umk_po_TW

Случайная величина называется непрерывной, если она может принимать любые значения внутри некоторого интервала, который иногда имеет резко выраженные границы, а если они не известны, то считают, что значения случайной величины Х лежат в интервале (-∞; ∞). К непрерывным случайным величинам относятся, например, температура, давление, вес и рост людей и т.п.

Закон распределения дискретной случайной величины

Чтобы дать полную характеристику дискретной случайной величины необходимо указать все ее возможные значения и их вероятности.

Соответствие между возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями называется законом распределения этой величины.

Обозначим возможные значения случайной величины Х через xi , а соответствующие им вероятности через pi . Тогда закон распределения дискретной случайной величины

можно задать тремя способами: в виде таблицы, графика или формулы.

1. В таблице, которая называется рядом распределения, перечисляются все возможные значения дискретной случайной величины Х и соответствующие этим значениям вероятности Р(Х):

xi	x1	x2	…	xn
pi	p1	p2	…	pn

При этом сумма всех вероятностей pi должна быть равна единице (условие нормировки):

n

∑ pi = p1 + p2 + .... + pn = 1

i=1

2. Графически – в виде ломаной линии, которую принято называть многоугольником распределения. Здесь по горизонтальной оси откладывают все возможные значения случайной величины xi , а по вертикальной оси – соот-

ветствующие им вероятности pi .

3. Аналитически - в виде функции:

F (x) = P( X < x) = ∑P( X = xi )

xi < x

Пример 1. В партии из 6 деталей имеется 4 бракованных. Из партии наугад выбирают 2 детали. Составьте закон распределения дискретной случайной величины Х – числа бракованных деталей среди отобранных.

Решение. В ходе испытания могут получиться следующие комбинации:

1)0 бракованных и 2 стандартные детали;

2)1 бракованная и 1 стандартная детали;

3)2 бракованных и 0 стандартных детали.

Следовательно, возможные значения Х: x1 = 0; x2 = 1; x3 = 2. Найдём соответствующие вероятности возможных значений:

P = P( x = 0) =				С40 C22					=		1		.	P = P(x		= 1) =	C41 C21	=	8	.
1	1				C 2				15					2	2		C 2	15
					6											6
			C 2		С	0			6
P = P(x		= 2) =	4			2	=
				C 2
3	3								15
					6

Следовательно, данная величина Х имеет закон распределения:

Х				0							1			2
Р						1						8			6
				15							15			15
Проверка:			1	+	8		+		6	= 1 .
		15		15				15

21

Закон распределения непрерывной случайной величины. Плотность распределения вероятности.

Для непрерывных случайных величин невозможно применить закон распределения в формах, приведенных выше, т.к. непрерывная величина имеет бесчисленное («несчетное») множество возможных значений, сплошь заполняющих некоторый интервал. Поэтому составить таблицу, в которой были бы перечислены все ее возможные значения, или построить многоугольник распределения нельзя.

Рассмотрим непрерывную случайную величину Х, возможные значения которой сплошь заполняют некоторый интервал (а, b). Закон распределения вероятностей такой величины может быть задан в виде функции распределения.

Функцией распределения случайной величины X называется вероятность события, состоящего в том, что случайная величина X примет значение меньшее x:

F ( X ) = P( X < x)

Функция f (x) – производная функции распределения

f (x) = F ′(x)

(1.1)

– характеризует как бы плотность, с которой распределяются значения случайной величины в данной точке. Эта функция называется плотностью распределения (иначе – «плотность вероятности») непрерывной случайной величины X.

Формула (1.1) выражает плотность распределения через функцию распределения. Зададимся обратной задачей: выразим функцию распределения через плотность.

x
F ( x) = ∫ f (t )dt .	(1.2)

−∞

Кривая f (x)	при этом называется кривой распределения.
Именно задание функции f (x) полностью определяет закон распределения для не-
прерывных случайных величин Х.
Для плотности распределения вероятности f (x)		должно выполняться условие нор-
мировки в виде:
	b
	∫ f ( x)dx = 1	(1.3)
	a
– если известно, что все значения Х лежат в интервале (а, b),
	+∞
или в виде:	∫ f ( x)dx = 1	(1.4)

−∞

– если границы интервала для значений Х точно неизвестны. Условия нормировки плотности вероятности (1.3) или (1.4) являются следствием того, что значения случайной величины Х достоверно лежат в пределах (а, b) или (-∞, +∞).

