UMK_UMF_010501

8. Приведение уравнений с двумя независимыми переменными к простейшему

виду

В аудитории: 7,9, 14–18 (2) На дом: №№ 19–25 (2)

9. Контрольная работа №1.

Самостоятельная работа: 14 часов.

В рамках самостоятельной работе целесообразно рассмотреть следующие темы: Постановка задач математической физики. Некорректные задачи; Классификация уравнений в частных производных второго порядка. Канонические формы. Сопряженные операторы.

Вопросы и задания для самоконтроля:

1.Напишите общий вид линейного дифференциального уравнения второго порядка.

2.Выведите уравнение поперечных колебаний струны (продольных колебаний стержня).

3.Какое уравнение называется квазилинейным дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка?

4.Приведите примеры основных уравнений математической физики.

5.Какие граничные условия называют граничными условиями I (II, III) рода?

6.Приведите примеры граничных условий для уравнения продольных колебаний стержня.

7.Выведите уравнение теплопроводности.

8.Напишите общий вид стационарного уравнения.

9.Какое уравнение называется уравнением гиперболического (параболического, эллиптического) типа?

10.Что называется задачей Коши? Для каких типов уравнений ставится задача Коши? Приведите примеры.

11.Что понимается под корректностью постановки задачи математической физики?

12.Какие физические процессы описывают уравнения гиперболического (параболического, эллиптического) типа?

13.Запишите общий вид характеристического уравнения для линейного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными.

14.Какие характеристики имеет одномерное волновое уравнение?

15.Какие характеристики имеет одномерное уравнение теплопроводности?

2. Уравнения гиперболического типа. Основные задачи и методы их решения

Задача Коши для волнового уравнения. Одномерное волновое уравнение. Формула Даламбера. Существование, единственность, устойчивость решения. Обобщенное решение (4 ч.) Решение задач на полупрямой (2 ч.). Трехмерное и двумерное волновое уравнение. Формулы Пуассона и Кирхгофа (2 ч.). Корректность постановки задачи Коши для волнового уравнения (2 ч.). Задача Коши для неоднородного уравнения (2 ч.).

Краевые задачи для волнового уравнения. Формулы Грина. Теоремы единственности, устойчивости (4 ч.). Задача Штурма–Лиувилля. Метод разделения переменных (Фурье). Теоремы существования (4 ч.). Решение неоднородных задач методом Фурье (2 ч.). Функции Бесселя. Задача о колебании круглой мембраны (4 ч.).

Теоретический материал: 28 часов.

Тихонов А.Н., А.А. Самарский. Уравнения математической физики (глава 2, §§1–3; глава 5, §§1–3).

Практические занятия: 10 часов.

11

1) Евдокимов А.А., Павлова А.В., Рубцов С.Е. Уравнения математической физики. Методические указания; 2) Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике

1. Метод характеристик решения уравнений гиперболического типа. Решение задачи Коши для одномерного волнового уравнения. Формула Даламбера

Ваудитории: №№ 1,2,4,8,13 стр. 18 (1) На дом: №№ 3,5–9 стр. 18 (1)

2.Решение задач на полупрямой для одномерного волнового уравнения. Метод продолжений. Метод характеристик.

Ваудитории: №№ 3,10 стр. 22 (1), 61,62 (2, глава 2),

На дом: №№ 2,4,9 стр. 22 (1), 73, 74 (2, глава 2)

3. Решение задачи Коши для уравнения гиперболического типа в пространстве и на плоскости. Формулы Пуассона и Кирхгофа.

В аудитории: №№ 21–23 (2, глава 6)

На дом: №№ 15 стр. 18 (1), 25–27 (2, глава 6)

4.Контрольная работа №2.

5.Метод Фурье решения краевых задач для уравнений гиперболического типа.

В аудитории: №№ 10,12 стр. 33 (1), 104, 110, 111 (2, глава 2), На дом: №№ 2,13,15,18 стр. 33 (1), 50–52 (2, глава 6)

Самостоятельная работа: 14 часов.

