Математический анализ_ЗФО_1 курс

Основные методы интегрирования

1. Непосредственное интегрирование

Непосредственным интегрированием называют приведение данного интеграла к алгебраической сумме более простых интегралов, используя основные правила интегрирования, тождественные преобразования подынтегральной функции и таблицу основных интегралов.

Пример 1. Найти интеграл ò										x	3dx .
													x
Решение: Данный интеграл не является табличным. Представим подынтегральную
функцию в виде	1		= x		-	7
						2 , тогда получим:
	x3 x
								7						-	7		+1											5
			dx		-								x 2										2				-				2
	ò					=ò x 2 dx =														+ c = -						x		2 + c = -				+ c .
		x	3											7									5							5x	2
				x								-					+1															x
														2
										æ			6							12				ö
Пример 2. Найти интеграл òç																		+						÷dx .
											2x		2	+ 9						2x	2	- 9
										è														ø

Решение:

Используя первое свойство интеграла, можем разбить интеграл суммы на сумму интегралов, тогда:

æ			6								12				ö								6											12										6				1										12					1
òç								+							÷dx	= ò											dx +				ò									dx =						ò								dx +								ò							dx =
			2									2											2												2																	9															9
è	2x			+ 9 2x									- 9		ø					2x				+ 9									2x				- 9							2			x 2 +											2					x 2 -
																																																				2
																																																																		2
					1														1															1									x									1									x -		3
3ò											2 dx + 6ò															2 dx = 3 ×												arctg								+ 6 ×											ln						2			+ c =
					æ		3 ö												æ 3						ö									3									3										3								x +		3
	x	2	+												x	2		-																														2 ×
					ç				÷										ç						÷										2								2									2											2
																							2
					è		2 ø												è						ø
																																									=		2arctg x									2 + 6 ×										2 ln x					2 - 3 + c.
																																																				3											x			2 + 3
Пример 3. Найти интеграл																						ò	3					æ			+			1			ö
																												ç									÷
																									x x ç2												÷dx .
																												è						x ø
Решение:
						x = (x								1			1	× (						1	)= x			1	æ				1	ö	1					1			1					1		1					1
																																			3														+
Т.к.		3		x									3		= x	3						x		3				3	×	ç		2 ÷						= x		3	× x		6	= x				3 6				= x			2		, то раскроем скобки
													x )																	ç x				÷
																														è				ø

и получим:

ò		x	æ	+
	3		x ç2
			ç
			è

	1 ö	ò		1	æ
			x 2			+ x
	÷				ç
	÷dx =				ç2
	x ø				è

-	1	ö	æ		1	ö	1	dx + òdx =	4		3
2		÷	ç	2x	2	÷	2			x	2	+ x + c =
		÷dx = òç				+1÷dx = 2ò x			3
		ø	è			ø
									= 4 x x + x + c .
										3

Пример 4. Найти интеграл

ò

e2 x -1

dx .

e

x

+1

Решение: представим e2 x = (e x )2 , тогда:

e2 x -1

(e x )2 -12

(e x

-1)(e x +1)

x

x

x

ò

dx = ò

dx =

ò

x

dx = ò(e

-1)dx = òe

dx - òdx = e

- x + c .

e

x

+1

e

x

+1

e

+1

2. Интегрирование путем подведения под знак дифференциала

и методом подстановки

Если нахождение интеграла ò f (x)dx затруднительно, то пользуются методом

подстановки или методом замены переменной. При применении этого метода используют подстановки двух видов:

1.x = j(t) , где x = j(t) – монотонная непрерывно дифференцируемая функция новой переменной t . В этом случае ò f (x)dx = ò f (j(t))j¢(t)dt ;

2.u =y (t) , где u – новая переменная. При такой подстановке:

ò f (y (t))y ¢(t)dt =ò f (y (t))d (y (t)) =ò f (u)du .

Эта процедура называется подведением функции u =y (t) под знак дифференциала и, фактически, эквивалентна замене переменной х на новую переменную u =y (t) .