Вероятность того, что случайная величина X примет значение из отрезка (α ; β ) вычисляется по формуле

P(α ≤ X ≤ β ) = F (β ) − F (α )	(1.5)
β
или P(α ≤ X ≤ β ) = ∫ f ( x)dx	(1.6)
α

22

Пример 2. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью вероятностей:

	0, при x ≤ 0
		2
	f (x) = c		x, при 0	< x < 3
		9

0, при x ≥ 3

Найдите: а) постоянный параметр c ; б) функцию распределения F ( x) ; в) вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из интервала (0;1) .

Решение. а) Так как все возможные значения данной случайной величины Х принадлежат интервалу (0;3) , то используя условие нормировки (1.3), найдём

3

∫c 92

0

	2		x	2				1	c (9 − 0) = c 1 . Следовательно,
xdx = c						|3	=			c = 1 .
	9		2			0	9

		0, при x ≤ 0
			2
	Т.о., плотность вероятностей имеет вид				< x < 3 .
		f (x) =		x, при 0
			9
		0, при x ≥			3

б) Для нахождения функции распределения F ( x) воспользуемся формулой (1.2).

x

Если x ≤ 0 , получаем F (x) = ∫0dt = 0 .

							−∞
									x						0						x	2							2 t 2									x			2 x 2				x 2
Если 0 < x < 3 , находим F (x) =									∫	f (t)dt =					∫		0dt +			∫																		0	=
																									tdt =												|							=	.
									−∞						−∞					0 9									9 2												9 2				9
Если x ≥ 3 , то
	x	0		3	2				x				2			2			3	2					3	2				2				0
F ( x) = ∫		f (t )dt = ∫0dt + ∫					tdt + ∫							t																										Т.о., искомая ин-
										0dt =									|0 =									−								= 1
−∞			−∞	0	9				3				9		2					9					2					9				2
тегральная функция распределения F (x) имеет вид:
0, при x ≤ 0
x 2
F (x) =			, при 0 < x < 3
9
1, при x ≥ 3
в) Вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из интервала
(1;2) по формуле (1.5), равна
					12						1
										=		.
P(0 < x < 1) = F (1) − F (0) =								− 0
							9				9

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

1.Стрелок производит три выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,4. За каждое попадание стрелку засчитывается 5 очков. Построить ряд распределения числа выбитых очков.

2.Производится три независимых выстрела по мишени; вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,7. Построить ряд распределения случайной величины X – числа попаданий.

3.В коробке 7 карандашей, из которых 4 красные. Из этой коробки наугад вынимают 3 карандаша. Найти закон распределения дискретной случайной величины Х, равной числу красных карандашей в выборке.

4.В партии из 8 деталей имеется 4 бракованных. Из партии наугад выбирают 3 детали. Составьте закон распределения дискретной случайной величины Х – числа бракованных деталей среди отобранных.

5.Дискретная случайная величина X имеет закон распределения:

xi 0 0,2 0,4 0,6 0,8

23

	pi	0,15		0,2	0,3			p4		0,15
Чему равна вероятность p4									= P( X = 0,6) ? Постройте многоугольник распределения.
6. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения:
	xi	1	2		3			4			5
	pi	p1	0,15		0,30			0,25			p5
Найдите вероятность p1								= P( X = 1) и p5 = P( X = 5) , если известно, что p5 в 2 раза

больше p1 .

7. Закон распределения дискретной случайной величины задан следующей таблицей:

xi	0	1	2	3
pi	0,2	0,4	0,3	0,1

Найдите функцию распределения этой случайной величины и постройте ее график.

8. Два стрелка делают по одному выстрелу в одну мишень. Вероятность попадания для первого стрелка при одном выстреле p1 = 0,5 , для второго – p2 = 0,4 . Дискретная слу-

чайная величина Х – число попаданий в мишень. Найти функцию распределения этой случайной величины. Найти вероятность события X ≥ 1.

						0,					при x ≤ −1
9.	Случайная величина Х задана интегральной функцией						3			3				1 .
						F (x) =		x	+		, при −1 < x ≤
							4			4				3
											при x >	1
						1,
												3
	Найти а) дифференциальную функцию распределения; б) вероятность того, что слу-
				1
чайная величина Х примет значение в интервале 0;					.
				3
10.	Плотность вероятности случайной величины Х задана функцией
	0		при x ≤ 0
	x		при 0 < x ≤ 2 .
	f (x) =
	2
	0		при x > 2

Найти вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение из интервала (1; 2).