В рамках самостоятельной работе целесообразно рассмотреть следующие темы: Задача с данными на характеристиках (задача Гурса). Существование и единственность решения задачи с данными на характеристиках; Метод Римана; Специальные функции математической физики. Классические ортогональные полиномы. Уравнение Бесселя и цилиндрические функции.

Вопросы и задания для самоконтроля:

1.Дайте физическое истолкование общего решения уравнения колебаний струны?

2.Выведите формулу Д'Аламбера решения задачи Коши для волнового уравнения.

3.Что называется смешанной задачей? Приведите примеры.

4.Сформулируйте смешанные задачи для одномерного волнового уравнения на примерах поперечных колебаний струны и продольных колебаний стержня.

5.В чем состоит идея метода продолжения решения задач для волнового уравнения на полупрямой?

6.Сформулируйте задачу о распространении краевого режима, для случая, когда задан режим колебаний конца полуограниченного стержня.

7.Выведите I и II формулы Грина.

8.Используя формулу Пуассона решения задачи Коши для волнового уравнения в пространстве, получите решение соответствующей задачи на плоскости методом покоординатного спуска.

9.Сформулируйте задачу Штурма–Лиувилля. Что называется собственной функцией задачи Штурма–Лиувилля? Что такое собственное значение задачи?

10.Приведите схему применения метода Фурье для неоднородных граничных условий.

11.В чем заключается принцип суперпозиции для линейных задач математической физики.

12.Дайте физическую интерпретацию решения задачи о малых поперечных колебаниях струны с закрепленными концами.

13.Приведите вид волнового уравнения в сферических координатах.

14.Каков вид общего решения уравнения Бесселя?

12

15. Установите зависимость, существующую между функциями Бесселя порядков n и –n.

3. Вариационные методы в математической физике

Основные понятия вариационного исчисления: постановка задачи, уравнение ЭйлераЛагранжа Экстремумы функционалов. Вариация функционала. Вариационные задачи в математической физике. Вариационная задача для интеграла энергии. (2 ч.).

Теоретический материал: 2 часа.

Бицадзе А.В. Уравнения математической физики (глава 4, §5). Практические занятия: 2 часа.

Бицадзе А.В., Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям математической физики.

1. Вариационные задачи.

Ваудитории: №№ 848,850,853 На дом: №№ 851,854,855

Самостоятельная работа: 6 часа.

В рамках самостоятельной работе целесообразно рассмотреть следующие темы: Основные понятия вариационного исчисления (функционал, линейные и квадратичные функционалы, экстремумы функционала); Простейшие задачи вариационного исчисления (задача о брахистохроне, изопериметрическая задача)

Вопросы и задания для самоконтроля:

1.Какие задачи решает вариационное исчисление? Приведите примеры вариационных задач.

2.Что называется функционалом? Приведите примеры функционалов.

3.Что называется вариацией аргумента функционала? Что называется вариацией функционала?

4.Сформулируйте простейшую вариационную задачу.

5.Дайте определение экстремума функционала.

6.Что такое сильный (слабый) экстремум?

7.Какие функции называют линейно независимыми?

8.Дайте определение полноты системы функций.

9.Какое условие называют условием стационарности функционала?

10.Приведите формулу для вариации функционала в случае простейшей вариационной задачи.

4. Уравнения параболического типа. Основные задачи и методы их решения

Начально-краевые задачи для уравнения теплопроводности. Принцип максимума (4 ч.). Метод Фурье решения краевых задач (2 ч.). Теоремы единственности, устойчивости. Существование решения (4 ч.). Задача Коши для уравнения теплопроводности. Теоремы единственности, устойчивости (3 ч.) Фундаментальное решение. Интеграл Пуассона. - функция Дирака. (3 ч.). Задачи на полупрямой. Метод функций Грина (4 ч.).

Теоретический материал: 20 часов.

Тихонов А.Н., А.А. Самарский. Уравнения математической физики (глава 3, §§1–4; глава 4, §§1–2).

