Линейная алгебра (2 к р)

8

y	Пример.

z z0 R – уравнение окружности с центром в точке

	z1					z0
				z1+z2		и радиусом равным R .
		z2				Деление на комплексное
			z1–z2
						число, отличное от нуля,
0				x		определяется как действие,
						обратное умножению.
		Рис. 6

Для представления частного в виде Re z i Im z следует провести простые преобразования, показанные на следующем примере.

Пример.	3			i			3 i		1 2i		3			6i		i		2 1				7i	1		7 i .
	1 2i					1 2i 1 2i								1 4							5		5		5

Для модуля и аргумента произведения и частного справедливы следующие утверждения:

1.

z1 z2

z1

z2

, Arg z1 z2 Arg z1 Arg z2.

Пример. Найти модуль и аргумент произведения z i .

	Решение.
		z i		z	,	Arg z i Arg z		2k .
							2

Таким образом, умножение на i соответствует повороту вектора z на угол ;

2

2.

z1

z1

, Arg

z1

Arg z

Arg z

2

.

z2

z2

1

z2

Пусть

z

z

cos

Arg z i sin Arg z .

Тогда

z2 z z

z

2 cos 2 Arg z i sin 2 Arg z .

9

Можно доказать методом полной математической индукции, что

для любого целого	n 0 : zn		z		n cos n Arg z i sin n Arg z

(формула Муавра). Формула справедлива и для целых

отрицательных														n .
			Пример. Вычислить																					i 5 .
																						3
										y													Решение.
																					3		i								3 1			2,
x									0									3
																																						1
																				arg						3 i arctg																	,
											-1							z
																																										6
																																						3
										Рис.					7
																																			,
	3 i 2 cos													2k i sin																2k
												6															6
						5			5						5																	5
		3 i					2		cos								10k						i sin										10k
															6																	6
										1
							3
																		3 16i .
32								i			16
						2
									2

Корнем n -й степени из комплексного числа называется такое число w , для которого wn z .

Используя формулу Муавра, получим

Arg w

Arg z

arg z 2k

,

w

n

z

,

k 0, 1, 2, ... , n 1.

n

n

Для других значений k аргументы будут отличаться от полученных на число кратное 2 , и, следовательно, получатся значения корня, совпадающие с рассмотренными. Итак, корень n -й степени из комплексного числа имеет n различных значений.

10

Пример. Найти все значения 3 8 и построить их.

11

				y							Решение.												8				8,					arg 8 ,
								w1				8 8 cos 2k i sin 2k ,
					φ				x
	w																						2k															2k			,
		2										3 8			2 cos															i sin
																							3															3
					w3
		Рис. 8
																1
																								3
																																3 ,
k 0,			w1	2	cos				i sin				2					i									1 i
							3
											3					2							2
							2								2								2 1 i 0 2 ,
k 1,			w2	2	cos						i sin
							3								3
								4								4											1
																																	3
k 2,			w3	2 cos							i sin												2						i							1 i 3 .
							3								3													2
																																2

Контрольная работа № 2

№ 1 – 30. Найти координаты вектора x

в базисе e1 ,e2 ,e3 ,

если он задан в базисе e1 ,e2 ,e3 .

1. x 1,2,4 .

16. x 1,3,6 .

e1 e1 e2 3e3 ,

e1 e1 e2 4e3 ,

3

4

e2

e1

e2

,

e2

e1

e2

,

2

3

e

e

.

e

e

.

e

e

1

2

3

e

e

1

2

3

3

3

2. x 2,4,1 .

17. x 6,3,1 .

3

4

e1

e1 e2

e3

,

e1

e1 e2

e3

,

2

3

3e1 e2 ,

e2

e2 4e1 e2 ,

e1 e2 e3 .

e1 e2 e3 .

e3

e3

12

3. x 1,4,8 .																18. x 8,4,1 .
e1 e1 e2 5e3 ,																									5
																e1	e1 e2											e3		,
			5																						4
e					e			e			,						5e1 e2 ,
			4
	2						1			2						e2
e		e				1		e	2		e			3	.	e	e			1		e	2		e				3	.
	3															3
4. x 2,5,10 .																19. x 10,5,1 .
e1 e1 e2 6e3 ,																									6
																e1	e1 e2											e3		,
			6																						5
e					e			e			,
			5
	2						1			2						e2 6e1 e2 ,
e		e				1		e	2		e			3	.	e	e			1		e	2		e				3	.
	3															3
5. x 1,6,12 .																20. x 12,6,1 .
e1 e1 e2 7e3 ,																									7
																e1	e1 e2											e3		,
			7																						6
e					e			e			,
			6
	2						1			2						e2 7e1 e2 ,
e		e				1		e	2		e			3	.	e	e			1		e	2		e				3	.
	3															3
6. x 1,7,14 .																21. x 3,2,4 .
e1 e1 e2 8e3 ,																e1 e1 e2 e3 ,
			8															1
e2					e1			e2 ,								e2			e1			e2			,
			7															2
								e			e				.							e			e					.
e		e				1			2					3		e	e			1			2						3
	3															3
7. x 2,4,3 .																22. x 2,6, 3 .
											1					e1 e1 e2 2e3 ,
e1		e1 e2											e3		,
											2							2
		e1 e2 ,														e			e			e			,
																		3
e2															.	2					1	e		2	e					.
e		e				1		e	2		e			3		e	e			1			2						3
	3															3
8. x 12,3, 1 .																23. x 1, 4,8 .