11. Найти функцию распределения F (x) случайной величины Х, плотность вероятности которой определена функцией

0		при	x ≤ 0 и x > 2
			0 < x ≤ 1
f (x) = x		при
	− x	при 1 < x ≤ 2
2

	0	при x ≤ 0
12. Случайная величина Х задана интегральной функцией		при 0 < x ≤ 1 .
	F ( x) = x 2
		при x > 1
	1

Найти: а) дифференциальную функцию распределения; б) вероятность того, что

	1
случайная величина Х примет значение в интервале 0;		.
	2

13. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью вероятностей:

	0, при x ≤ 0
		3
			x 2 , при 0
	f (x) = c			< x < 2
		8

0, при x ≥ 2

24

Найдите: а) постоянный параметр c ; б) функцию распределения F (x) ; в) вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из интервала (0;1)

14. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью вероятностей:

0, при x ≤ 0

f (x) = c(2x − 1), при 0 < x < 2

0, при x ≥ 2

Найдите: а) постоянный параметр c ;б) функцию распределения F (x) ; в) вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из интервала (0,5; 1) .

Ответы: 1. 2. 3. 4.					5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.
	Домашнее задание.
1.	В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Из этой партии наудачу взято 2 де-
тали. Найти функцию распределения дискретной случайной величины, равной числу
стандартных деталей в выборке.
2.	Заполните пустую клетку ряда распределения случайной величины Х и найдите
функцию распределения данной случайной величины.
	xi	-2	3		7			9
	pi	0,1	0,2		0,1
3.	Закон распределения дискретной случайной величины задан следующей таблицей:
	xi	6	8			12		15
	pi	0,1	0,15			0,5		0,25

Найдите функцию распределения этой случайной величины и постройте ее график. Найдите вероятность того, что 6 < X ≤ 12 .

4. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью вероятностей:

0, при x ≤ 1

f (x ) = c(x + 2), при 1 < x < 3

0, при x ≥ 3

Найдите: а) постоянный параметр c ; б) функцию распределения F (x) ; в) вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из интервала

Ответы: 1. 2. 3. 4.

Тема 2: Числовые характеристики случайных величин

Полную характеристику о дискретной или непрерывной случайных величинах дают законы их распределения.

Однако во многих практически значимых ситуациях пользуются так называемыми числовыми характеристиками случайных величин, главное назначение которых – выразить в сжатой форме наиболее существенные особенности их распределения. Важно, что эти параметры представляют собой конкретные (постоянные) значения, которые можно оценивать с помощью полученных в опытах данных.

В теории вероятностей и математической статистике используется достаточно много различных характеристик, рассмотрим наиболее часто употребляемые.

Среди них важнейшую роль играет математическое ожидание М(Х). Математическое ожидание М(Х) случайной величины Х является вероятностным

аналогом ее среднего арифметического X .

Математическим ожиданием случайной величины называется сумма произведений

всех ее возможных значений на соответствующие им вероятности

Для дискретной случайной величины оно вычисляется по формуле:

n
M ( X ) = x1 p1 + x2 p2 + ... + xn pn = ∑xi pi =	X	(2.1)

i=1

ав случае непрерывной случайной величины М(Х) определяются формулами:

25

b	∞
M ( X ) = ∫xf(x)dx, или	M ( X ) = ∫xf(x)dx,	(2.2)
a	- ∞

где f(x) – плотность вероятности.

Свойства математического ожидания:

1)M (C ) = C , где C = const ;

2)M (kX ) = kM ( X ) , где k = const ;

3)M ( X ± Y ) = M ( X ) ± M (Y ) ;

4)M ( XY ) = M ( X )M (Y ) .

Дисперсия D(X) случайной величины Х определяется как математическое ожида-

ние квадрата отклонения случайной Х от ее математического ожидания М(Х):

D( X ) = M ( X − M ( X ))2 ,	(2.3)
или D( X ) = M ( X 2 ) − (M ( X ))2	(2.4)

Для дискретной случайной величины диcперсия вычисляется по формулам:

n
D( X ) = ∑(xi − M ( X ))2 pi ,		(2.5)
i =1
n
или D( X ) = ∑xi	2 pi − (M ( X )) 2	.. (2.6)

i =1

адля непрерывной величины, распределенной в интервале (a,b):

b
D( X ) = ∫(x − M ( X ))2 f (x)dx	(2.7)
a
b
или D( X ) = ∫( x 2 f (x)dx − (M ( X ))2	(2.8)

a

Свойства дисперсии:

1)D(C ) = 0 , где C = const ;

2)D(kX ) = k 2 D( X ) , где k = const ;

3)Если X и Y независимые случайные величины, то: D( X ± Y ) = D( X ) + D(Y ) .