В простых случаях введения новой переменной u необходимо иметь в виду следующие преобразования дифференциала dx :

1.dx = d (x + a), где a – любое число.

2.dx = 1 d (ax) , где число a ¹ 0 .

a

3. dx = 1 d (ax + b) , где число a ¹ 0 , b – любое число. a

	4.	xdx =	1		d (x 2 ).
			2
	5.	xdx =	1	d (x 2 + b), где b – любое число.
			2
	6.	sin xdx = -d (cos x) .

7.cos xdx = d (sin x) .

8.dx = d (ln x) .

x

В общем случае y

¢

(х)dx = dy (x) .

Пример 1. Найти интеграл ò(3х + 5)20 dx .

Решение: при помощи замены переменной сведем данный интеграл к табличному.

Полагая 3x + 5 = t , получим d (3x + 5) = dt Þ 3dx = dt Þ dx =

1

dt . Отсюда имеем

3

ò(3х + 5)

20

1

òt

20

1 t 21

1

(3x + 5)

21

dx =

dt

=

+ c =

+ c .

3

3 21

63

Пример 2. Найти интеграл ò x 2 7

2x3 + 3dx .

Решение. Так как d (2x3 + 3)= 6x 2 dx , то

1

d (2x 3 + 3)= x 2 dx . Подставим полученное в

6

1

8

интеграл, тогда ò x 2 7 2x3 + 3dx = 1

t 7

ò7

2x3 + 3d (2x3 + 3)= 1 ò7

tdt = 1 òt

dt =

1

+ c =

7

6

6

6

6 8

7

1

7

8

7

8

=

×

(2x3 + 3)

+ c =

(2x3 + 3)

+ c .

7

7

48

6

8

Пример 3. Найти интеграл ò

x

4

dx .

x

10

+1

Решение. Т.к. x10

= (x5 )2 и d (x5 )= 5x 4 dx Þ x 4 dx =

1

d (x5 ), то

5

ò

x 4

1

ò

d (x5 )

1

ò

dt

1

1

5

dx =

=

=

arctgt + c =

arctgx

+ c .

x10 +1

5

(x5

2)+1

5

t 2 +1

5

5

Пример 4. Найти интеграл ò

dx

.

x

2

- 4x + 20

Решение. Выделив в знаменателе полный квадрат

x 2 - 4x + 20 = (x 2 - 4x + 4)+16 = (x - 2)2 +16 ,

Получим:

ò

dx

= ò

dx

=ò

d (x - 2)

=ò

dt

=

1

arctgt + c

=

1

arctg(x - 2)

+ c

x

2

- 4x

+ 20

(x -

2

(x -

2)

2

+

4

2

t

2

+ 4

2

4

4

2) +16

Пример 5. Найти интеграл ò

dx

.

x

2 + 3ln x

Решение. Так как d (2 + 3ln x) = 3 dx Þ dx = 1 d (2 + 3ln x) , то

x

x

3

1

1

ò

dx

= 1

ò d (2 + 3ln x) = 1

ò

dt

= 1

òt -

dt =

1 t 2

= 2

2 + 3ln x + c .

2

x 2

+ 3ln x

t

3 1

3

2 + 3ln x 3

3

3

2

Пример 6. Найти интеграл ò

x + earcsin x

dx.

1 - x2

Решение. Предварительно разложим подынтегральную функцию на сумму функций.

x + earcsin x

=

x

+

earcsin x

, тогда

Т.е.

1 - x2

1- x2

1- x2

ò

x + earcsin x

x

dx + ò

earcsin x

1 - x2

dx = ò

1 - x

dx =

1- x2

2

Т.к. d (arcsin x) =

dx

и d (1 - x 2 ) = -2xdx Þ xdx = -

1

d (1 - x 2 ) , то продолжая

1 - x 2

2

равенство получим:

(1 - x 2 )12

= -

1

ò(1 - x 2 )-12 d (1 - x 2 )+ òet dt = -

1

òt -12 dt + òet dt = -

1

×

+ et + C =

1

2

2

2

2

= -(1- x2 )12 + earcsin x + C .

