)dx+Y(x, y, z)dy+Z(x, y, z)dz =u(x, y,z)			=u(x1, y1,z1) −u(x0, y0, z0 ),
			A(x0 ,yo ,z0 )

A(x0 ,yo ,z0 )

где u(x, y, z) – произвольная функция, имеющая дифференциал

du = X (x, y, z)dx +Y(x, y, z)dy + Z(x, y, z)dz . Такую функцию можно найти,

как и в случае плоской области, интегрированием по отрезкам прямых, параллельных координатным осям. Например, можно использовать формулу

( x, y, z)
u(x, y, z) = ∫	X (x, y, z)dx +Y(x, y, z)dy + Z(x, y, z)dz +C =
( x0 , yo , z0 )
x	y	z
= ∫ X (x, y0 , z0 )dx + ∫Y(x, y, z0 )dy + ∫Z(x, y, z)dz +C,			(2.37)
x0	y0	z0

101

где C – константа, а (x0 , y0 , z0 ) – произвольная фиксированная точка

области Ω. Приведенная формула соответствует интегрированию вдоль трехзвенной ломаной, первое звено которой параллельно оси Ox , второе – оси Oy , а третье – оси Oz .

Применение формулы возможно в том случае, когда эта ломаная

целиком попадает в область Ω.				Z(x, y, z) – координаты
Замечание 2.	Если	X (x, y, z), Y(x, y, z) и
потенциального	G	G	векторного	поля
JG			G	то функция u(x, y, z) ,
F(M ) = X (x, y, z) i +Y(x, y, z) j + Z(x, y, z) k,

определяемая

Пример 2.10.

JG

F(M ) = ( yz +

формулой (2.37), является потенциалом векторного поля. ДоказатьG , что векторноеG G поле

y) i + (xz + x) j + xy k потенциально и найти его потенциал.

Решение. Так как

∂X

=

∂( yz + y) = z +1, ∂X

=

∂( yz + y) = y;

∂y

∂y

∂z

∂z

∂Y

=

∂(xz + x)

= z +1,

∂Y

= ∂(xz + x)

= x;

∂Z

=

∂(xy)

= y, ∂Z

=

∂(xy)

= x, то

∂x

∂x

∂z

∂z

∂x

∂x

∂y

∂y

∂X

=

∂Y

= z +1,

∂Y

= ∂Z

= x,

∂X =

∂Z = y.

∂y

∂x

∂z

∂y

∂z

∂x

Следовательно, векторное поле потенциально (замечание 1 теоремы 2.5.). Найдем потенциал u(x, y, z) этого векторного поля (формула 2.37):

	( x, y, z)
u(x, y, z) =	∫ ( yz + y)dx + (xz + x)dy + xydz + C =
	( x0 , yo , z0 )
x	y	z
= ∫( y0 z0 + y0 )dx + ∫		(xz0 + x)dy + ∫xydz + C.
x0	y0	z0

Очевидно, мы можем выбрать значения x0 = 0, y0 = 0, z0 = 0, так как в точке (0, 0,0) функции X (x, y, z) = ( yz + y), Y(x, y, z) = (xz + x), Z(x, y, z) = xy

и их частные производные непрерывны.

y z

Отсюда, u(x, y, z) = ∫xdy + ∫xydz +C = xy + xyz +C.

0 0

2.3.9. Ротор векторного поля

Пусть в пространственной области Ω заданы непрерывное векторное
JJJJJJG	G	G	G	замкнутая
поле F(M ) = X (x, y, z) i		+Y(x, y, z) j +Z(x, y, z) k и гладкая
				JG	G
кривая L, на которой определено направление обхода. Тогда				>∫F	dr =

L

>∫Xdx +Ydy + Zdz определяет циркуляцию векторного поля вдоль контура

L

102

L. Ненулевое значение циркуляции силового поля указывает на то, что это поле производит работу при перемещении материальной точки, возвращающейся в исходное положение. В этом случае говорят о вихревом характере силового поля. Чтобы охарактеризовать, в какой степени и где поле является вихревым, поступим следующим образом. Выберем

некоторый единичный вектор n(M ) , точку M	0	в области определения
JJJJJG		G

векторного поля F(M ) . В плоскости σ , перпендикулярной вектору n(M0 )

и проходящей через точку Мо, возьмем простой кусочно гладкий контур L, окружающий точку M0 и ограничивающий в плоскости область с

площадью S (рис. 2.3.15).