Практические занятия: 8 часов.

1) Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике; 2) Евдокимов А.А., Павлова А.В., Рубцов С.Е. Уравнения математической физики. Методические указания.

13

1. Решение начально-краевых задач для уравнений параболического типа. Метод

Фурье

В аудитории: №№ 33, 34 (1, глава 5), 9 (1, глава 5), 1–5 стр. 33 (2) На дом: №№ 30, 35 (1, глава 3), 4,6,7,11 стр. 33 (2)

2. Метод Фурье решения неоднородных задач для уравнений параболического

типа.

В аудитории: 700,702,704 (1), 9,17 стр. 33 (3)

На дом: №№ 698,701,703 (1), 20,24,25 стр. 34 (3)

3.Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности. Формула Пуассона

Ваудитории: №№ 66,68 (1, глава 3), 1,2 стр. 24 (2)

На дом: №№ 72,73 (1, глава 3), 3 стр. 24 (2)

4.Метод продолжений решения задач на полупрямой

Ваудитории: №№ 79,80,86 (1, глава 3), 4 стр. 24 (2)

На дом: №№ 84,89 (1, глава 3), 5 стр. 24 (2)

Самостоятельная работа: 12 часов.

В рамках самостоятельной работе целесообразно рассмотреть следующие темы: Задачи, приводящие к уравнениям параболического типа. Дополнительные условия и постановка краевых задач для уравнений параболического типа. Предельные случаи; Функция источника для уравнения параболического типа.

Вопросы и задания для самоконтроля:

1.Приведите примеры условий на бесконечности для задач в неограниченных и полуограниченных областях для уравнения теплопроводности.

2.Сформулируйте смешанные задачи для уравнения теплопроводности на примере однородного изотропного стержня постоянного сечения с теплоизолированной поверхностью для случаев: заданного температурного режима на концах, теплоизолированных концов, конвективного теплообмена с окружающей средой на концах стержня.

3.Сформулируйте принцип максимума для уравнения теплопроводности.

4.Докажите единственность первой начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности.

5.Докажите единственность решения начально-краевых задач для трехмерного уравнения теплопроводности с помощью формулы Грина.

6.Сформулируйте задачу Коши для одномерного уравнения теплопроводности.

7.Дайте определение функции Грина задачи Коши для уравнения теплопроводности.

8.Приведите формулу Пуассона решения задачи Коши для одномерного уравнения теплопроводности.

9.Дайте физическую интерпретацию функции Грина задачи Коши для уравнения теплопроводности.

10.Пользуясь методом отражения, постройте функцию влияния мгновенного точечного источника для полуограниченного стержня с теплоизолированной боковой поверхностью при граничных условиях I и II рода.

11.Приведите основные свойства -функции Дирака.

12.Запишите фундаментальное решение одномерного уравнения теплопроводности.

13.Постройте функцию Грина уравнения теплопроводности в пространстве.

14.Приведите общую схему метода Фурье решения смешанных задач для уравнения теплопроводности.

14

15. Сформулируйте задачу об остывании тонкой однородной прямоугольной пластины в случае, когда все ее стороны теплоизолированы. Приведите решение методом разделения переменных.

5. Уравнения эллиптического типа. Основные задачи. Теория потенциала

Общие свойства гармонических функций. Принцип максимума для гармонических функций (4 ч.) Оператор Лапласа в криволинейных координатах. Фундаментальное решение уравнения Лапласа (в пространстве, на плоскости). Краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона. Теоремы единственности. Функции Грина задачи Дирихле. (4 ч.). Интегральные уравнения (2 ч.). Теория потенциала. Сведение краевых задач к интегральным уравнениям. Существование решения. (6 ч.). Метод разделения переменных решения краевых задач в простейших областях (2 ч.).

Теоретический материал: 20 часов.

Тихонов А.Н., А.А. Самарский. Уравнения математической физики (глава 4, §§1– 3,5; глава 4, §§1–2).

Практические занятия: 8 часов.

1) Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике; 2) Евдокимов А.А., Павлова А.В., Рубцов С.Е. Уравнения математической физики. Методические указания.

1.Гармонические функции. Основные свойства

Ваудитории: №№ 14 (а,в,д) (1 глава 4)

На дом: №№ 14 (б,г), 15 (1 глава 4)

2. Решение краевых задач для уравнения Лапласа в простейших областях. Метод

Фурье

Ваудитории: №№ 18,19 (1 глава 4), 30 стр. 34 (2) На дом: №№ 13 (б–е), 17 (1 глава 4), 29 стр. 34 (2)

3.Метод Фурье решения краевых задач для уравнения Пуассона в круге и кольце.

Ваудитории: №№ 30, 31, 34 (1 глава 4)

На дом: №№ 32 (1 глава 4), 31 стр. 34 (2)

4. Контрольная работа №3.

Самостоятельная работа: 12 часов.

В рамках самостоятельной работе целесообразно рассмотреть следующие темы: Уравнение Гельмгольца в неограниченной области. Условия излучения; Основные понятия теории интегральных уравнений; Полиномы Лежандра. Сферические (шаровые) функции. Метод Фурье решения внутренней задачи Дирихле для шара.

Вопросы и задания для самоконтроля:

1.Дайте определение гармонической функции в конечной и бесконечной областях.

2.Приведите примеры функций, гармонических в конечной и бесконечной областях.

3.Сформулируйте принцип максимума для гармонических функций.

4.Сформулируйте внутреннюю задачу Дирихле для уравнения Пуассона в произвольной трехмерной области.

5.Приведите вид уравнения Лапласа в сферических и цилиндрических координатах.

6.Запишите фундаментальное решение уравнения Лапласа на плоскости и в пространстве.

7.Сформулируйте условие разрешимости внутренней задачи Неймана для уравнения Лапласа.

8.Дайте определение объемного потенциала. Перечислите свойства объемного потенциала.

15

9.Дайте определение потенциалов простого и двойного слоя.

10.Какими свойствами обладает потенциал простого (двойного) слоя?

11.Сформулируйте теорему о разрывности потенциала двойного слоя.

12.Запишите общий вид интегрального уравнения второго рода.

13.Какова связь между разрешимостью однородного и неоднородного интегральных уравнений Фредгольма?

14.Сформулируйте теоремы Фредгольма.

15.Приведите схему сведения внутренних (внешних) задач Дирихле и Неймана к интегральным уравнениям.

6. Применение интегральных преобразований к решению задач математической физики

Преобразование Лапласа (2 ч.) Преобразования Фурье (экспоненциальное, sin-, cosпреобразования, конечные) (4 ч.). Преобразования Бесселя, Меллина. Примеры применения интегральных преобразований к решению задач математической физики (2ч.).

Теоретический материал: 8 часов.

Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (глава 2, § 9), Павлова А.В., Рубцов С.Е., Смирнова А.В. Применение интегральных преобразований к решению задач для уравнений в частных производных. Методические указания.

Практические занятия: 4 часа.

1) Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике; 2) Евдокимов А.А., Павлова А.В., Рубцов С.Е. Уравнения математической физики. Методические указания.

1.Преобразование Лапласа, Преобразование Фурье (экспоненциальное)

Ваудитории: №№ 180 (1 глава 2), 88 (1 глава 3);1,2 стр. 9; 1,5 стр. 19 (2) На дом: №№ 182 (1 глава 2), 89 (1 глава 3);2,6 стр. 19 (2)

2.sin-, cos-преобразования Фурье на полупрямой, конечные преобразования Фурье

Ваудитории: №№ 7 стр. 20, 1,2 стр. 25 (2)

На дом: №№ 3,4,9,10 стр. 26 (2)

Самостоятельная работа: 10 часов.

В рамках самостоятельной работе целесообразно рассмотреть следующие темы: Классические интегральные преобразования (Фурье, Ханкеля, Меллина, Лапласа, Контаровича–Лебедева, Меллера–Фока). Интегральные преобразования обобщенных функций.