3. Интегрирование по частям

Одним из эффективных методов интегрирования является метод интегрирования по частям. Этот метод чаще всего применяется для интегрирования некоторых трансцендентных функций (например, ln x, arcsin x, arctgx ), а также произведений алгебраических и трансцендентных функций. Суть его состоит в использовании формулы интегрирования по частям:

ò f (x)g ¢(x)dx = f (x)g(x) - ò f ¢(x)g(x)dx .

При использовании этой формулы подынтегральное выражение нужно разбивать

на два множителя f (x)	¢	¢
	и g (x) таким образом, чтобы интегрирование выражений g (x) и
¢		¢
f (x)g(x) было более простым, чем интегрирование исходного выражения		f (x)g (x) .

Формула интегрирования по частям может применяться неоднократно.

Для интегралов вида

òQ(x)eax dx , òQ(x) sin axdx , òQ(x) cos axdx ,

где Q(x) – многочлен, в качестве f (x) следует брать Q(x) , а в качестве g ¢(x) –

выражение eax , sin ax , cos ax соответственно.

Вслучае интегралов вида

òQ(x) ln xdx , òQ(x) arcsin xdx , òQ(x) arccos xdx , òQ(x)arctgxdx , òQ(x)arcctgxdx

в качестве f (x) берут функции ln x , arcsin x , arccos x ,	arctgx ,	¢
		arcctgx , а в качестве g (x)
– выражение Q(x) .

Интегрирование по частям иногда приводит к интегралу, совпадающему с исходным

или сводящемуся к нему. В этом случае интеграл находится из получающегося относительно исходного интеграла уравнения.

Пример 1. Найти интеграл òx ×sin x ×dx .

	¢
Решение. Т.к. это интеграл вида òQ(x) sin axdx , то f (x) = х , g (x) = sin x . Тогда
¢	g(x) = òsin xdx = -cos x . Подставив найденные выражения в формулу
f (x) = 1,

интегрирования по частям, получим:

òx ×sin x ×dx = -x ×cos x + òcos x ×dx = -x ×cos x + sin x + c.

Пример 2. Найти интеграл òe x cos x × dx .

Решение. Этот интеграл находят двукратным интегрированием по частям. Причем повторное применение формулы интегрирования по частям приводит к уравнению искомого интеграла.

Введем обозначения:

¢

¢

= e

x

Þ g(x) = òe

x

dx = e

x

,

f (x) = cos x Þ f (x) = -sin x ;

g (x)

получим

òe x cos x × dx = e x cos x + òsin x ×e x dx .

Интеграл òsin x ×ex dx снова возьмем по частям, обозначив

¢

¢

x

Þ g(x) = òe

x

dx = e

x

,

f (x) = sin x Þ f (x) = cos x

и g (x) = e

тогда

òe x cos xdx =e x cos x + e x sin x - òe x cos x × dx

Мы получили уравнение, содержащее два одинаковых интеграла в левой и правой части. Перенесем òe x cos x × dx в левую часть равенства, получим:

2òe x cos xdx =e x cos x + e x sin x

òe x cos xdx = e x cos x + e x sin x + с 2

òe x cos xdx = 1 e x (cos x + sin x)+ c . 2

Пример 3. Найти интеграл ò(х 2 - х +1)ln x × dx .

Решение. Т.к. это интеграл вида òQ(x) ln xdx , то

¢

2

- x

+1. Тогда

f (x) = ln x , а g (x) = x

¢

1

g(x) = ò(x

2

- x +1)dx =

x3

x 2

+ x . Таким образом,

f (x) =

,

-

x

3

2

ò(х

2

- х +1)ln x × dx

æ

x

3

x

2

ö

ò

1

æ

x

3

x

2

ö

ç

-

÷

ç

÷

-

=

= ç

3

2

+ x ÷ln x -

x

ç

2

+ x ÷dx

è

ø

è

3

ø

æ

x

3

x

2

ö

æ

x

2

x

ö

æ

x

3

x

2

ö

x

3

x

2

ç

+ x

÷

ç

÷

ç

+ x

÷

+ x + c .