Рис.2.3.15

Предел отношения циркуляции векторного поля вдоль контура к площади,

	ограниченной этим контуром,		1		JJG G
				>∫
	ωnG (M0 ) =	Llim→M0			F dr
			S
				L	JJJJJJG

если он существует, называют завихренностью векторного поля F(M ) в

точке M0 в направлении вектора n . Оказывается, что завихренность

JJJJJG

векторного поля F(M ) в точке Мо в направлении единичного вектора n можно представитьG как проекцию некоторого вектора ωG; на направление

вектора n , то есть		G		1		JJG G
	JG				>∫
	(ω	n) =ωnG (M0 ) =	Llim→M0			F dr .
				S
JG					L
Вектор ω	называют ротором (иногда вихрем) векторного поля в точке
	JG

M0 и обозначают rotF(M ) . Поскольку завихренность векторного поля

JJJJJJG

F(M )	в точке	M0 по направлению n есть проекция на это направление
	JG

вектора rotF(M0 ) , наибольшее значение в точке M0 она достигает в

направлении, определяемом самим ротором векторного поля. Таким образом, можно сказать, что ротор векторного поля в точке M0 – это

вектор, в направлении которого завихренность поля в точке M0

максимальная, причем длина вектора равна этому максимальному значению.

103

Можно показать (см. например [1]), что

JJG G

JG

G

1

>∫

(rotF(M ) n)

=

Llim→M0

F dr

=

S

L

∂Z(x, y,z)

−∂Y(x, y,z)

−

∂Z(x, y,z)

∂Y(x, y,z)

−∂X(x, y,z)

cosα+ ∂X(x, y,z)

cosβ+

cosγ,

∂y

∂z

∂z

∂x

∂x

∂y

где

cosα, cos β, cosγ

– направляющие

косинусы

единичного

вектора

G

G

нормали n . Следовательно, ротор векторного поля rotF(M ) определяется равенством:

JG

∂Z(x, y,z)

∂Y(x, y,z) G

∂X(x, y,z)

∂Z(x, y,z) G

∂Y(x, y,z)

∂X(x, y,z) G

rotF(M) =

−

i

+

−

j

+

−

k.

∂y

∂z

∂z

∂x

∂x

∂y

G

G

G

Если векторное поле плоское и задано функцией F(M) =

X(x, y) i

+Y(x, y) j,

то ротор этого векторного поля будет иметь вид

JG

∂Y(x, y, z) − ∂X (x, y, z)

G

rotF(M ) =

k.

∂x

∂y

Понятиям циркуляции и ротора можно дать гидродинамическую

интерпретацию.

Рассмотрим векторное поле v(M ) скоростей частиц жидкости,

заданное в некоторой пространственной области Ω. Поместим мысленно в точку M0 Ω центр тонкого плоского диска турбинки, лопасти которой

расположены по ее ободу, представляющему собой окружность L радиуса

R (рис.2.3.16).

Рис.2.3.16

Предположим, что погружение турбинки в жидкость не изменяет поля скоростей и при воздействии частиц жидкости на лопасти турбинка может вращаться без трения относительно своей оси. В каждой точкеG M L действие жидкости наGлопасти определяется проекцией вектора v(M ) на

направление вектора dr(M ) , касательного к L в этой точке, т.е. значением

104

G G

v(M ) dr(M ) . Суммарное воздействие жидкости на турбинку при

бесконечно большом числе лопастей будет пропорционально интегралу
>∫	JG	G
	F	dr , то есть циркуляции поля скоростей жидкости по контуру L.

L

Предположим, что турбинка имеет малые размеры, то есть величина R мала. В этом случае угловая скорость турбинки будет характеризовать завихренность поля скоростей жидкости в точке M0 в направлении оси

турбинки. Изменяя направление оси, можно найти такое ее направление, при котором угловая скорость вращения турбинки будет нибольшейG . Это

направление совпадает с направлением ротора поля скоростей rot v(M0 ) в

точке M0 , а	угловая скорость вращения турбинки при этом
	G
пропорциональна	rot v(M0 )	.