															13
										2						e1 e1 e2 3e3 ,
e1	e1 e2											e3		,
										3									3
																e					e		1	e		2	,
																			4
e2 2e1 e2 ,																	2
e	e				1		e	2		e			3	.		e		e				1		e	2		e			3	.
3																	3
9. x 1,4, 8 .																24. x 7, 5,10 .
e1 e1 e2 3e3 ,																e1 e1 e2 4e3 ,
	3																		4
e2				e1			e2			,						e2				e1				e2 ,
																			5
	4						e			e				.										e			e				.
e	e				1			2					3			e		e				1			2					3
3																	3
10. x 5, 5,4 .																25. x 1, 6,6 .
										4						e1 e1 e2 5e3 ,
e1	e1 e2											e3		,
										5									5
																e					e			e			,
																			6
e2 4e1 e2 ,																	2						1			2
e	e				1		e	2		e			3	.		e		e				1		e	2		e			3	.
3																	3
11. x 6,6,2 .																26. x 1,7, 7 .
										5						e1 e1 e2 6e3 ,
e1	e1 e2											e3		,
										6									6
																e					e			e			,
																			7
e2 5e1 e2 ,																	2						1			2
e	e				1		e	2		e			3	.		e		e				1		e	2		e			3	.
3																	3
12. x 7,7,2 .																27. x 3, 8,8 .
										6						e1 e1 e2 7e3 ,
e1	e1 e2											e3		,
										7									7
	6e1 e2 ,															e					e			e			,
																			8
e2																	2						1			2
e	e				1		e	2		e			3	.		e		e				1		e	2		e			3	.
3																	3
13. x 1, 9,9 .																28. x 9,9,2 .
e1 e1 e2 8e3 ,																											8
																e1		e1 e2											e3		,
	8																										9
e				e			e			,
2	9					1			2							e2 8e1 e2 ,
e	e				1		e	2		e			3	.		e		e				1		e	2		e			3	.
3																3
14. x 3, 10,10 .																29. x 10,10,7 .

												14
e1 e1 e2 9e3 ,																			9
													e1	e1 e2								e	3 ,
		9																	10
e				e	1	e		2	,
	2	10											e2 9e1 e2 ,
e		e		1	e		2	e		3	.		e	e		1	e	2	e			3	.
	3												3
15. x 1,9,18 .													30. x 1,10,10 .
e1 e1 e2 10e3 ,													e1 e1 e2 11e3 ,
		10												11
e2				e1 e				2 ,					e2			e1 e2 ,
		9			e			e			.			10			e		e				.
e		e		1			2			3			e	e		1		2				3
	3												3

№ 31 – 60. Найти характеристические числа и собственные векторы матрицы

	4		2	1			2		1	0
31.	1		3	1 .		46.	1		2	0 .
		1	2	2				1	1
										1
	3		1	1			5		1	1
32.		0	2	1 .		47.		0	4	1 .
		0	1					0	1
				2						4
	6		2	1			3		1	1
33.	1		5	1 .		48.		2	2	1 .
		1	2	4				2	1
										4
	2		0	1			2		1 0
34.		1	1	1 .		49.		1	2	0 .
		1	0					1
				2					1 3
	4		1	0			5		1	1
35.		1	4	0 .		50.		2	4	1 .
		1	1					2	1
				5						6
	5		4	4			3		2	2
36.		2	1	2 .		51.		2	1	2 .
		2						2	2
			0 3							3

					15
	3		2	2			5		2	2
37.		0	3	0 .		52.		0	5	0 .
		0	2					0	2
				1						3
	7		4	4			7		6	6
38.		2	3	2 .		53.		4	1	4 .
		2	0					4	2
				5						5
	7		6	6			13		2 2
39.		2	3	2 .		54.		6	9	6 .
		2						2	2
			2 3							5
	7		2 2				9		0	0
40.		4	5 2 .			55.		2	7	4 .
		0						2	2
			0 3							5
	15		0	0			19		2	2
41.		2	13	4 .		56.		6	15	6 .
		2	2					2	2
				11						11
	4		1 1				2		1 1
42.		2	3	2 .		57.		1	2 1 .
		1	1					0
				2					0 1
		3	0	0			5		0	0
43.		1	2	1 .		58.		1	4	1 .
		1	1					1	1
				2						4
	6		1 1				9		6	6
44.		2	5	2 .		59.	2		5	2 .
		1	1					2	2
				4						13
	5		2	4			7		4	2
45.		0	3	0 .		60.	2		5	2 .
		2	2					0	0
				7						9

№ 61 – 90. Задания: а) представить комплексное число в тригонометрической форме, б) представить комплексное число в показательной форме

61. а) 1 i , б) 3 3 3 i .			76. а) 1	3 i , б) 1 i .