-

-

+

-

+

ç

2

÷ln x - òç

1÷dx = ç

2

÷ln x -

4

è

3

ø

è

3 2

ø

è 3

ø

9

4. Интегрирование рациональных функций

Неопределенный интеграл от целой рациональной функции (многочлена) находится

непосредственно:

ò(a0 xn +a1xn-1 +...+ an-1 x + an )dx = a0 òxn dx+a1 òxn-1dx+...+an-1 òxdx+an òdx =

=

a0

x n+1 +

a1

x n + ... +

an-1

x 2 + a0 x + c .

n

n +1

2

Функция, заданная в виде отношения двух многочленов

P

(x)

a

0

x n + a x n-1

+

... + a

n-1

x + a

n

(a

¹ 0, b ¹ 0),

R(x) =

n

=

1

(x)

b x m + b x m-1

+

... + b

x + b

Q

m-1

m

0

0

m

0

1

Называется дробной рациональной функцией (или рациональной дробью).

В дальнейшем будем считать, что коэффициент b0 = 1, так как в противном случае

можно разделить числитель и знаменатель на этот коэффициент.

Если n < m ,

рациональная дробь называется правильной, в противном случае –

неправильной.

Любая правильная рациональная дробь, знаменатель которой имеет только

действительные корни a, b,...,l кратности a, b,...,l , т.е. Qm (x)

можно представить в виде

Qm (x) = (x - a)a (x - b)b ×...×(x - l )l , разлагается на сумму конечного числа простейших

рациональных дробей, и это разложение имеет вид:

P (x)

A

A

A

B

B

2

Bb

n

1

2

a

1

=

+

+ ... +

+

+

+ ... +

+ ... +

Qm (x)

(x - a)

(x - a)2

(x - a)a

(x - b)

(x - b)2

(x - b)b

L1

L2

Ll

+

+

+

... +

,

(x - l )

(x - l )2

(x - l)l

где A1 , A2 ,..., Ll – действительные числа.

Если знаменатель имеет действительные и комплексные корни, т.е.

раскладывается на линейные и квадратичные множители

Qm (x) = (x - a)a

(x - b)b ×...×(x 2

+ px + q)g (x 2 + hx + r )n , то

P (x)

A

A

A

B

B

2

Bb

n

1

2

a

1

=

+

+ ... +

+

+

+ ... +

+ ... +

Qm (x)

(x - a)

(x - a)2

(x - a)a

(x - b)

(x - b)2

(x - b)b

C x + D

Cg x + Dg

M

1

x + N

1

M

n

x + N

n

,

+

1

1

+ ...

+

+

+ ... +

(x 2 + px + q)

(x 2 + px + q)g

(x 2

+ hx + r )

(x 2 + hx + r )n

где A1 , A2 ,..., Mn , Nn – действительные числа, которые подлежат определению. Для их

нахождения применяют метод неопределенных коэффициентов.

Суть этого метода разъясним на примерах.

Пример 1. Найти интеграл

ò

3х 2 + 2x +1

dx .

2

(x

2

+1)

(x +1)

Решение. Разложим рациональную дробь на простейшие множители:

3х 2 + 2x +1

A

B

Cx + D

=

+

+

.

(x +1)2 (x 2 +1)

x +1

(x +1)2

x 2 +1

Приведем к общему знаменателю сумму, стоящую в правой части равенства

3х 2 + 2x +1

=

A(x +1)(x 2 +1)+ B(x 2 +1) + (Cx + D)(x +1)2

.