2.3.10. Оператор Гамильтона. Простейшие векторные поля

	Рассмотрим символический векторный дифференциальный оператор
	JG	∂	G	∂	G	∂		G
	=		i +		j +		k		(2.37)
		∂x		∂y		∂z
	который ввел В.Р. Гамильтон, придумавший для него и символ V в виде
	перевернутой греческой буквы Д (дельта),							однако позже ученые	стали

называть этот символ словом „набла" , а символический оператор (2.37)

получил название оператора Гамильтона, или оператора набла.

Пусть скалярное	поле u(M ), M Ω,		представлено дифференцируемой
функцией u(x, y, z) , а		векторное	поле –	вектор		функцией
JJJJJJG	G	G	G	где		координаты
F(M ) = X (x, y, z)	i +Y(x, y, z) j +Z(x, y, z) k ,
X (x, y, z),Y(x, y, z), Z(x, y, z)		являются дифференцируемыми функциями.
				JG
Введем следующие правила операций с символом , совокупность
	JG			JG	JJG JG		JJG	JG
которых часто называют		- исчислением. В выражениях u,				F,	× F
	JG	умножается	на скаляр	u или	вектор		JG	по
символический вектор							F

правилам умножения вектора на скаляр (вектора на число), скалярного умножения векторов и векторного умножения векторов соответственно.

При этом под произведением координаты ∂∂x – символического вектора G

на скалярную функцию u(x, y, z) следует понимать вычисление частной производной скалярной функции по переменному x . То же самое касается

и остальных координат символического вектора. Таким образом,
JG	∂u	G	+	∂u	G	∂u	G	JJJJJG	(2.38)
u =	∂x	i		∂y	j +	∂z	k	= gradu,

105

то есть умножение оператора Гамильтона справа на скалярное поле дает градиент этого поля. Скалярное произведение оператора Гамильтона на векторное поле дает дивергенцию этого векторного поля:

JG JG	=	∂X	+	∂Y	+	∂Z	JG	(2.39)
F		∂x		∂y		∂z	= divF.

Наконец, векторное произведение оператора Гамильтона на векторное поле дает ротор этого векторногоG GполяG:

JJG JG		i		j		k	JG
		∂		∂		∂
× F	=						= rotF(M ).	(2.40)
		∂x		∂y		∂z
		X		Y		Z

Мы видим, что оператор Гамильтона позволяет в простой форме представить основные дифференциальные операции векторного анализа – градиент, дивергенцию и ротор. В основе этих представлений лежат операции векторной алгебры и интерпретация применения линейного дифференциального оператора к функции как умножение оператора на эту функцию справа.

Выпишем некоторые свойства оператора Гамильтона.

Будем считать, что u(x, y, z) и v(x, y, z) – дифференцируемые скалярные

поля, а

G

G

G

JJJJJJJG

G

G

G

JJJJJJG

F1(M) =X(x, y,z) i+Y(x, y,z) j+Z(x, y,z) k, F2(M) =X(x, y,z) i+Y(x, y,z) j

+Z(x, y,z) k

– дифференцируемые векторные поля.

1). Для произвольных действительных чисел α и β

JG JJG

JG

JG

JG

G

JJG

JJG

JG JJG

(αu + βv) =α u + β v , (αF1

+ βF2v) =α F1

+ β

F2 ,

JG

JJG

JJG

JG

JJG

JG

JJG

×(αF1

+

βF2v) =α × F1

+ β × F2 .

2). Для произвольных скалярных полей u, v , v и векторного

JG

верны равенства

поля F

JG JG

JG

JG

G

JG

JJG JG

JG

JG

JG

JG

JG

JG JG

(uv) = u v + v u , (uF) =u F

+F

u, ×(uF)

=u( ×F)

− F

× u.

Эти равенства вытекают из свойств скалярного и векторного произведений и правила дифференцирования произведения функций.

Простейшие векторные поля 1) Потенциальное поле

Дифференцируемое векторное поле			G
JJJJJJG	G	G
F(M ) = X (x, y, z) i		+Y(x, y, z) j +Z(x, y, z) k , заданное в

пространственной области Ω, называют безвихревым векторным

полем, если в любой точке этой области его ротор равен нулю , то есть

JG

rotF(M ) = 0, M Ω. .

106

JJJJJJG

Векторное поле F(M ) , заданное в пространственной области Ω, называют потенциальным, если оно является градиентом некоторого

скалярного поля u(M ) = u(x, y, z) , то есть

JJJJJG JJJJJG

F(M ) = gradu(M ) .