Вопросы и задания для самоконтроля:

1.Запишите формулы прямого и обратного преобразования Лапласа.

2.Приведите формулы прямого и обратного преобразования Фурье.

3.Каким свойствам должна удовлетворять функция, чтобы существовало ее преобразование Фурье (Лапласа)?

4.Перечислите основные свойства преобразования Фурье.

5.Приведите формулу преобразования Фурье от производной данной функции.

6.Что называется сверткой двух функций?

7.Каким образом свертка двух функций может быть представлена через их Фурьеобразы?

8.Перечислите известные интегральные преобразования на полупрямой.

9.Какова связь между преобразованием Фурье и преобразованием Лапласа?

10.Приведите формулу преобразования Лапласа от производной данной функции.

11.В каких областях применяется интегральное преобразование Меллина?

12.Какова связь между двумерным преобразованием Фурье и преобразованием Бесселя?

16

13.В чем состоит преимущество решения дифференциального уравнения операционным методом перед классическим методом?

14.Приведите пример применения интегрального преобразования к решению задачи Коши для волнового уравнения.

15.Приведите формулы прямого и обратного sin-(cos-)преобразования Фурье в конечной области.

3.ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ И ФОРМЫ КОНТРОЛЯ ИХ

ВЫПОЛНЕНИЯ

1. Решить задачу:

2 u

4

2 u

16 t 2

,t 0 ,x 0 ,

t 2

x 2

u

1

x 4 ,

u

2 sin x ,u

4t 2 .

t 0

6

t

t 0

x 0

2. Решить задачу:

y 2

2 u

2 u

2

u

0 , y 0 ,

x y

y 2

y

y

u

1 x ,

u

3.

y

y 1

y 1

3. Решить задачу:

2u

4

2u

6xt ,x 0,t 0,

t2

x2

u

x3 ,

u

0,u

t3 .

t

t 0

t 0

x 0

4. Решить задачу:

u				2u		u
					2		x 2t,0 x 1,t 0,
t				x2
						x
u			ex		sin x,u				u		t.
		t 0							x 1		x 0

5. Решить задачу:

u					2u	t e	t		x ,t 0,
			4					,
					x2
t
u		t 0		2.

6. Решить задачу:

2 u

2 u

e x

,

x

,t 0 ,

t 2

x 2

u

sin

x ,

u

x

cos x .

t 0

t

t 0

7. Решить задачу:

u					2u	3t	2		x ,t 0,
								,
					x2
t
u		t 0		sin		x.

17

8. Решить задачу:

u

2u

9u 4sin2tcos3x 9x2 2,0 x ,

2

t

x

u

x2

2,

u

0,

u

2 .

x

x

t 0

x 0

x

9. Решить задачу:

2u

+2

u

=

2u

u,t >0,0

< x< p,

t2

t

x2

u x,0 =0,

u x,0

= x,u 0,t =u p,t =0.

t

10. Решить задачу:

u

2u

e

t

cos

x,

x ,t 0,

t

x2

u t 0 cos x.

11. Решить задачу:

2u					2u			2u
		9									,t 0, x, y ,
	2				2				2
t						x
										y

u x, y,0 x2 y2 ,			u x, y,0	xy.
			t
12. Решить задачу:
	2u	u 2xyz,t 0, x, y, z ,
	t2

u x, y,0 x2 y2 2z2 , u x, y,0 1.

t

13.Пользуясь интегральным преобразованием Лапласа решить задачу:

	u		2u	u B cos	x, 0 x, y ,
	y		x2

u 0, y Ae 3 y , u 0, y 0.

x

14.Пользуясь интегральным преобразованием Лапласа решить задачу:

	4	2u	9	2u	36e2x sin 3t,
		t2		x2

0 x ,t 0, u 0,t sin 3t

x

u 0,t 0, u x,0 0, u x,0 3xe2x.

t

15.Найти функцию гармоническую внутри круга с центром в начале координат радиуса r=2 такую, что u r 2 sin3 cos2 .