(x +1)2 (x 2 +1)

(x +1)2 (x 2 +1)

Мы имеем равенство двух дробей, а дроби равны тогда, когда равны их числители и

знаменатели. Знаменатели у обеих дробей одинаковые, следовательно, можем записать:

3х 2 + 2x +1 = A(x +1)(x 2 +1)+ B(x 2 +1) + (Cx + D)(x +1)2

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, получим

3х 2 + 2x +1 = (A + C )x3 + (A + B + 2C + D)x 2 + (A + C + 2D)x + ( A + B + D) .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x , получим систему

уравнений:

ìA + C = 0

ìA = -1

ï

+ B

+ 2C + D

= 3

ï

= 1

ïA

ïB

í

+ C

+ 2D = 2

Þ

í

= 1

ïA

ïC

ï

+ B

+ D = 1

ï

= 1

îA

îD

Следовательно,

3х 2 + 2x +1

dx = -

dx

+

dx

+

x +1

dx = -

d (x

+1)

+

d (x +1)

+

ò (x +1)2 (x 2 +1)

ò x +

1

ò (x +1)2

ò x +1

ò (x +1)2

ò x 2 +1

+ ò

x

dx + ò

dx

= -ln

x +1

+

(x +1)-1

+

1

ò

d (x

2 +1)

+ arctgx

=

x

2

x

2

+1

-1

2

x

2

+1

+1

= -ln

x +1

-

1

+

1

ln(x 2 +1)+ arctgx + c .

(x +1)

2

Пример 2. Найти интеграл ò x5 + x4 -8dx . x3 - 4x

Решение. Данная дробь неправильная, так как степень числителя больше степени знаменателя, поэтому выделяем целую часть:

x5 + x4 - 8

x3 - 4x

x5 - 4x3

x2 + x + 4

x4 + 4x3

x4 - 4x2

4x3 + 4x2

4x3 -16 х

4x2 +16x - 8

5

4

æ

2

ö

Таким образом, ò

x

+ x -8

2

4x +16x - 8

ç

÷

dx = òç x

+ x + 4

+

÷dx .

x

3

- 4x

x

3

- 4x

è

ø

Знаменатель правильной дроби разлагается на множители следующим образом:

		x3 - 4x = x(x 2 - 4)= x(x - 2)×(x + 2)= (x - 0)×(x - 2)×(x + 2).
Тогда	4x2	+16x -8	=	A	+	B		+	C		.
	x3 - 4x									2
				x x -			2 x +

Приводя правую часть к общему знаменателю, и приравнивая числители, получим тождество

4x2 +16x -8 = A(x - 2)×(x + 2)+ Bx(x + 2)+ Cx(x - 2).

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, получим

4x 2 +16x - 8 = Ax 2 - 4 A + Bx2 + 2Bx + Cx 2 - 2Cx

4x 2 +16x - 8 = (A + B + C )x 2 + (2B - 2C )x + (- 4 A)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x , получим систему

уравнений:

ìA + B + C = 4	ìA = 2
ï	ï
í2B - 2C = 16	Þ íB = 5
ï	ï
î- 4 A = -4	îC = -3

Заменяя под знаком интеграла остаточную дробь ее разложением на простейшие дроби и находя нужные интегралы, последовательно получим

x5 + x4 - 8

æ

2

2

5

3 ö

dx =

ç x

+ x + 4 +

+

-

÷ × dx =

ò x3 - 4x

ò

è

x x - 2 x

+ 2 ø

= òx2 dx + òx ×dx + 4òdx + 2ò

dx

+ 5ò

dx

- 3ò

dx

=

x

x - 2

x + 2

x3

x

2

+ 4x + 2ln

x

+ 5ln

x - 2

- 3ln

x + 2

+ C .

=

+

3

2

Пример 3. Найти

ò

2x2 -3x +1

dx .

x3 +1

Решение. Подынтегральная дробь правильная, ее знаменатель разлагается на

множители по формуле суммы кубов x3 +1 = (x +1)×(x 2 - x +1). Тогда

2x3 -3x +1

=

A

+

Mx

+ N

,

x3 +1

x +1 x2 - x +1

откуда

2x2 -3x +1 = A(x2 - x +1)+ (Mx + N )×(x +1).