При этом скалярное поле u(M ) = u(x, y, z) называют (скалярным)

JJJJJG

потенциалом векторного поля F(M ) .

На основании теоремы 2.5., для односвязной области Ω понятия потенциального векторного поля и безвихревого эквивалентны, то есть верна

Теорема 2.6. Пусть Ω – односвязная область в пространстве и функции

X (x, y, z), Y(x, y, z), Z(x, y, z) непрерывно дифференцируемы в Ω, тогда
		JJJJJG	G	G	G
векторное	поле	F(M ) = X (x, y, z) iG+Y(x, y, z) j +Z(x, y, z) k
потенциально тогда и только тогда, когда rotF(M ) = 0, M Ω. .					JJJJJJG
Замечание 1. Отметим, что для потенциального векторного поля					F(M ) ,

заданного в области Ω, скалярный потенциал u(M ) = u(x, y, z) определен

в области Ω c точностью до постоянного слагаемого. Действительно, вычисление потенциала векторного поля, согласно теореме 2.5, сводится к задаче восстановления функции по ее дифференциалу, а такая задача может быть решена с точностью до произвольной постоянной (см. пример

2.10).

Замечание 2. На основании теоремы 2.5. можно охарактеризовать потенциальное поле и тем, что циркуляция по простому замкнутому контуру всегда будет нулем, а криволинейный интеграл по кривой, соединяющий любые две точки, оказывается не зависящим от формы

кривой. Чтобы найти потенциал u(M ) = u(x, y, z) заданного в области Ω

JJJJJG

векторного поля F(M ) , можно выбрать некоторую фиксированную точку M0 (x0 , y0 , z0 ) Ω и вычислить криволинейный интеграл вдоль произвольной кривой в Ω, соединяющего точки M0 (x0 , y0 , z0 ) и M (x, y, z) .

То есть

M JG G u(M ) = u(M0 ) + ∫ F dr,

M0

где u(M0 ) – произвольная постоянная (см. пример 2.10). .

Замечание 3. У непрерывного потенциального поля в односвязной области Ω нет замкнутых векторных линий.

107

2) Соленоидальное поле
Дифференцируемое векторное поле			G
JJJJJJG	G	G
F(M ) = X (x, y, z) i		+Y(x, y, z) j +Z(x, y, z) k , заданное в

пространственной области Ω, называют соленоидалъным, или

трубчатым

G

JJJJJJG

если существует векторная величина Α(M ) , для которой F(M ) служит

вихрем:

JG

Вектор Α(M) называют

JJJJJG JG

F(M ) = rotΑ(M ) .	JJJJJJG
векторным потенциалом векторного поля F(M ) .

Верна следующая теорема.

Теорема 2.7. Для того, чтобы дифференцируемое векторное поле
JJJJJJG	G	G	G	заданное	в
F(M ) = X (x, y, z) i		+Y(x, y, z) j +Z(x, y, z) k ,

пространственной области Ω, было соленоидальным, необходимо и достаточно, JGчтобы во всей рассматриваемой области выполнялось

равенство divF(M ) = 0.

Термин „соленоидальное поле" принадлежит У. Томсону. Примером такого поля является магнитное поле, возникающее при прохождении электрического тока через катушку индуктивности (катушку индуктивности обычно называют соленоидом). Также соленоидальными являются векторное поле скоростей твердого тела, вращающегося относительно некоторой оси с постоянной угловой скоростью, и центральное силовое поле, создаваемое помещенной в его центре материальной точкой или точечным электрическим зарядом.

Замечание 1. На основании формулы Остроградского-Гаусса (замечание
	JG		JJJJJJG
3.), условие divF(M ) = 0 , характеризующее соленоидальное поле			F(M ) ,
		JJJJJJG
равносильно требованию, чтобы поток векторного поля F(M ) через
любую замкнутую (и ограничивающую некоторое тело Ω) поверхность Q
был равен нулю.		область V внутри векторной
Замечание	2. Рассмотрим		трубки
	JJJJJJG
соленоидального поля F(M ) между двумя ее произвольными
поперечными	сечениямиS1 и	S2 (рис.2.3.17), которые могут быть не
обязательно плоскими.