16

62.	а) 1 i б)										2 2i .																												77.	а) 2 2i , б) 1 i .
															7							7																	78.	а) 3i , б)																									i .
63.	а) 1 i								б)																							i .																														3
													2
																					2							3
64.	а) 1 i , б) 5 5i .																																						79.	а) 1,2 , б) 2i .
													1														i .																													1				i , б) 3 3i .
65.	а) 2i , б)																							3															80.	а)					3
													2								2
																																								2							2
		1							1																														81.	а)																								i , б) 3i .
																																															2														6
66.	а)									i , б) 1																			3 i .
		2							2
67.	а)							i , б) 4i .																															82.	а)							i , б)																			2 2i .
				3																																							3
																i , б)													2									2i .	83.а)			2														2 i , б)
68.	а)																																		3														3																								2 2													i .
					2							2																																																																								3
																																	3
																																											3
69.	а)			i , б)																																i .			84.	а) 5i , б) 3 3																																			i .
		3																					2											6																																							3
70.а) 0,5 0,5																		i , б)										1 i .											85.	а) 3 3																				i , б) 2 2i .
														3																																											3
71.	а)													i б) 2i .																																																							7						7
				3							3
																																							86.	а) 1											3 i , б)																																i .
																																																																					2
																																																																											2		3
72.	а) 3					3i , б)																								i .									87.	а) 2															2														i ,				б) 5 5i .
			3																									3																						2																2
73.а) 0,5 0,5i , б) 2 .																																												1										1																1										i .
																																							88.	а)																		i , б)																			3
																																																																					2
																																											2				2																												2
74.	а) 4i , б) i .																																						89.	а) 8i , б)																									1							1			i .
																																																																	2							2
75.	а) 0,7 0,7i , б) 1 i .																																						90.	а)																								i ,					б) 1																i .
																																															2															2																					3

№ 91 – 120. Задания: а) выполнить указанные действия над комплексными числами, б) вычислить корень или решить уравнение.

91.	а)		7	5i		i 1 i , б) 4							.			106. а) i 44													1 i				,
										1 i
				2i
		1																													i
																б) z4															i 0 .
																			2								2
			7	2i		i 11 , б)	4									107.а)
92.	а)								1			i .
											3
			2 i
																0,5 0,5										i 2						0,5			i 35 , б)
																							3											3
																z3								i 0 .
																	2					6
				5		18																										4
																108. а)																, б) z5 1 i 0 .
93.	а)					i , б)		1,2 1,2i .												1								7 i
		1 2i
																									2

17

1 i

i 4 , б) 3

а) 2

i 2

1 i

,

94. а)

3i

.

109.

3

2

1 i

б) z4 1

i 0 .

i

3

12

2

17

2i

95. а)

i 2 i

, б)

110.

а) i

,

5

i

3 i

б) z2 2 2i 0 .

4 1

1

i .

3

96. а) i

23

17 6i

111.

а)

, б) 7 7i .

2 i

3 4i

1 i6

i 2 , б)

2

2

3 i

z3

i

0.

8

4

, б)

а)

i 13

i 1

1, б)

97. а)

3

112.

1

3 i

i

z3 8i 0.

2 i

3

i .

2

6

98. а) 3i 2

i 9

i 1

, б)

113.

а) 1 2i

i 21

5 i

,

5

.

i 1

б) z3 i 0.

i

i 1

99. а)

114.

а) i

23

17 6i

,

0,2 0,3i 0,5 0,6i i 26 , б)

3

4i

3

б) z4

3

i 0.

3 i .

100. а) 3

i 3

i i 33 ,

12

3

3

115.

а)

i 2 i 2 ,

5

i

б) 4 1

i .

3

б) z3

i 3 0 .

3

101. а)

1 i

1 i

, б)

3

.

116.

а)

1 i

i 4 ,

2 2i

1 i

1 i

1 i

б) z3

i 0 .

6

2

102. а) i 37

7 5i

,

117.

а)

5

i 18 ,

1 2i

1 2i

б) z4 1

1

б) z3 1

i 0.

i 0;

3

3

103.а) i 25

3 4i

, б)

118.

а)

7 2i

i 11 ,

2 i

4 3i

z2 7 7i 0 .

б) z4

i 1 0 .

3