Дисперсия характеризует среднее рассеяние, разбросанность значений случайной величины Х относительно ее математического ожидания.

Но дисперсия D(Х) имеет размерность квадрата случайной величины, что весьма неудобно при оценке разброса в физических, биологических и др. приложениях. Поэтому обычно пользуются другим параметром, размерность которого совпадает с размерностью Х. Это среднее квадратичное отклонение случайной величины Х, которое обозначают

σ (Х):

Пример 1. Пусть случайная величина X имеет следующий закон распределения:

X	–1	0	2
P	1/4	1/4	1/2

Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклоне-

ние.

Решение. По формуле (2.1) математическое ожидание равно

3		1				1					1						3
M ( X ) = ∑ xi pi	= −1		+ 0						+ 2					=
																	4 .
i =1	4			4						2
Далее
3					1								1								1			9
M ( X 2 ) = ∑xi2 pi =(−1) 2								+ 0 2								+ 2 2						=
i =1				4						4											2				4 ,
а потому дисперсия равна
D( X ) = M ( X 2 ) − M ( X ) 2									9	3 2									9			9					27
				=						−							=				−				=
									4	4									4			16					16 .

26

Среднее квадратическое отклонение

σ ( X ) =

=

27

=

3 3

D( X )

16

4 .

Пример 2. Для непрерывной случайной величины X, заданной функцией распреде-

ления

0,

x < 0,

x 3

F (x) =

, 0 ≤ x ≤ 2,

8

x > 2.

1,

вычислить математическое ожидание и дисперсию. Решение: Найдем плотность вероятности:

0,			x < 0,
3x		2
f (x) =			, 0 ≤ x ≤ 2,
8			x > 2.
0,

Математическое ожидание найдем по формуле (2.2)

∞	0		2	3						∞								3		2		3		x	4		2
M ( X ) = ∫ x f (x)dx = ∫ x 0dx + ∫ x						x 2 dx + ∫ x 0dx =														∫ x 3 dx =
				8														8				8
−∞	−∞		0						2											0			4				0
																	2
	∞	3	2							3			x	5				12
M ( X 2 ) = ∫ x 2 f ( x)dx =			∫ x 2 x 2 dx =														=				,
		8							8
	−∞		0									5					0	5
и значит,
D( X ) = M ( X 2 ) − (M ( X ))2 =				12			3		2
							−					= 0,15.
				5			2

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

=3 .

2 Далее,

1. Задан закон распределения дискретной случайной величины в виде таблицы. Вычислить 1) математическое ожидание; 2) дисперсию; 3) среднее квадратическое отклонение.

xi	5	10	15	20
pi	0,2	0,3	0,4	0,1

2.		Задан закон распределения дискретной случайной величины в виде таблицы. Вы-
числить дисперсию случайной величины X по формуле (5) и по формуле (6).
		xi	-2	-1	0	1		-2
		pi	0,1	0,2	0,4	0,2		0,1
3.		Заполните пустую клетку ряда распределения случайной величины Х и найдите
математическое ожидание данной случайной величины.
		xi	-2	3	7	9
		pi	0,1	0,2	0,1

		0		при	x ≤ 0
4. Случайная величина Х задана интегральной функцией			4
		F (x) = x		при	0 < x ≤ 1.
				при	x > 1
		1
Найдите числовые характеристики данной случайной величины.
5. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией
0	при x ≤ 0
f (x) = 2(1 − x) при 0 < x ≤ 1 .
0	при x > 1

Найдите математическое ожидание случайной величины Х.

27

6.

Случайная величина Х задана дифференциальной функцией

0

при x ≤ 0

f (x) = c(x − 3) при 0 < x ≤ 3 .

0

при x > 3

Найдите числовые характеристики случайной величины Х.

7.

Случайная

величина

Х

задана

функцией

распределения

0

при

x ≤ −2

F (x) = 0,2(x + 2)

при

− 2 < x ≤ 3 .