108

Рис.2.3.17

JJJJJG

Для потока векторного поля F(M ) через границу S = S0 S1 S2 области

V (рис.2.3.17 ) получаем (формула 2.21)				JG
	JG	G
∫∫(F(M ) n(M ))dq = ∫∫∫divF(M )dxdydz = 0.
S		V
В каждой точке M	боковой поверхностиS		0	области V	единичный вектор
G					JJJJJJG

нормали n(M ) к поверхности перпендикулярен вектору F(M ) , то есть
JJJJJJG	G
F(M )	n(M ) = 0, M S0 .	Поэтому поток векторного поля через боковую
поверхность S0 равен нулю, и для сечений S1 и S2 векторной трубки
имеем	JG	G	JG	G
	∫∫(F(M ) n(M ))dq = ∫∫(F(M ) n(M ))dq,
	S1		S2
где векторы нормали на поверхностях S1 и S2				выбраны по направлению

векторного поля, то есть на одной из этих поверхностей нормаль по отношению к области V внешняя, а на другой – внутренняя.

Таким образом, мы получаем следующее свойство соленоидального поля:

Поток векторного поля через поперечные сечения векторной трубки сохраняет постоянную величину; ее называют интенсивностью

векторной трубки.

В соленоидальном поле нет источников ни положительной, ни отрицательной интенсивности.

Замечание 3. Как мы выяснили, поток соленоидального поля

JJJJJJG

F(M ), M Ω,

через любое сечение векторной трубки постоянен. Поэтому векторные трубки непрерывного соленоидального поля, поток в которых отличен от нуля, не могут начинаться или обрываться внутри области Ω. В самом деле, если бы векторная трубка начиналась или заканчивалась в точке

M Ω, то есть площадь ее поперечного сечения обращалась бы в нуль, то

JJJJJG

в этой точке модуль вектора F(M ) стремился бы к бесконечности, что

109

противоречит условию непрерывности поля. Это условие будет нарушено и в случае, если векторная трубка начинается или заканчивается внутри области и ее торец имеет конечную площадь. Следовательно, векторные трубки такого поля либо замкнуты, либо выходят на границы области.

3)Гармоническое (лапласово) поле

Вприкладных задачах большую роль играют векторные поля,

которые являются одновременно потенциальными и соленоидальными. Такие поля не имеют ни вихрей, ни источников, и их называют

лапласовыми или гармоническими векторными полями.

JJJJJG JJJJJG

Так как, согласно условию потенциальности поля, F(M ) = gradu(M ) , а

G

в силу условия его соленоидальности divF(M ) = 0 , для потенциала u(M )

лапласова векторного поля получаем уравнение

JJJJG divgradu(M ) = 0.

Или, на основании свойств оператора Гамильтона (формулы (2.38), (2.39)),

JJJJJG

JG JG

2

u

2

u

2

u

divgradu(M ) = u(M ) = ∆u =

∂

+

∂

+

∂

= 0,

(2.41)

∂x2

∂y2

∂z2

где ∆u =

∂2u

+

∂2u

+

∂2u

носит название оператора Лапласа. Уравнение

∂x2

∂y2

∂z2

(2.41) называют уравнением Лапласа, его решения – гармоническими функциями.

Уравнение Лапласа в 1761 г. изучали Л. Эйлер и Ж.Л. Даламбер применительно к задачам гидромеханики, а в 1782 г. его использовал П.С. Лаплас при построении теории гравитационного потенциала. Оно является одним из основных уравнений математической физики. Примером лапласова поля является центральное силовое поле, создаваемое помещенной в его центре материальной точкой или точечным электрическим зарядом, поскольку оно одновременно и потенциально, и соленоидально.

4) Разложение произвольного векторного поля

Покажем теперь, что в односвязной области Ω произвольное векторное
JJJJJJG	всегда	может	быть		представлено		в	виде	суммы
F(M ), M Ω
			JJJJJG					JJJJJJJG
потенциального векторного поля F1 (M ) и соленоидального поля F2 (M ) :
		JJJJJJG	JJJJJJG		JJJJJJJG
JJG		F(M ) = F1 (M )		+ F2 (M ), M Ω. .JG					— поле
Здесь rotF1 (M ) = 0 , так		как поле потенциально;				divF2	(M ) = 0
						JJJJJG
соленоидально.	С другой стороны, так как поле					F1 (M )		потенциально,

110