III-2
.pdf11.Запишите первые пять ненулевых слагаемых в разложении функции y = 3 x2 + 4x +12 в ряд Тейлора в точке x0 = −2 .
12.С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд вычислите приближенно интеграл с точностью до 0,001, взяв необходимое число слагаемых:
1 x −sin x
∫0 x3 dx .
13. Найдите несколько первых членов разложения в степенной ряд (до третьей степени включительно) решения данного дифференциального уравнения при указанных начальных условиях:
′ |
= x |
2 |
y |
2 |
−1; y(0) |
=1. |
y |
|
|
14. Разложите в ряд Фурье функцию f (x) = cos αx при −π< x < π (α
– не целое).
15. Разложите в ряд Фурье функцию, периодически продолженную с интервала (−1; 1), на котором она задана графиком. Постройте график
суммы этого ряда на отрезке [−3; 3].
В а р и а н т 11
Исследуйте на сходимость ряды. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
∞ |
2sin n arctg 5 n2 +9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
n2 3n |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||
1. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
2. |
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
n |
+4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n(n +2)! |
|
n |
|
|||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||
|
∞ |
32n |
5 −3n |
|
3n2 +n−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5 |
n+1 |
|
−3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
n=1 |
|
|
2 |
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(n |
2 |
+1)ln(n |
2 |
|
+1)(1 |
+ln |
2 |
ln(1+n |
2 |
)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
(−1) |
n 9 |
n |
7 |
arctg |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
(−1) |
n |
7sin |
πn |
− |
π |
||||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
5. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
+8 |
|
. 6. |
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
3 |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
+3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
4 |
|
+2n |
|
|
|
|
|||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
7. |
Вычислите сумму ряда с точностью α = 0,001: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑(−3)n |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
((2n)!) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Укажите наименьшее количество слагаемых, необходимое для этого. 8. Найдите область сходимости функционального ряда
∞ |
|
4x +3 |
|
n+2 |
||
∑( 2n +2 − |
|
|
||||
2n −2) |
|
|
|
. |
||
|
−x |
|||||
n=1 |
|
1 |
|
|
Исследуйте его на сходимость в граничных точках его области сходимости.
9. Используя разложения функций в степенные ряды, вычислите предел
lim |
|
e2x3 |
−2sin |
(x3 )−1 |
|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|||
x→0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
||||
|
x arcsin 2x −2x |
1 + |
4x |
|
+ |
|
|
x |
|
|
|
||||
|
|
3 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
10. Вычислите тринадцатую производную в нуле |
|
|
|
||||||||||||
|
3 |
1 +3x3 − |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
, |
x ≠ 0, |
|
|
|
|
||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0, |
|
|
x = 0. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11.Запишите первые пять ненулевых слагаемых в разложении функции y = cos(x2 −8x +14) в ряд Тейлора в точке x0 = 4 .
12.С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд вычислите приближенно интеграл с точностью до 0,001, взяв необходимое число слагаемых:
0,5 x −arctgx
∫0 x3 dx .
13. Найдите несколько первых членов разложения в степенной ряд (до третьей степени включительно) решения данного дифференциального уравнения при указанных начальных условиях:
′ |
=1+ x + x |
2 |
−2y |
2 |
; |
y(1) =1. |
|
|
|
||
y |
|
|
|
|
|
||||||
14. Разложите в ряд |
Фурье функцию |
f (x) = |
π2 |
− |
x2 |
в интервале |
|||||
12 |
4 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−π; π) .
15. Разложите в ряд Фурье функцию, периодически продолженную с интервала (−1; 1), на котором она задана графиком. Постройте график
суммы этого ряда на отрезке [−3; 3].
В а р и а н т 12
Исследуйте на сходимость ряды. |
|
|
|
|
|
|
nn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
n cos2 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
1. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
2. |
|
∑ |
|
|
tg |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||
(n |
3 |
+5)arctg(n |
2 |
+ n +1) |
|
|
(n!) |
2 |
|
n |
+ |
4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
6n +5 |
|
3n2 −2n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
arctg2 (ln(3n +1)) |
|
|
|
||||||||||||||||||||
3. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
4. |
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||
4 |
2n |
−5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1+ln |
2 |
(3n |
+1))(3n + |
1) |
||||||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
6n −7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
(−1) |
n |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
||||||||
|
∞ |
|
|
arcsin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
(−1) |
|
|
|
|
cos |
3n |
+ |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
3 |
n |
2 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
5. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
6. |
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5n − |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
4 |
|
+7n |
2 |
−n |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
7. |
Вычислите сумму ряда с точностью α = 0,01: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
2 |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
− |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Укажите наименьшее количество слагаемых, необходимое для этого. 8. Найдите область сходимости функционального ряда
∞ |
|
|
x −3 |
n−2 |
|
∑( 3n +1 − |
|
|
|||
3n −1) |
|
|
. |
||
|
|||||
n=1 |
|
|
2 −4x |
|
Исследуйте его на сходимость в граничных точках его области сходимости.