1

при

x > 3

Найдите числовые характеристики

M ( X ), D( X ), σ ( X ), P(1 < X < 5) .

8.

Закон распределения случайной величины задан таблицей

X

-4

-2

0

2

4

P

0,1

0,2

0,15

0,25

0,3

Записать законы распределения случайных величин 3X,

X

, X 2 . Найти математиче-

2

ские ожидания случайных величин X, 3X,

X

,

X 2 .

2

9.

Известны математические ожидания

двух

случайных

величин X и Y:

M ( X ) = 3, M (Y ) = 2 . Найти математические ожидания суммы и разности этих величин.

10.Известны математические ожидания двух независимых случайных величин X и Y: M ( X ) = 4, M (Y ) = 5 . Найти математическое ожидание их произведения.

11.Найти математическое ожидание случайной величины Y = 2 X + 7 , если известно, что M ( X ) = 4 .

12.Симметричная монета подбрасывается 4 раза. Случайная величина X – «число выпадений герба при этих подбрасываниях». Найдите числовые характеристики случайной

величины X: M ( X ), D( X ), σ ( X ) .

13.Дисперсия случайной величины X равна 5. Найти дисперсию следующих величин

X − 1, − 2 X , 3X + 6 .

14.Независимые случайные величины X и Y заданы следующими законами распреде-

ления

X	5	2	4
P	0,6	0,1	0,3

Y	7	9
P	0,2	0,8

Найти математическое ожидание случайной величины XY двумя способами: 1) составив закон распределения XY ; 2) пользуясь свойствами математического ожидания.

15.Дискретная случайная величина X может принимать только два значения x1 и x2 , причем x1 < x2 . Известны вероятность p1 = 0,5 , математическое ожидание M ( X ) = 3,5 и дисперсия D( X ) = 0,25 . Найти закон распределения дискретной случайной величины X.

16.Дискретные независимые случайные величины заданы законами распределения:

X	5	6
P	0,4	0,6

Y	7	8
P	0,8	0,2

Найдите закон распределения случайной величины Z = X + Y . Вычислите M (Z ) . 17. Дискретные независимые случайные величины заданы законами распределения:

X	1	3
P	0,3	0,7

Y	5	7
P	0,4	0,6

Найдите закон распределения случайной величины Z = X + Y . ВычислитеM ( X ) ,

M (Y ) , M (Z ) .

28

18. Математическое ожидание и дисперсия независимых случайных величин X и Y

соответственно									равны M ( X ) = 5, D( X ) = 2, M (Y ) = 4, D(Y ) = 1 .									Найти математическое
ожидание и дисперсию случайной величины Z = X + 2Y − 3 .
Ответы:						1. 1) 12, 2)21, 3) 4,48. 2. 1,2. 3. 0,6; 6,5. 4. 5. 1 3 .
6. c = −			2		, M ( X ) = 1, D( X ) =									1	.
	3												2
7. M ( X ) = 0,5, D ( X ) = 2,08, σ ( x) = 1,44, P = 0,4 . 8. 0,9; 2,7; 0,45; 8,2.																		11. 15. 12. 2;1;1. 13.
5;20;45. 14. 37,84. 15. x1													= 3 ,				x2 = 4 .
16.
		X+Y						12		13			14				12,8
		P						0,32		0,56			0,12
17.
		X+Y						6		8			10				2,4; 6,2; 8,6
		P						0,12		0,46			0,42
18.	10; 6.
		Домашнее задание
1. Закон распределения случайной величины задан таблицей
		X				3			6		9		12
		P				0,1			0,2		0,3		0,4

1) Найдите числовые характеристики данной случайной величины.

2) Запишите законы распределения случайных величин 2X, X и математиче- 3

ские ожидания этих случайных величин.

2. Плотность распределения вероятностей случайной величины X задана функцией

			0		при x ≤ 0
	f (x) = 3x 2				при 0 < x ≤ 1
					при x > 1
			0
	Найдите числовые характеристики данной случайной величины.
3.	Даны		все		возможные значения дискретной случайной величины X:
x = 1, x		2	= 2, x	3	= 3 , а также известны M ( X ) = 2,3, M ( X 2 ) = 5,9 . Найдите закон рас-
1
пределения случайной величины X.
4.	Дискретные независимые случайные величины заданы законами распределения:

X	1	4
P	0,2	0,8

Y	2	6
P	0,7	0,3

Найдите закон распределения случайной величины Z = X + Y . Вычислите M ( X ) ,

M (Y ) , M (Z ) .