16.Найти функцию гармоническую внутри круга с центром в начале координат радиуса r=2 такую, что u r 2 sin4 cos8 .

18

17.Найти функцию гармоническую внутри кольца с центром в начале координат

1r 2такую, что u r 1 3 2sin3 , u r 2 sin .

18.Пользуясь интегральными преобразованиями Фурье с конечными пределами решить задачу:

	2u	9	2u	sin t,0 x l,t 0,
	t2		x2

u x,0 u x,0 0,

t

u 0,t u l,t 0.

x

19. Пользуясь интегральными преобразованиями Фурье с конечными пределами решить задачу:

2u		2 2u			t
	a			Ae		cos		x,
t2			x2
							2l

0 x l, t 0, u x,0 u x,0 0,

t

u 0,t u l,t 0.

x

20.Найти функцию, гармоническую внутри квадрата 0 x ,0 y , постоянную на стороне y (u u0 const) и равную нулю на остальных сторонах.

Как форма используемых для текущего контроля, предлагается перечень вопросов по разделам, которые прорабатываются в процессе освоения курса. Вопросы приведены в рабочей программе поле каждого раздела. Перечень охватывает все основные разделы курса, включая знания, получаемые во время самостоятельной работы.

4.МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПРОМЕЖУТОЧНОГО КОНТРОЛЯ

1.Контрольная №1 (Приведение к каноническому и простейшему виду уравнений с двумя независимыми переменными).

Евдокимов А.А., Павлова А.В., Рубцов С.Е. Уравнения математической физики. Методические указания.

№№9–25 стр. 14, 16–25 стр.15.

2.Контрольная №2 (Решение задачи Коши для уравнений гиперболического типа. Решение задачи Коши и задач на полупрямой для волнового уравнения).

Евдокимов А.А., Павлова А.В., Рубцов С.Е. Уравнения математической физики. Методические указания.

№№ 2,6,7,9,10,12 стр. 18, 5,6,7,8 стр.22.

2. Контрольная № 3 (Метод Фурье решения смешанных задач для уравнений гиперболического и параболического типов).

Евдокимов А.А., Павлова А.В., Рубцов С.Е. Уравнения математической физики. Методические указания. №№ 14,16 стр. 33, 19,21–23,26–29 стр.34.

19

Примерные задачи контрольной работы №1

Вариант 1

1. Привести к каноническому виду уравнения:

а)	2u		x		2u	=0, x<0;
	x2				y2
б)	x2	2 u			6xy		2u	7 y 2	2u	0.
		2							2
		x					x y		y

2. Привести к простейшему виду уравнение: uxx 4uxy 4uyy 3ux 6uy 0.

Вариант 2

1. Привести к каноническому виду уравнения:

а)

2u

x

2u

=0, x>0;

x2

y2

2u

2u

2u

1 u

x

2 xy

y

б)

0.

x

2

x y

y

2

2 y

2. Привести к простейшему виду уравнение:

u''xx +2u''xy +5u''yy + 1u'x +2u'y =0.

2

Вариант 3

1. Привести к каноническому виду уравнения:

x

2 2 u

2 xy

2 u

y

2

2 u

0 .

а)

x

2

y

2

x y

б)

x2

2u

y

2u

2

u

u 0.

y<0

2

2

x

y

x

2. Привести к простейшему виду уравнение:

3uxx 5uxy 2uyy 3ux uy 0.

Вариант 4

1. Привести к каноническому виду уравнения:

а)	y2	2u	x	2u	4	u	2	u	u 0. x<0
		2		2		y
		x		y				x

2. Привести к простейшему виду уравнение: uxx 4uxy 5uyy ux uy 4u 0.

Вариант 5

1. Привести к каноническому виду уравнения:

а) x

2u

2u

0. x<0

x

2

y

2

2u

2u

2u

1

y

u

б) y

2

xy

x

y

x

2

y

2

x y

2 x

y

б)	y 2	2u	6xy	2u	9x 2	2u	0.
		2		x y		2
		x				y

0.

20