9. Используя разложения функций в степенные ряды, вычислите предел
lim |
6ex2 |
+3cos(2x) −9 −5x |
4 |
|
. |
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
x→0 x arcsin(2x) + |
ln(1 −6x2 ) + |
|
14 |
x4 |
||||||
|
3 |
|||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||
10. Вычислите двенадцатую производную в нуле |
||||||||||
|
arctg(2x) |
, |
x ≠ 0, |
|
|
|
|
|||
|
y = |
x |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2, |
|
|
x = 0. |
|
|
|
|
11.Запишите первые пять ненулевых слагаемых в разложении функции y = e2x2 +4x в ряд Тейлора в точке x0 = −1.
12.С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд вычислите приближенно интеграл с точностью до 0,001, взяв необходимое число слагаемых.
∫1 exx3 dx .
0
13. Найдите несколько первых членов разложения в степенной ряд
(до |
третьей |
степени |
включительно) |
решения |
данного |
|||
дифференциального уравнения при указанных начальных условиях: |
||||||||
|
|
|
y′= xy2 −1; |
y(0) =1. |
|
|
||
14. Разложите в ряд Фурье в интервале (−π; π) |
функцию |
|
||||||
|
|
− π+ x , |
при |
−π< x < 0, |
|
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π−x |
, |
при |
0 < x < π. |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
15. Разложите в ряд Фурье функцию, периодически продолженную с интервала (−1; 1), на котором она задана графиком. Постройте график
суммы этого ряда на отрезке [−3; 3].
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В а р и а н т |
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Исследуйте на сходимость ряды. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
∞ |
n2 (3 +cos πn)arctg 4 n3 +2 |
|
∞ |
|
|
72n |
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||||||||||||
1. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 2. |
∑ |
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
n |
+4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n |
−1)! |
7 |
2n |
|||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
2πn |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−n2 −2n−8 |
||||||||
|
∞ |
(−1) |
n 1 |
3sin |
3 |
+ |
4 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
3 |
n+2 |
2n |
+5 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
4. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||
|
|
n |
2 |
+10n +2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−4 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=3 |
|
5 |
|
2n |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6n −5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(3n |
2 |
− |
5n +9)(1+ln |
2 |
(3n |
2 |
−5n +9)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
(−1) |
n 8 |
|
|
5 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∞ |
|
n |
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
6. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 n +5 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
n |
2 |
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n=3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. Вычислите сумму ряда с точностью α = 0,0001:
∑∞ (−1)n n .
n=1 7n
Укажите наименьшее количество слагаемых, необходимое для этого. 8. Найдите область сходимости функционального ряда
∞ |
|
5x |
+2 |
n+1 |
∑( 4n +1 − |
|
|||
4n −2 ) |
|
. |
||
n=1 |
2x |
+3 |
|
Исследуйте его на сходимость в граничных точках его области сходимости.
9. Используя разложения функций в степенные ряды, вычислите предел
|
ln(1 − x2 ) + |
1 |
arctg(2x2 ) + |
1 |
x4 |
|
|
lim |
2 |
2 |
. |
||||
|
|
|
|||||
2 3 1 +3x2 −2ex2 +3x4 |
|
|
|||||
x→0 |
|
|
|
10. Вычислите одиннадцатую производную в нуле
|
2x |
−1 |
−2x |
|
|
|
|
e |
|
, |
x ≠ 0, |
||
|
|
x2 |
|
|||
y = |
|
|
|
|
||
|
|
2, |
|
x = 0. |
||
|
|
|
11.Запишите первые пять ненулевых слагаемых в разложении функции y =sin(x2 +8x +18) в ряд Тейлора в точке x0 = −4 .
12.С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд вычислите приближенно интеграл с точностью до 0,001, взяв необходимое число слагаемых:
0,5 cos x −1
∫0 x2 dx .
13. Найдите несколько первых членов разложения в степенной ряд (до третьей степени включительно) решения данного дифференциального уравнения при указанных начальных условиях:
|
|
′ |
2xy |
+ y; y(0) |
= 0 . |
|
|
y = e |
|
||
14. |
Разложите функцию |
f (x) =sin x в |
интервале (0; π) в ряд |
||
косинусов. |
|
|
|
|
|
15. |
Разложите в ряд Фурье функцию, периодически продолженную с |
||||
интервала |
(−1; 1), на котором она задана графиком. Постройте график |
суммы этого ряда на отрезке [−3; 3].