2x 2 - 3x +1 = (А + М )х 2 + (М - А + N )х + (А + N )

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x , получим систему

ìA + M = 2

ìА = 2

уравнений:

ï

- А + N

= -3 Þ

ï

= 0 ,

íM

íМ

ï

+ N = 1

ï

= -1

îA

îN

поэтому

ò

2x2

-3x +1

dx =

2ò

dx

-

ò

dx

=

x

3

+1

x +1

x

2

- x

+1

В интеграле ò

dx

в знаменателе подынтегральной функции выделим полный

x

2

- x +1

2

1 ö2

2

2

1

æ 1

ö

3

æ

3

квадрат: х

- х

+1 = х

- 2 ×

х

+ ç

÷

+

=

ç х

-

÷

+

. Продолжим равенство:

2

4

2

4

d (x +

dx

è 2

ø

è

ø

dt

= 2ò

1)

-ò

=

2 ln

x +1

- ò

dx

2 = 2 ln x +1 - ò

=

x +1

2

2

2

æ

1

ö

3

æ

1

ö

æ

3

ö

2

æ

3

ö

ç x

-

÷

+

ç x -

÷

+

ç

÷

t

+ ç

÷

è

2 ø

4

è

2

ø

ç

2

÷

ç

2

÷

è

ø

è

ø

= 2 ln x +1 -

2 arctg 2t = 2 ln x +1 -

2

arctg 2x -1 + c .

3

3

3

3

5. Интегрирование тригонометрических функций

Обозначим через R(sin x, cos x) рациональную функцию от sin x и cos x .

Интегралы вида òR(sin x, cos x)dx приводятся к интегралам от рациональных

функций с помощью универсальной тригонометрической подстановки t = tg t . В 2

результате получим

æ

2t

1 - t

2

ö

2dt

ç

÷

òR(sin x, cos x)dx = òRç

,

÷

.

1

+ t

2

1 + t

2

1 + t

2

è

ø

Однако универсальная подстановка во многих случаях приводит к сложным вычислениям, поэтому применяется только тогда, когда нельзя применить другие подстановки, вид которых зависит от свойств функции R(sin x, cos x) и описан в таблице, приведенной ниже:

Таблица 1.

№

Виды

Рекомен-

Вспомогательные

Результат

п/п

интегралов

дуемая

формулы

подстанов

подстановка

ки

sin x =

2t

;

x

1 + t 2

òR(sin x, cos x)dx

1- t 2

1

tg

= t

cos x =

;

2

1 + t 2

dx =

2dt

1 + t 2

òR(sin x, cos x)dx

sin x =

t

;

1 + t

2

2

R(sin x, cos x)

– четная функция

tgx = t

cos x =

1

;

относительно

sin x и cos x , т.е

1 + t 2

R(-sin x,-cos x) = R(sin x, cos x)

dx =

dt

.

подынтегральногорационализация выражения

1 + t 2

òR(sin x, cos x)dx

3

cos x = t

sin xdx = -d (cos x) = -dt

R(sin x, cos x)

– четная функция

относительно sin x , т.е

R(-sin x, cos x) = -R(sin x, cos x)

òR(sin x, cos x)dx

4

sin x = t

cos xdx = d (sin x) = dt

R(sin x, cos x)

– четная функция

относительно cos x , т.е

R(sin x,-cos x) = -R(sin x, cos x)

òsin m x cos n xdx

cos x = t

sin xdx = -d (cos x) = -dt

m – нечетное

5

n – четное

òsin m x cos n xdx

sin x = t

cos xdx = d (sin x) = dt

m – четное

n – нечетное

òR(tgx)dx

tgx = t

dx =

dt

6

òR(ctgx)dx

ctgx = t

dt

dx = -1 + t 2

òsin

m

x cos

n

xdx

cos2 x =

1 + cos 2x

степенипонижение тригонометрической функции

2

7

–

sin x × cos x =

1

sin 2x

m – четное

2

n – четное

sin 2 x =

1 - cos 2x

2