5. Математическое ожидание и дисперсия независимых случайных величин X и Y

соответственно	равны	M ( X ) = 2, D( X ) = 3, M (Y ) = 4, D(Y ) = 5 . Найти математическое
ожидание M (Z )	и D(Z )	случайной величины Z = 2X − Y + 3 . Ответы: 1. 1) 9; 9; 3; 2)
18; 3. 2. 3 4; 3 80. 3. 0,2; 0,3; 0,5.			4. 3,4; 3,2; 6,6. 5. 51

Тема 3: Нормальный закон распределения

Нормальный закон распределения непрерывной случайной величины характеризуется следующей формулой для плотности вероятности:

		1				−	( x−m )2
f ( x) =					e		2σ 2
							,		(3.1)
σ			2π

29

Здесь х - текущие значения случайной величины X, а m и		σ - ее математическое
ожидание и среднее квадратическое отклонение величины X, которые полностью опреде-
ляют функцию f(x).
График функции (3.1) на-		зывается
нормальной	кривой	распределения
(кривой Гаусса).
Изменение значения m в		(3.1) не меняет
форму нормальной кривой, а		приводит лишь к
ее сдвигу вдоль оси абсцисс.		Величина	m
называется также	центром	рассеяния,	а
среднеквадратичное	откло-	нение	σ

характеризует ширину кривой распределения Во многих задачах, связанных с нормально распределенными случайными величи-

нами, приходится определять вероятность попадания случайной величины Х, подчинен- ной нормальному закону с параметрами m и σ , на участок от α до β . Для вычисления этой вероятности пользуются формулой

(	)		β − m			α − m		,	(3.2)
		= Ф			− Ф
P α < X < β
			σ			σ

гдеФ(x) - функция Лапласа

Пример 1. Случайная величина X – вес одного зерна – распределена по нормальному закон. Математическое ожидание веса зерна 0,15 г, а среднее квадратическое отклонение равно 0,03 г. Хорошие всходы дают зерна, вес которых более 0,10 г. Найдите: а) процент семян, от которых следует ожидать хорошие всходы; б) величину, которую не превзойдет вес отдельного зерна с вероятностью 0,99.

Решение: По условию M ( X ) = m = 0,15, σ ( X ) = σ = 0,03 .а) Процент семян, дающих

хорошие всходы – это вероятность получить хороший всход от взятого наугад зерна. По условию задачи хороший всход бывает у зерен, вес которых более 0,10 г. Значит, те зерна, вес которых удовлетворяет условию X > 0,10 , дают хорошие всходы. Вероятность этого

события найдем по формуле (3.2) при m = 0,15, σ = 0,03, α = 0,10, β = ∞ .

	∞ − 0,15			0,10 − 0,15		= 0,5 + 0,4525 = 0,9525 Таким обра-
P(0,10 < X < ∞ ) = Ф			− Ф		= Ф(∞) - Ф(1,67)
	0,03			0,03

зом, от 95,25% семян следует ожидать хорошие всходы. б) Обозначим искомую величину

через γ . Тогда по условию задачи

P(X < γ ) = 0,99 . Поскольку левая граница интервала

(α , β ) не указана (может быть какой угодно),

то,

условно положив ее равной − ∞ (т.е.

α = −∞ ),

получим равенство P(− ∞ < X < γ ) = 0,99 . С

другой

стороны, вероятность

P(− ∞ < X < γ ) , согласно равенству (3.2) , равна

γ − 0,15

− ∞ − 0,15

γ

− 0,15

P(− ∞ < X < γ ) = Ф

− Ф

=

Ф

− Ф(-∞) =

0,03

0,03

0,03

γ − 0,15

= Ф

+ 0,5

0,03

Следовательно,

γ − 0,15

γ − 0,15

По таблице значений

Ф

+ 0,5 = 0,99

Ф

= 0,49 .

0,03

0,03

функции Лапласа, находим γ − 0,15 = 2,23 . Отсюда находим γ = 2,23 0,03 + 0,15 = 0,22 .

0,03

Значит, с вероятностью 0,99 вес взятого наугад отдельного зерна не превысит 0,22г.

На практике часто встречается задача вычисления вероятности попадания нормально распределенной случайной величины на участок, симметричный относительно математического ожидания m.

30