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В а р и а н т |
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Исследуйте на сходимость ряды. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3π |
|
πn |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1) |
n |
|
|
|
+ |
|
|||||||
|
∞ |
(n |
2 |
+3)arctg n |
3 |
+4n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
4cos |
2 |
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
1. |
∑ |
|
|
|
|
. |
|
|
2. |
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
(2 +cos πn) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
9n 2 |
+n 2 −2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
(−1) |
n 8 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
n |
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
n |
|
|
9n +5 |
|
n2 |
−4n+2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
3. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n +9 |
. |
4. |
|
|
∑ |
3 |
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
+8 |
|
|
|
|
|
|
7 |
n+4 |
9n |
−2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
(1 +ln |
2 |
(2n |
2 |
|
+3))(2n |
2 |
+3)arctg |
3 |
(ln(2n |
2 |
+ |
3)) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∞ |
(n!)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6. |
∑ |
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(3n)! |
|
|
|
|
4 |
+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
7. |
Вычислите сумму ряда с точностью α = 0,0001: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
2 |
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
− |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Укажите наименьшее количество слагаемых, необходимое для этого. 8. Найдите область сходимости функционального ряда
∞ |
|
2x |
−1 |
|
n−3 |
∑( n +4 − |
|
||||
n −2 ) |
|
−2 |
. |
||
n=2 |
5x |
|
|
Исследуйте его на сходимость в граничных точках его области сходимости.
9. Используя разложения функций в степенные ряды, вычислите предел
|
cos x + x arctg |
x |
−1 |
||
|
|
||||
lim |
2 |
|
|
. |
|
arcsin(x2 ) −x2ex |
4 |
||||
x→0 |
|
|
10. Вычислите десятую производную в нуле от функции
sin x −x + |
x3 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
6 |
|
, |
x ≠ 0, |
y = |
|
|
|
|||
x |
4 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
x = 0. |
|
|
0, |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
11.Запишите первые пять ненулевых слагаемых в разложении функции y = ln(x2 −4x +8) в ряд Тейлора в точке x0 = 2 .
12.С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд вычислите приближенно интеграл с точностью до 0,001, взяв необходимое число слагаемых:
0,8 sin x −x
∫0 x3 dx .
13. Найдите несколько первых членов разложения в степенной ряд (до четвертой степени включительно) решения данного дифференциального уравнения при указанных начальных условиях:
′′ |
+ xy |
2 |
= 0; |
′ |
= 0 . |
y |
|
y(0) =1; y (0) |
14.Разложите функцию f (x) = 2x в интервале (0; 1) в ряд синусов.
15.Разложите в ряд Фурье функцию, периодически продолженную с интервала (−1; 1), на котором она задана графиком. Постройте график
суммы этого ряда на отрезке [−3; 3].
В а р и а н т 15
Исследуйте на сходимость ряды. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ |
(−1) |
n |
|
|
|
|
|
|
|||
1. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
π . |
|
|
|
|
|||||||||
|
4 n3 arctg n +1 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
∞ |
|
n! |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
4n |
|||||||
2. |
∑ |
|
|
arcsin |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
3. |
|
|
∑ |
|
|
|
|||||||
n |
n−1 |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
n |
+3 |
||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
3 |
|
|
|||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
(2n |
3 |
+1)ln(2n |
3 |
|
+1)(1+ln |
2 |
ln(2n |
3 |
+1)) |
|
|
||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2n +3 −2n2 +5n+4 |
. |
|
|
−2n −3 |
|
|
|
|
|
|
|
(−1) |
n 7 |
|
5 |
|
1 |
|
|
|
|
n+1 |
|
πn |
|
π |
|||||
|
∞ |
|
n |
|
tg |
|
|
|
|
∞ (−1) |
|
2sin |
|
+ |
5 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
5. |
∑ |
|
|
|
|
4 |
n −3 |
. |
6. |
∑ |
|
|
|
|
6 |
|
|
. |
|||
|
|
16 −n |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
||||||||||
|
n=1000 |
|
|
|
|
|
n=1 |
|
7n 2 |
+2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7. |
Вычислите сумму ряда с точностью α = 0,001: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
∑(−1)n−1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
(2n)! |
|
|
|
|
|
|
|
Укажите наименьшее количество слагаемых, необходимое для этого. 8. Найдите область сходимости функционального ряда
∞ |
|
5x +3 |
n−1 |
∑( 2n +5 − |
|
||
2n −5 ) |
. |
||
n=3 |
|
3 −2x |
|
Исследуйте его на сходимость в граничных точках его области сходимости.
9. Используя разложения функций в степенные ряды, вычислите предел
|
e−x2 + x sin x −e |
x4 |
|
|
||
lim |
3 |
|
|
. |
||
|
|
x4 |
|
|||
x→0 |
1 −x2 −cos x + |
|
|
|||
|
|
|
|
|||
|
6 |
|
|
10. Вычислите двенадцатую производную в нуле
arctg(2x) |
, |
x ≠ 0, |
|
|
x |
||
y = |
|
|
|
|
2, |
|
x = 0. |
|
|